在探究中習(xí)得方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念

摘要：圖形面積教學(xué)要讓學(xué)生在熟悉的情境中直觀感知面積的概念，經(jīng)歷選擇面積單位進(jìn)行測(cè)量的過(guò)程，理解面積的意義，形成量感；要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形的面積公式，形成空間觀念和推理意識(shí)。在轉(zhuǎn)化過(guò)程中找到前后圖形之間的聯(lián)系，形成空間想象能力。

關(guān)鍵詞：探究；轉(zhuǎn)化思想；推理意識(shí)；空間觀念

中圖分類號(hào)：G623.56" " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B" " " 文章編號(hào)：1673－4289（2024）08－0047－03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，小學(xué)階段空間觀念的形成，是由學(xué)段之間的內(nèi)容相互關(guān)聯(lián)、螺旋上升，逐段遞進(jìn)的[1]。平行四邊形的面積計(jì)算是北師大版《數(shù)學(xué)》教材五年級(jí)上冊(cè)第4單元第1課時(shí)的內(nèi)容。這部分內(nèi)容的教學(xué)，是學(xué)生在已經(jīng)學(xué)會(huì)長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)算及推理過(guò)程，已經(jīng)掌握了平行四邊形的特征，會(huì)畫平行四邊形的底和對(duì)應(yīng)高的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。

轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的一種重要思想方法。在教學(xué)中，筆者給學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)平臺(tái)，讓他們有足夠的探究時(shí)間和空間，讓他們真正經(jīng)歷平行四邊形面積公式的計(jì)算方法的探究、歸納、與推理的全過(guò)程。深刻體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的本質(zhì)，讓轉(zhuǎn)化的思想自然地在學(xué)生內(nèi)心深處生根，發(fā)展學(xué)生的空間觀念、推理意識(shí)以及空間想象能力，為其后續(xù)學(xué)習(xí)三角形、梯形、圓形的面積公式起到奠基的作用，這也正是我們給學(xué)生的良好學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)。

一、情境引入，激發(fā)內(nèi)需

師：（PPT出示）這是航拍的大運(yùn)會(huì)大運(yùn)村的實(shí)景圖，從圖中你發(fā)現(xiàn)了哪些平面圖形？

生：我在這幅圖中找到了長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形和三角形。

師：我們要給實(shí)景圖中的長(zhǎng)方形地和平行四邊形地鋪草坪，到底需要多少草坪呢？其實(shí)就是讓我們算什么呢？

生：計(jì)算長(zhǎng)方形和平行四邊形的面積。

二、大膽猜想，引發(fā)沖突

師：（圖1）這是實(shí)景圖中的長(zhǎng)方形和平行四邊形，如果我們把它請(qǐng)到課堂中來(lái)，那么你會(huì)計(jì)算這兩個(gè)圖形的面積嗎？

生：長(zhǎng)方形的面積我會(huì)算，但需要長(zhǎng)和寬的數(shù)據(jù)。

（PPT出示數(shù)據(jù)）

生：用長(zhǎng)乘寬，也就是6×4=24（平方米）。

師：那平行四邊形的面積怎樣計(jì)算呢？

生：長(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)乘寬，平行四邊形是特殊的長(zhǎng)方形，所以平行四邊形的面積也是用相鄰的兩條邊相乘。

師：那好，按照上面的兩種方法我們來(lái)算一算。

師：平行四邊形高是4米，所以面積是6乘4等于24平方米。這兩種方法到底誰(shuí)對(duì)呢？還是都不對(duì)？這只是我們的猜想。

三、操作驗(yàn)證，習(xí)得方法

（一）在格子圖中探究一個(gè)平行四邊形的面積公式

師：請(qǐng)大家回想一下，我們以前在探究長(zhǎng)方形面積公式時(shí)，是借助什么推導(dǎo)出長(zhǎng)方形的面積公式的？

生1匯報(bào)：在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形、正方形面積的時(shí)候，我們用過(guò)數(shù)方格的方法，看看圖形中有多少個(gè)面積單位，面積就是多少。現(xiàn)在我們也可以用數(shù)方格的方法去數(shù)數(shù)，看平行四邊形含有多少個(gè)面積單位。

師：接下來(lái)我們就通過(guò)數(shù)格子的方法來(lái)驗(yàn)證剛才的猜想。

（巡視同學(xué)們的完成情況，巡視過(guò)程中注意指導(dǎo)學(xué)生）

生：將左邊三角形整體平移到右邊，平行四邊形就轉(zhuǎn)化成了一個(gè)長(zhǎng)方形，完整的方格數(shù)起來(lái)更方便，就能直接根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式計(jì)算平行四邊形的面積。

師：會(huì)說(shuō)話的數(shù)據(jù)已經(jīng)說(shuō)明了平行四邊形面積底乘高的猜想是對(duì)的。

（二）探究是不是所有平行四邊形的面積公式都等于底乘高

師：剛才我們研究的是老師給你們的平行四邊形，剛好得出了平行四邊形面積等于底乘高，不知你們心中有沒(méi)有疑惑，跟它長(zhǎng)得不一樣的平行四邊形，是不是面積也等于底乘高？請(qǐng)大家用手比畫一下和它長(zhǎng)得不一樣的平行四邊形。

1組匯報(bào)：從平行四邊形的頂點(diǎn)向它所對(duì)的底邊做垂線段，畫出了平行四邊形的一條高。把三角形平移到另一邊，就把平行四邊形轉(zhuǎn)化成了一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于平行四邊形的高，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，平行四邊形面積等于底乘高。

師：還能用其他方法把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形嗎？

2組匯報(bào)：我沒(méi)有從頂點(diǎn)出發(fā)畫高，我是從一組對(duì)邊的任一點(diǎn)做高，沿高剪，把平行四邊形分成了兩個(gè)直角梯形，再?gòu)淖筮吰揭频接疫叄布羝闯闪艘粋€(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于平行四邊形的底，寬相當(dāng)于是平行四邊形的高，實(shí)際上還是把平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成了一個(gè)長(zhǎng)方形的面積來(lái)算。

師：你們看出了這個(gè)組與剛才那個(gè)組剪拼的異同了嗎？

生：不同點(diǎn)，沿高剪的地點(diǎn)不同。相同點(diǎn)，因?yàn)槠叫兴倪呅斡袩o(wú)數(shù)條高，不管沿著那個(gè)地方的高剪開(kāi)，最后都是剪拼成了長(zhǎng)方形。

師：我們只要把一個(gè)平行四邊形沿著它的一條高剪開(kāi)，把剪下的部分平移到另一邊，就拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形。這時(shí)平行四邊形的面積就等于長(zhǎng)方形面積。長(zhǎng)方形面積等于長(zhǎng)乘寬，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于平行四邊形的底，寬相當(dāng)于平行四邊形的高，所以平行四邊形的面積就等于底乘高，如果用s表示平行四邊形的面積，用a表示平行四邊形的底，用h表示平行四邊形的高，那平行四邊形面積計(jì)算公式還可以表示為s=ah。所以大運(yùn)會(huì)實(shí)景圖中平行四邊形地需要鋪6×4=24平方米的草坪。

（三）探究平行四邊形的面積公式為什么鄰邊相乘的猜想是不對(duì)呢

師：剛才我們驗(yàn)證了平行四邊形面積等于底乘高猜想是對(duì)的，鄰邊相乘的猜想是不對(duì)的，為什么鄰邊相乘的猜想不對(duì)呢？用你們喜歡的方式再驗(yàn)證一下。

1組匯報(bào)：據(jù)四邊形具有不穩(wěn)定性易變形的特點(diǎn)。把平行四邊形拉成了長(zhǎng)方形。發(fā)現(xiàn)面積變了，周長(zhǎng)不變。

師：為你們的智慧點(diǎn)贊。面積變大了還是變小了？變?cè)谀睦铮浚ㄋ娜诵〗M借助開(kāi)課黑板畫的平行四邊形和教具平行四邊形框架分工合作演示，并說(shuō)明理由）

四、解決問(wèn)題，拓展應(yīng)用

生：我認(rèn)為不對(duì)，如果沿著平行四邊形3厘米的這條高剪開(kāi)，把剪下來(lái)的三角形平移到另一邊，拼成的是一個(gè)長(zhǎng)3厘米、寬4厘米的長(zhǎng)方形，不是長(zhǎng)3.5厘米的長(zhǎng)方形，我明白了，3厘米對(duì)應(yīng)的底是4厘米，而不是3.5厘米，應(yīng)該選擇相對(duì)應(yīng)的底乘高才能計(jì)算出平行四邊形的面積。

五、教學(xué)評(píng)析

（一）從解決實(shí)際問(wèn)題中引發(fā)猜想

給大運(yùn)會(huì)的大運(yùn)村實(shí)景圖中的長(zhǎng)方形和平行四邊形地鋪草坪，激發(fā)學(xué)生興趣，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)就在身邊，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，為充分發(fā)揮學(xué)生在課堂中的主體作用奠定基礎(chǔ)。

（二）在多元操作探究中習(xí)得學(xué)習(xí)方法

給學(xué)生提供操作平臺(tái)，經(jīng)歷平行四邊形面積公式的計(jì)算方法的探究、歸納與推理的全過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念、推理意識(shí)和空間想象能力。

先讓學(xué)生獨(dú)立完成。活動(dòng)一，學(xué)生從展示的作品中發(fā)現(xiàn)用數(shù)方格的方法。有學(xué)生先數(shù)滿格，不滿一格的當(dāng)作一個(gè)；有學(xué)生把多的三角形割下來(lái)，補(bǔ)到缺的地方，轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形，這樣利用公式數(shù)長(zhǎng)方形的格子就很方便了，學(xué)生很直觀地用會(huì)說(shuō)話的數(shù)據(jù)感受轉(zhuǎn)化的思想。當(dāng)展示學(xué)生作品時(shí)，用一句“能看懂別人作品也是了不起”，激發(fā)學(xué)生積極思考，最后從表格中用會(huì)說(shuō)話的數(shù)據(jù)驗(yàn)證“平行四邊形的面積=底×高”的猜想，為活動(dòng)二的動(dòng)手操作奠定基礎(chǔ)。

為了使學(xué)生更好地掌握本節(jié)課的重點(diǎn)，筆者出示活動(dòng)三，設(shè)計(jì)了有梯度的練習(xí)，再到開(kāi)放的實(shí)踐練習(xí)。書中的第1題，讓學(xué)生明白要求平行四邊形的面積必須知道底和高，以檢驗(yàn)學(xué)生是否達(dá)到運(yùn)用公式解決問(wèn)題的能力。最后設(shè)計(jì)了一個(gè)含有冗余條件的判斷題，為三角形面積和梯形面積計(jì)算奠定了基礎(chǔ)。

（三）在全程親歷中培育素養(yǎng)

小學(xué)階段幾何形體面積、體積計(jì)算公式都是用轉(zhuǎn)化法推導(dǎo)的。平行四邊形的面積公式是利用幾何圖形面積計(jì)算，第一次運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想方法推導(dǎo)得出的，因此本節(jié)課讓學(xué)生形象直觀地明白什么是轉(zhuǎn)化，深刻理解轉(zhuǎn)化的本質(zhì)就顯得尤為重要。課前為每個(gè)同學(xué)準(zhǔn)備了三種不同的平行四邊形，每個(gè)同學(xué)從這三種不同的平行四邊形中選一個(gè)平行四邊形剪拼，有了前面活動(dòng)一中把平行四邊形的方格通過(guò)剪拼轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形方格來(lái)數(shù)就更好數(shù)的經(jīng)驗(yàn)。每個(gè)學(xué)生根據(jù)活動(dòng)二的要求，先觀察怎樣剪拼成的圖形才是長(zhǎng)方形，第一種，學(xué)生從頂點(diǎn)做高，沿高剪下，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形；另一種，學(xué)生從一組對(duì)邊的任一點(diǎn)做高剪下，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，再找到轉(zhuǎn)化前后圖形之間的聯(lián)系，最后同桌合作討論平行四邊形面積公式推導(dǎo)過(guò)程。讓學(xué)生先進(jìn)行獨(dú)立操作，探索經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，再小組討論，交流研究，尤其是小組討論交流之后，小組匯報(bào)平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程地位，把學(xué)生置于主體，把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)活動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：27.