波利亞解題思想在初中平面幾何教學(xué)中的應(yīng)用研究

摘 要：平面幾何內(nèi)容一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).本文基于波利亞解題思想，以“平行四邊形的判定”為例，從波利亞解題思想的四個(gè)階段出發(fā)，對其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，旨在為教師的教學(xué)方法改革提供參考，促進(jìn)學(xué)生解題能力的提升和良好解題習(xí)慣的養(yǎng)成.

關(guān)鍵詞：波利亞解題思想；平面幾何教學(xué)；應(yīng)用

“圖形與幾何”是初中數(shù)學(xué)四大內(nèi)容之一，也是除“數(shù)與代數(shù)”外課時(shí)占比最多的內(nèi)容.在“圖形與幾何”內(nèi)容下的三大主題中，“圖形的性質(zhì)”內(nèi)容占比最高，其強(qiáng)調(diào)通過實(shí)驗(yàn)探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，從基本事實(shí)出發(fā)推導(dǎo)圖形的幾何性質(zhì)和定理.［1］尤其是對相關(guān)問題的證明，是初中數(shù)學(xué)圖形與幾何教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是學(xué)生發(fā)展推理能力核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.但在實(shí)際教學(xué)中，由于教師往往重結(jié)果而輕過程，不少學(xué)生對定義、定理采取的是死記硬背，理解不深，所以學(xué)生在解題時(shí)常常出現(xiàn)沒有思路、證明條件不充分、證明過程不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)惹闆r.

美國數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（G.Polya）認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的就是“教會(huì)學(xué)生思考”.而數(shù)學(xué)解題也從來不是機(jī)械地套用公式或死記硬背，而是通過啟發(fā)學(xué)生思考，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.波利亞鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、積極探索，他通過“怎樣解題表”中一系列的問題引導(dǎo)學(xué)生思考，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力.

鑒于此，本文以“平行四邊形的判定”為例，對波利亞解題思想在初中平面幾何教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行研究，以期為教學(xué)方法的改革、教學(xué)質(zhì)量的提升提供參考.

1 波利亞解題思想介紹

問題是數(shù)學(xué)的心臟，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，波利亞專門研究了解題的思維過程，并把研究所得著成《怎樣解題》一書.該書的核心即“怎樣解題”，包括“理解問題”“擬定計(jì)劃”“實(shí)行計(jì)劃”和“回顧”四個(gè)步驟.［2］在這四個(gè)步驟中，波利亞把解題的思維過程分解成5條建議和23個(gè)具有啟發(fā)性的問題，將解題的思維過程清晰地展現(xiàn)了出來.

1.1 理解問題

理解問題即審題，只有將問題先厘清，才能去解決問題.在這一階段波利亞認(rèn)為應(yīng)當(dāng)從以下三個(gè)方面進(jìn)行.

（1）明確問題的條件和結(jié)論，波利亞認(rèn)為首先要從題干中分析問題的已知量和未知量，有哪些顯性和隱性的條件.

（2）對問題的結(jié)論進(jìn)行猜想，并從猜想反推可能滿足的條件.

（3）將問題進(jìn)行重新表征，將文字語言用圖形或符號(hào)語言來表示.

1.2 擬定計(jì)劃

擬定計(jì)劃是“怎樣解題”的關(guān)鍵與核心環(huán)節(jié)，其實(shí)質(zhì)是對解題思路的探索，形成解決問題的一套方案，該環(huán)節(jié)決定著問題解決的成敗.在這一階段波利亞認(rèn)為應(yīng)當(dāng)從以下三個(gè)方面進(jìn)行.

（1）建立已知和未知間的聯(lián)系，通過對已學(xué)過知識(shí)的回顧，明確解決問題所需的知識(shí)范圍.

（2）聯(lián)系相同或相似的題目，從未知數(shù)的角度出發(fā)，回憶曾經(jīng)是否解決過相同或相似的題目，通過知識(shí)的正遷移，利用已有的經(jīng)驗(yàn)和類似的方法解決問題.

（3）對問題進(jìn)行必要的變更或修改，對問題進(jìn)行改述，通過回到定義、考慮相關(guān)問題，激發(fā)解題思維.

1.3 實(shí)行計(jì)劃

根據(jù)已明晰的解題方案進(jìn)行解題，注意每一個(gè)步驟的思考都要保持耐心，要有理有據(jù)、邏輯清晰，保證不出現(xiàn)任何含糊、錯(cuò)誤之處.

1.4 回顧

回顧是解題的最后一步，也是最容易忽視的一步.在實(shí)行計(jì)劃后，還應(yīng)當(dāng)對整個(gè)解題過程進(jìn)行全面的回顧和反思，這也是提高學(xué)生解題能力的重要環(huán)節(jié).具體應(yīng)從以下三個(gè)方面進(jìn)行.

（1）對解題結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，并對每一步驟進(jìn)行檢查.

（2）對解題方法進(jìn)行創(chuàng)新，思考是否還有其他解法.

（3）擴(kuò)大解題方法的應(yīng)用范圍，思考能否在其他問題中應(yīng)用該解題方法.

總而言之，波利亞的解題思想其實(shí)就是波利亞對自己思考問題時(shí)思維過程的總結(jié)，這種思想為學(xué)生提供了一種可視化、可操作的解題方法，避免了學(xué)生陷入面對問題無法下手的困境中.

2 基于波利亞解題思想的“平行四邊形的判定”教學(xué)案例

在明確波利亞解題思想的基礎(chǔ)上，下面通過兩個(gè)教學(xué)片段，來展示具體的實(shí)踐過程，感受波利亞解題思想在解題教學(xué)中的優(yōu)勢.

2.1 案例1：證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

如圖1，已知四邊形ABCD，AC、BD交于點(diǎn)O，且OA=OC，OB=OD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

2.1.1 理解問題

（1）題目已知條件是什么？

從題干中可以明確已知OA=OC，OB=OD，即四邊形的對角線互相平分.

（2）通過理解已知條件，你能推出哪些隱藏條件？

因?yàn)锳C、BD交于點(diǎn)O，所以對頂角是相等的，即∠AOD=∠COB，∠COD=∠AOB.

2.1.2 擬定計(jì)劃

（1）怎樣證明四邊形ABCD是平行四邊形？

回顧已學(xué)過的知識(shí)，明確可借助平行四邊形的定義，即兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形來證明.

（2）怎樣證明兩組對邊分別平行？

采用平行線的判定方法，可以用同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，從而證明對邊平行.

（3）想要證明兩個(gè)三角形的內(nèi)角相等，你之前是否見過與此相關(guān)的題目？

在之前學(xué)習(xí)全等三角形判定的時(shí)候就已經(jīng)見過相關(guān)的題目.

（4）回到定義，有哪些三角形全等的判定方法？

兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）.

兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）.

三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）.

兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）.

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）.

（5）通過已知條件是否可以先證明AD∥BC？

可以根據(jù)已知條件證明△AOD≌△COB，從而證明∠OAD=∠OCB，即可證明AD∥BC.

（6）另一組對邊呢？

可以利用類似的方法證明AB∥CD.

2.1.3 實(shí)行計(jì)劃

根據(jù)上述解題方案，寫出證明過程如下.

證明：在△AOD和△COB中，

OA=OC，

∠AOD=∠COB，

OD=OB.

∴△AOD≌△COB（SAS）.

∴∠DAC=∠ACB.

∴AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

同理可得AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

2.1.4 回顧

（1）檢查證明的步驟是否有錯(cuò)誤.

（2）是否還有其他證明方法？

2.2 案例2：平行四邊形判定定理的應(yīng)用

如圖2，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是 AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

2.2.1 理解問題

（1）題目中的已知條件是什么？要求證什么？

已知條件是四邊形ABCD是平行四邊形，AE=CF.求證四邊形BFDE也是平行四邊形.

（2）你是否還能發(fā)現(xiàn)其他隱藏的條件？

與上一題一樣，對頂角是相等的，即∠AOD=∠COB，∠COD=∠AOB.

2.2.2 擬定計(jì)劃

（1）如何證明四邊形BFDE是平行四邊形？

①可以借助剛剛證明的平行四邊形判定定理，即對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②可以借助平行四邊形的定義.

（2）如果采用平行四邊形的判定定理，如何證明BD和EF是互相平分的？

已知四邊形ABCD是平行四邊形，所以AC和BD是互相平分的，則OA=OC，OB=OD.

又由于AE=CF，所以O(shè)E=OF.

2.2.3 實(shí)行計(jì)劃

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO，BO=DO.

∵AE=CF，

∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.

又BO=DO，

所以四邊形BFDE也是平行四邊形.

2.2.4 回顧

（1）檢查證明的步驟是否有錯(cuò)誤.

（2）是否還有其他證明方法？

從之前的擬定計(jì)劃中可以發(fā)現(xiàn)，還可以借助平行四邊形的定義來證明，證明的思路和方法與案例1類似，由學(xué)生獨(dú)立思考并證明.

2.3 反思與感悟

上述兩個(gè)案例，從波利亞解題的四個(gè)步驟，清楚地展示了其在平面幾何教學(xué)中的優(yōu)勢.回顧兩個(gè)案例的解題過程可以發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)行解題時(shí)，教師首先必須引導(dǎo)學(xué)生弄清楚題意，從題干中提煉出有用的條件，關(guān)注一些隱藏的條件.在擬定計(jì)劃階段，教師需要啟發(fā)學(xué)生去聯(lián)想，并有意識(shí)地讓學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想方法.這也要求學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)要形成系統(tǒng)性的認(rèn)識(shí)，才能更好地從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到相關(guān)聯(lián)的知識(shí).在擬定計(jì)劃時(shí)，還要啟發(fā)學(xué)生從不同角度去尋求問題解決的思路，為其他解法的探索奠定基礎(chǔ).在實(shí)行計(jì)劃時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)先讓學(xué)生按照解題計(jì)劃獨(dú)立思考，這也是發(fā)展學(xué)生推理能力核心素養(yǎng)的應(yīng)有之意.在回顧階段，教師有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生自我回顧、反思的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，對解題的方法和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，并對問題的其他解法進(jìn)行探索.波利亞的解題思想為學(xué)生解題提供了指導(dǎo)，也為教師的教學(xué)提供了新的思路，在教學(xué)過程中，教師需要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去經(jīng)歷這樣的解題過程，才能逐漸將這種科學(xué)的解題方法內(nèi)化成學(xué)生的一種思維習(xí)慣.

3 結(jié)語

本文結(jié)合具體的案例，對波利亞解題思想在初中數(shù)學(xué)平面幾何教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了研究和探討.事實(shí)上，波利亞解題思想在其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和解題中，也有著重要的指導(dǎo)作用.今后，我們還需要繼續(xù)對波利亞解題思想的內(nèi)涵進(jìn)行研究，并將其與最新的數(shù)學(xué)教育理念相結(jié)合，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，為學(xué)生今后的發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］喬治·波利亞.怎樣解題［M］.北京：科學(xué)出版社，1982.