矩形孔的菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射仿真研究

摘"要：在基爾霍夫衍射公式基礎上推導出一般矩形孔的菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射的光強分布，模擬出它們的衍射圖樣。研究表明，隨著z的逐步增大，矩形孔、正方形孔及狹縫的衍射特征均從菲涅爾衍射逐步演變成夫瑯禾費衍射，加深了對矩形孔衍射規律的理解，也為教學研究和實驗研究提供理論支撐。

關鍵詞：菲涅爾衍射；夫瑯禾費衍射；光強分布

Fresnel"Diffraction"and"Fraunhofer"Diffraction"Simulation

of"Rectangular"Apertures

Ju"Liping"Luo"Hongchao"Yang"Di"Yang"Xu

School"of"Science，Shenyang"Aerospace"University"LiaoningShenyang"110136

Abstract：Based"on"thenbsp;Kirchhoff"diffraction"formula，the"intensity"distributions"of"Fresnel"diffraction"and"Fraunhofer"diffraction"for"general"rectangular"holes"are"derived，and"then"their"diffraction"patterns"are"simulated.It"has"been"shown"that"the"diffraction"characteristicsnbsp;of"rectangular"holes，square"holes，and"slits"gradually"evolve"from"Fresnel"diffraction"to"Fraunhofer"diffraction"with"z"gradually"increasing.This"deepens"the"understanding"of"the"diffraction"laws"of"rectangular"holes"and"provides"theoretical"supports"for"teaching"and"experimental"research.

Keywords：Fresnel"diffraction；Fraunhofer"diffraction；Intensity"distribution

光的衍射是波動的重要特性之一。隨著科學的發展，光的衍射在醫學、微光學、信息編碼、信息儲存以及光通信中越來越得到廣泛的應用，光的衍射知識重要性日益突出［1］。

根據光源與障礙物以及觀察屏的距離遠近，衍射可以分為菲涅爾衍射（近場衍射）和夫瑯禾費衍射（遠場衍射）。目前，對于這兩種衍射的模擬仿真研究已經相當成熟，方法多種多樣，但是研究多是集中在夫瑯禾費衍射和菲涅爾衍射其中一種的單一研究，而對于二者之間的關系并沒有過多描述。本文以矩形孔為例來研究這兩種衍射的光強分布規律，揭示二者的區別和關聯，以便于更好地認識光的衍射規律。

1"衍射原理

菲涅爾基爾霍夫衍射公式為［2］：

U（P）=1iλ∫Σcosθ1+cosθ22eikr2r2Aeikr1r1ds′（1）

雖然（1）式僅僅討論了由單個球面波照明孔徑的情況下的衍射公式，但是在通常情況下，在多個球面波照明情況下，也同樣適用。根據基爾霍夫假定的平面屏幕邊界條件，孔徑以外的區域內，U（P0）=0。假設孔徑位于x0y0平面內，觀察點位于xy的平面內，則（1）式變為：

U（x，y）=+∞-∞U（x0，y0）h（x，y，x0，y0）dx0dy0（2）

假設點光源足夠遠，入射角非常小，接收屏到孔徑之間距離遠大于孔徑直徑，在傍軸近似下：

h（P，P0）=1iλeikrr=1iλeik"z2+（x-x0）2+（y-y0）2"z2+（x-x0）2+（y-y0）2r（3）

可得：

h（x，y，x0，y0）=h（x-x0，y-y0）（4）

分析（4）式可得，脈沖響應h（x，y，x0，y0）具有空間不變的函數形式，換句話說，在孔徑平面上子波源所產生的球面子波的形式都相同，所以式（2）可以改寫為：

U（x，y）=+∞-∞U（x0，y0）h（x-x0，y-y0）dx0dy0（5）

由（5）式可知，U（x，y）和U（x0，y0）之間通過卷積積分相關聯。這樣在忽略k（θ）的改變后，可以將線性不變系統應用到孔徑的光波傳播過程中去。

通常為了簡便計算，需要將根據理論得出的結果把這兩種衍射進行相應的近似，當單色平面波垂直照射矩形孔徑時，菲涅爾衍射的復振幅分布為：

U（x，y）=1iλzeikzeik2z（x2+y2）FFt（x0，y0）*U（x0，y0）eik2z（x20+y20）（6）

夫瑯禾費衍射的復振幅分布為：

U（x，y）=1iλzeikzeik2z（x2+y2）FU（x0，y0）*Ft（x0，y0）（7）

這樣，根據強度公式：

I=U·U*（8）

可以算出兩種衍射的光強分布公式。

2"矩形孔的菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射模擬

2.1"一般矩形孔

取入射光的波長λ=573nm，矩形的兩邊分別為a=12cm、b=24cm，接收屏與衍射孔徑之間的距離為z，仿真結果如圖1所示。

圖1描述的是當z=100m、500m、2000m、3000m、100000m及500000m時模擬的衍射圖樣。從圖1可以看出，當z較小時，衍射圖樣呈現菲涅爾衍射特征，衍射圖樣有明顯的對稱性。光斑顏色越接近黃色說明衍射強度越大，并且中心亮斑的光強隨著z的增大而減小，明暗條紋在不斷交替。隨著z的進一步增大，光源發出的球面波可以近似于平行光線，中心亮斑的光強變得很大，明暗條紋不再交替，并且亮斑越來越密集地呈現在中心點附近（z=100000m），當z=500000m時，衍射圖樣已經從菲涅爾衍射逐漸轉變成夫瑯禾費衍射。由圖1可知，矩形孔的夫瑯禾費衍射光強分布共有四條光芒線，兩個衍射方向，即光強分布方向分別與對應的四條邊垂直，觀察平面中心有中央主極大區域，隨著衍射角的增大，光強都是單調遞減變化。為了比較，圖2展示了實驗［3］測得的矩形孔夫瑯禾費衍射圖樣。

從圖2可以看出，其衍射圖樣的幾何中心處顯示出了矩形孔徑的形狀，衍射光強度沿x軸、y軸向外遞減，衍射圖樣與圖1中z=500000m情況類似。圖3是以光的強度為橫軸，以圖1中y軸為縱軸所繪的衍射光強分布圖。由圖3可知，從左至右，隨著z的增大，矩形孔的衍射圖樣特征逐步從菲涅爾衍射向夫瑯禾費衍射轉換。

2.2"正方形孔

選取參數a=24cm，b=24cm，波長λ=573nm，z=100m、500m、2000m、3000m、100000m、500000m進行模擬，結果如圖4所示。

由圖4可以看出，方形孔的菲涅爾衍射圖樣與圖1相似，所不同的是光強分布呈中心對稱分布。當z=500000m時，衍射圖樣呈現夫瑯禾費衍射特征，與正方形孔夫瑯禾費衍射的模擬結果（圖5）［4］相似。由此可見，正方形孔的衍射是矩形孔的衍射特例。

2.3"單縫

改變矩形孔徑的a邊，使其遠遠小于b邊，可把它近似為一個狹縫進行模擬。具體參數為a=1cm，b=24m，波長λ=573nm，z=100m、500m、2000m、3000m、100000m、500000m，模擬結果見圖6。

由圖6可以看出，光強分布圖樣上下、左右對稱。隨著z的增大，衍射條紋先由x軸中心處沿x軸向外側移動，后向x軸中心位置處聚集，在最終形成的圖樣（z=500000m）中，在x軸中心附近形成一條較寬的亮紋，其余各級亮紋從中心處向外強度逐漸遞減，衍射圖樣與圖7的單縫衍射實驗結果相似［5］。綜上所述，當矩形孔的一邊遠大于另一邊時，此時矩形孔的衍射可以看作單縫衍射。

結語

本文在基爾霍夫衍射公式的基礎上，推導出矩形孔的菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射的光強分布公式，運用MATLAB軟件對一般矩形孔、正方形孔及單縫的菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射進行仿真。研究發現：矩形孔衍射條紋呈對稱分布，隨著孔徑到接收屏距離z的增大，明暗條紋不斷交替；當z很大時，衍射圖樣變成一個固定形狀的光斑；隨著z的進一步增大，衍射圖樣呈現夫瑯禾費衍射特征。具體而言，矩形孔的夫瑯禾費衍射光強分布共有四條光芒線，兩個衍射方向。對于給定的衍射方向，隨著衍射角的增大，光強呈現遞減的變化趨勢。方形孔衍射和單縫衍射均可視為矩形孔衍射的特例。

參考文獻：

［1］安盼龍，越瑞娟，鄭永秋.夫瑯禾費衍射光強分布研究［J］.大學物理實驗2021，34（5）：47.

［2］姚啟鈞.光學教程（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2014.

［3］譚毅.矩孔夫瑯禾費衍射圖樣的仿真研究［J］.實驗室研究與探索，2013，32（7）：4142.

［4］陳昌兆，張曉森.矩孔夫瑯禾費衍射的解析解和數值解［J］.安徽理工大學學報（自然科學版），2014，34（4）：69.

［5］王永祥，鄧滿蘭，付錢華.單縫菲涅爾衍射的光強分布［J］.宜春學院學報，2007，29（2）：6971.

基金項目：2022年遼寧省教改項目——基于跨校修讀課程《現代科學運算—MATLAB語言與應用》的混合式教學模式的研究與實踐

作者簡介：鞠麗平（1977—"），女，滿族，遼寧本溪人，博士研究生，副教授，研究方向：原子分子碰撞動力學研究。