高中數學直線和圓錐曲線常考題型探析

摘 要：在新課標背景下，教師需要針對高中數學中直線和圓錐曲線的常考題型進行詳細分析，通過整合與歸納數學概念的應用，在課堂練習中引導學生掌握每一種題型的解析能力.本文主要闡述了在橢圓、雙曲線和拋物線教學中常考題型，引導學生可以更好地理解和掌握高中數學中的圓錐曲線知識.

關鍵詞：高中數學；直線和圓錐曲線；常考題型

在高中數學解析幾何教學過程中，教師引導學生理解直線和圓錐曲線的概念.通過課堂練習的方式，幫助學生了解高考中的常考題型；通過在課堂上講解數學概念的應用，并對每一種題型進行歸納和解析，促進學生更好地掌握解題方法.

1 圓錐曲線常考題型的應用

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）對教與學都提出了新的要求，教師在課堂上講解高考專題時，應當立足于核心素養的培育.［1］例如，在圓錐曲線的教學時，教師要引導學生掌握圓錐曲線的定義、性質和應用的知識要點，并在課堂練習中突破圓錐曲線問題及范圍與最值問題.

在分析不同解題類型的過程中，教師引導學生掌握圓錐曲線與方程的關系，以及范圍與最值的求解方法.［2］

1.1 題型一：橢圓定義的應用

例1 在△ABC中，B（-6，0），C（0，8），且sinB，sinA，sinC成等差數列.

（1）頂點A的軌跡是什么？

（2）指出軌跡的焦點和焦距.

（1）解：由sinB，sinA，sinC成等差數列，得sinB+sinC=2sinA.由正弦定理可得AB+AC=2BC.

又BC=10，所以AB+AC=20，且20gt;BC.

所以點A的軌跡是橢圓（除去直線BC與橢圓的交點）.

（2）橢圓的焦點為B，C，焦距為10.

教師在課堂上講解直線和圓錐曲線常考題型時，注重培養學生的核心思想，促進學生的思維升華.

通過教師梳理知識點，使學生了解圓錐曲線的實際背景，促進學生自主學習，主動探究圓錐曲線的常考題型，從具體情境中掌握圓錐曲線的解題過程.

1.2 題型二：雙曲線定義的應用

例2 已知圓C1：（x+2）2+y2=1和圓C2：（x-2）2+y2=9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡.

解：由已知，得圓C1的圓心為C1（-2，0），半徑r1=1；圓C2的圓心為C2（2，0），半徑r2=3.設動圓M的半徑為r.

因為動圓M與圓C1相外切，所以MC1=r+1①.又動圓M與圓C2相外切，所以MC2=r+3②.②-①，得MC2-MC1=2，且2lt;C1C2=4.

所以動圓圓心M的軌跡為雙曲線的左支，且除去點（-1，0）.設動圓半徑為r，利用動圓M同時與圓C1及圓C2相外切得兩個等式，相減后消去r，得到點M的關系式.注意到MC2-MC1=2中沒有絕對值，所以軌跡是雙曲線的一支.又圓C1與圓C2相切于點（-1，0），所以M的軌跡不過（-1，0）.

教師引導學生進行當堂練習，促進學生突破橢圓、拋物線的定義和幾何圖形知識的重點、難點，掌握雙曲線的定義和幾何圖形的解題技巧.

2 多維探究最值問題的常考題型

在高中數學教學過程中，教師應當采用多維探究方法和幾何法求最值問題.幾何法求最值的解決方法，就是通過研究函數圖象的性質，利用圖形特征來尋找最值涉及多個變量的函數.［3］探究最值問題的常考題型，歸納出下面三個結論.

第一，教師確定函數在坐標平面上的表示，并根據變量的個數確定相應的圖形.例如，二維問題可以通過畫圖找到函數的最值，三維問題則需要使用三維坐標系進行分析.通過繪制函數圖象，觀察其與坐標軸的交點，以及函數的單調性來確定最值問題.

第二，對于三維問題，則需要考慮三個坐標軸之間的關系，并利用幾何方法進行分析，教師通過利用函數的對稱性、直角坐標系變換等技巧來簡化求解過程.

第三，在處理多維最值問題時，需要靈活運用各種方法，結合實際情況進行探究和求解.扎實的數學基礎和靈活的思維方式，能夠幫助學生更好地理解和解決最值問題.

例3 （2020·新高考全國Ⅱ）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）過點M（2，3），點A為其左頂點，且AM的斜率為12.

（1）求C的方程.

（2）點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.

解：（1）由題意可知，直線AM的方程為y-3=12（x-2），即x-2y=-4.

當y=0時，解得x=-4，所以a=4.

由橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）過點M（2，3），可得416+9b2=1，解得b2=12.

所以C的方程為x216+y212=1.

（2）設與直線AM平行的直線方程為x-2y=m.

如圖1所示，當直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠的直線與橢圓的切點為N，此時△AMN的面積取得最大值.

聯立x-2y=m，

x216+y212=1，可得3（m+2y）2+4y2=48.

化簡，得16y2+12my+3m2-48=0.

所以Δ=144m2-4×16（3m2-48）=0，即m2=64，解得m=±8.

與AM距離比較遠的直線方程為x-2y=8.

點N到直線AM的距離，即兩平行線之間的距離d=8+41+4=1255.

由兩點之間的距離公式，可得|AM|=（2+4）2+32=35.

所以△AMN的面積的最大值為12×35×1255=18.

3 代數法求最值的常考題型

代數法求最值，是圓錐曲線中普遍存在的一類問題.教學中，

高中數學教師可運用幾何法，包括三角形的形狀判斷、線段長度、圓的定位等，通過對函數的構造或變量替換，從而尋找解決問題的關鍵條件，為求出結果提供有效的策略.

例4 在平面直角坐標系中，O為坐標原點，圓O交x軸于點F1，F2，交y軸于點B1，B2，以B1，B2為頂點，F1，F2分別為左、右焦點的橢圓E恰好經過點1，22.

（1）求橢圓E的標準方程.

（2）設經過點（-2，0）的直線l與橢圓E交于M，N兩點，求△F2MN的面積的最大值.

解：（1）由題意，得橢圓E的焦點在x軸上.

設橢圓E的標準方程為x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），焦距為2c，則b=c.

∴a2=b2+c2=2b2，∴橢圓E的標準方程為x22b2+y2b2=1.

∵橢圓E經過點1，22，∴12b2+12b2=1，解得b2=1.

∴橢圓E的標準方程為x22+y2=1.

（2）∵點（-2，0）在橢圓E外，∴直線l的斜率存在.

設直線l的斜率為k，則直線l為y=k（x+2）.設M（x1，y1），N（x2，y2）.

由y=k（x+2），

x22+y2=1，消去y，得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-2=0.

∴x1+x2=-8k21+2k2，x1x2=8k2-21+2k2.

Δ=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）gt;0，解得0≤k2lt;12.

∴|MN|=1+k2|x1-x2|=21+k2·2-4k2（1+2k2）2.

∵點F2（1，0）到直線l的距離d=3|k|1+k2，

∴△F2MN的面積為S=12|MN|·d=

3k2（2-4k2）（1+2k2）2.

令1+2k2=t，t∈［1，2），得k2=t-12.

∴S=3（t-1）（2-t）t2=3-t2+3t-2t2=

3-1+3t-2t2=3-21t-342+18.

當1t=34，即t=4343∈［1，2時，S取得最大值，Smax=324，此時k=±66.

∴△F2MN的面積的最大值是324.

4 結語

綜上所述，教師通過總結、歸納高中數學知識概念，組織學生在課堂上進行練習題訓練，重點引導學生掌握數學中直線和圓錐曲線的常考題型中的一些解題技巧.除此以外，還要強調學生學會運用數形結合的方法來確定直線和圓錐曲線的位置關系，促進學生總結不同的常考題型問題，包括動弦過定點、過已知曲線上定點的弦、共線向量、面積問題、弦或弦長為定值、角度問題、四點共線問題、范圍問題及存在性問題等，啟發學生掌握靈活的解題技巧，最終全面提高數學知識概念及常考題型的解題綜合素養能力.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］吳爽.淺析圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用［J］.數學學習與研究，2018（15）：140.

［3］豐效輝.高中數學圓錐曲線復習策略探析［J］.才智，2017（11）：113.