量感:數(shù)量關(guān)系形成的基本前提

［摘 要］數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容。量感是建立數(shù)量關(guān)系的前提，沒(méi)有對(duì)數(shù)量的直觀(guān)感知，學(xué)生就難以理解和建立復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。新修訂的教材（2024年版）特別強(qiáng)調(diào)了以量感培育作為學(xué)習(xí)數(shù)量關(guān)系的前提，讓學(xué)生在觀(guān)察、比較、判斷和表達(dá)中建立起對(duì)兩個(gè)事物之間長(zhǎng)短、大小、多少的聯(lián)系，從而正確形成部分與整體、等量與差量等基本關(guān)系概念。

［關(guān)鍵詞］核心素養(yǎng)；量感；數(shù)量關(guān)系

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）23-0006-03

將數(shù)量關(guān)系作為學(xué)習(xí)主題是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的一項(xiàng)新舉措。然而，數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)和理解對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)一直是一個(gè)難題。不少教師習(xí)慣讓學(xué)生背誦諸如“速度=路程÷時(shí)間”“（和+差）÷2=大數(shù)”等公式，導(dǎo)致學(xué)生從小學(xué)高年級(jí)到初中階段在尋找等量關(guān)系和列方程時(shí)都感到困難。究其原因，是因?yàn)閷W(xué)生從未清晰地知道“什么是數(shù)量關(guān)系”及“學(xué)過(guò)哪些數(shù)量關(guān)系”。因此，教師必須厘清數(shù)量關(guān)系在小學(xué)教材中的類(lèi)型和狀態(tài)，讓學(xué)生對(duì)事物的可測(cè)量屬性及其大小關(guān)系形成直觀(guān)的感知，建立量感，并通過(guò)具身實(shí)踐反復(fù)修正和完善這些感知，從而構(gòu)建起數(shù)量關(guān)系的基本模型。

一、量感與數(shù)量關(guān)系

（一）量感是在事物比較中形成的規(guī)模性認(rèn)知

所謂量感，主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀(guān)感知，并能運(yùn)用度量描述和解決問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣。從現(xiàn)象學(xué)的角度看，量感的形成是通過(guò)對(duì)事物進(jìn)行比較并建立聯(lián)系來(lái)實(shí)現(xiàn)的。因此，量感是在事物比較中形成的規(guī)模性認(rèn)知。在這里，“事物比較”意味著量感的形成是基于對(duì)不同事物或同一事物在不同狀態(tài)下的對(duì)比和比較。“規(guī)模性認(rèn)知”指的是通過(guò)比較形成的對(duì)事物規(guī)模、大小或數(shù)量的認(rèn)知。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，組織學(xué)生通過(guò)觀(guān)察去體會(huì)事物的多少、長(zhǎng)短、大小、輕重等屬性，形成量感，是十分必要的。

（二）數(shù)量關(guān)系是對(duì)事物規(guī)模性的理性表達(dá)

所謂數(shù)量關(guān)系，是一個(gè)描述事物之間在數(shù)學(xué)上相互關(guān)聯(lián)或聯(lián)系的概念。它關(guān)注的是事物之間的量化關(guān)系，以及如何通過(guò)數(shù)學(xué)方法來(lái)分析、建立、表達(dá)和應(yīng)用這些關(guān)系。數(shù)量關(guān)系涉及各種數(shù)學(xué)運(yùn)算，如加、減、乘、除，以及更復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理。

首先，通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)事物之間的相同屬性。比如一樣長(zhǎng)、一樣重、一樣大，數(shù)學(xué)上將其稱(chēng)為“等量關(guān)系”，并用“A=B”進(jìn)行表達(dá)。如果幾個(gè)事物有相同屬性，即為“A=B=C”，并且定義為數(shù)學(xué)的基本事實(shí)：當(dāng)A=B，B=C時(shí)，A=C。語(yǔ)言描述為“等量的等量相等”或“等量代換”等。

其次，有相同屬性就有不同屬性。因此，事物之間除物理屬性差異外，數(shù)量上的差異按照前述方式稱(chēng)為“不等量”或者“相差量”，并用“Ａ≠Ｂ”來(lái)表達(dá)。其中涵蓋A>B和A<B兩種關(guān)系。不等量有著復(fù)雜的傳遞關(guān)系，如“當(dāng)A>B，B>C時(shí)，A>C”等。

最后，在比較中發(fā)現(xiàn)事物的大類(lèi)里面有小類(lèi)，于是出現(xiàn)了分與合的關(guān)系。

如“男生人數(shù)+女生人數(shù)=全班人數(shù)”，就是大類(lèi)與小類(lèi)的關(guān)系。若用“A=B+C”表示，那么“全班人數(shù)=1組人數(shù)+2組人數(shù)+3組人數(shù)+…”，就相當(dāng)于分段計(jì)數(shù)，即用“A=a1+a2+a3+…”表示。

如果計(jì)數(shù)和測(cè)量中男生和女生人數(shù)相同，或者每組人數(shù)相同，就出現(xiàn)了等加或等分情況，數(shù)學(xué)上就簡(jiǎn)化表達(dá)為A=2B或A=an。這就是常說(shuō)的部分與整體的關(guān)系，稱(chēng)為“總分關(guān)系”，表述為“總量=分量+分量”。分量不等或相等的“合運(yùn)算”分別叫作加法模型（A=B+C或A=a1+a2+a3+…）和乘法模型（A=2B或A=an）。如果A>B，A=a1+a2，B=a1，那么B+a2=A。

可見(jiàn)，事物之間數(shù)量關(guān)系的建立離不開(kāi)對(duì)事物規(guī)模的直觀(guān)感知和理性思考。在日常生活和學(xué)科研究中，數(shù)量關(guān)系都扮演著重要的角色。比如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，數(shù)量關(guān)系可以用于分析不同經(jīng)濟(jì)指標(biāo)之間的關(guān)系，預(yù)測(cè)市場(chǎng)趨勢(shì)；在物理學(xué)中，數(shù)量關(guān)系可以用來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，解釋自然現(xiàn)象。

二、教材示例與教學(xué)解讀

建立量感有助于養(yǎng)成用定量的方法認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的習(xí)慣。如果學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)量的直觀(guān)感知，就難以理解和建立復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。本輪新版教材從開(kāi)篇的綜合實(shí)踐活動(dòng)開(kāi)始，就有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行量感與數(shù)量關(guān)系感知的培育。

（一）利用游戲活動(dòng)體驗(yàn)事物的規(guī)模與差異

北師大新世紀(jì)版教材（2024年版）一年級(jí)第一單元第10頁(yè)“我上學(xué)了”的情境圖呈現(xiàn)的是秋天果實(shí)（如圖1-1、1-2），讓學(xué)生“摘一摘”“抱一抱”“比一比”，在看一看、想一想、說(shuō)一說(shuō)中直觀(guān)感知事物有“大小”“輕重”，了解“最輕”“最重”。在平衡木做的“天平”上，學(xué)生通過(guò)實(shí)踐操作發(fā)現(xiàn)了南瓜比番茄重，番茄比辣椒重，從而推斷出“南瓜最重”“辣椒最輕”。這些發(fā)現(xiàn)為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，學(xué)生在學(xué)習(xí)第二單元后能夠用“南瓜>番茄>辣椒”“南瓜>辣椒”等式子來(lái)表示這些關(guān)系。此外，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的秘密：小土豆和大辣椒比，“個(gè)頭大的不一定重”“土豆小但比辣椒重”。這個(gè)發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步豐富了學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解。

西南大學(xué)版教材（2024年版）一年級(jí)上冊(cè)第一單元“我的幼兒園”第5頁(yè)情境圖呈現(xiàn)了幼兒園里的“比較”游戲場(chǎng)景（如圖2）：提示學(xué)生通過(guò)比較書(shū)包、文具盒、身高、臂長(zhǎng)、鉛筆、繩子等，直觀(guān)體會(huì)體積的“大與小”、個(gè)子的“高與矮”、數(shù)量的“多與少”、形態(tài)的“曲與直”。這些感知和體驗(yàn)對(duì)學(xué)生度量直覺(jué)和度量意識(shí)的培養(yǎng)有很大的幫助。

在這里，為了體現(xiàn)“比較要看標(biāo)準(zhǔn)”，教師要根據(jù)教材的素材，運(yùn)用數(shù)學(xué)化方式給物品編號(hào)，然后使用完整的語(yǔ)言表達(dá)模板，例如，“1號(hào)書(shū)包和2號(hào)書(shū)包比，1號(hào)書(shū)包大”“2號(hào)書(shū)包和1號(hào)書(shū)包比，2號(hào)書(shū)包小”。這樣，學(xué)生將來(lái)在用語(yǔ)言、符號(hào)、關(guān)系式等表達(dá)數(shù)量關(guān)系時(shí)，就更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的味道。

（二）在數(shù)量差異對(duì)比中感受一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系

人教版教材一年級(jí)上冊(cè)第一單元“5以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)和加減法”第17頁(yè)呈現(xiàn)了一幅“比大小”的情境圖（如圖3）：讓學(xué)生先數(shù)一數(shù)，再一個(gè)對(duì)著一個(gè)“擺一擺”。通過(guò)這樣的體驗(yàn)活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)兩類(lèi)物品的數(shù)目有相同與不同的關(guān)系，并學(xué)會(huì)用語(yǔ)言、符號(hào)、式子等，把觀(guān)察、思考后的結(jié)果用讀和寫(xiě)的方式表達(dá)出來(lái)。這樣，通過(guò)“一一對(duì)應(yīng)”的數(shù)數(shù)，學(xué)生既能感受到兩類(lèi)物品數(shù)量上的相同與不同，又能學(xué)會(huì)如何表達(dá)這樣的認(rèn)知結(jié)果。

（三）借助數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系建立新的關(guān)系模型

過(guò)去，人們習(xí)慣用“多幾個(gè)就是少幾個(gè)”來(lái)說(shuō)明兩個(gè)量的相差關(guān)系，用公式計(jì)算是“大數(shù)－小數(shù)=相差數(shù)”，這使學(xué)生在學(xué)習(xí)“分率”時(shí)感覺(jué)很困難。

北師大新世紀(jì)版教材一年級(jí)第四單元“10以?xún)?nèi)數(shù)加與減”第48頁(yè)呈現(xiàn)了一幅“挖紅薯”的情境圖（如圖4）：讓學(xué)生在“一樣多”的基礎(chǔ)上建立“比誰(shuí)多”“比誰(shuí)少”的關(guān)系模型。這種把“度量標(biāo)準(zhǔn)”作為突出點(diǎn)的編排方式，是挑戰(zhàn)原教材的一個(gè)編修典范。

首先，哥哥說(shuō)“我挖了5個(gè)”，妹妹說(shuō)“我想和哥哥的紅薯一樣多”，這就讓學(xué)生在量感基礎(chǔ)上進(jìn)一步體會(huì)“等量關(guān)系”。學(xué)生一下就能覺(jué)察到“等量的對(duì)稱(chēng)性”，推出“妹妹也想有5個(gè)紅薯”。

其次，通過(guò)畫(huà)直觀(guān)圖，在一一對(duì)應(yīng)中發(fā)現(xiàn)他們兩人的數(shù)量不一樣多。哥哥的5個(gè)圈對(duì)應(yīng)5個(gè)紅薯，妹妹的3個(gè)圈對(duì)應(yīng)3個(gè)紅薯，結(jié)論是“哥哥挖得多，妹妹挖得少”。這就為建立對(duì)應(yīng)關(guān)系中的加減法關(guān)系模型打開(kāi)了一扇門(mén)：“比誰(shuí)多”的關(guān)系特征是“去掉同樣多，還有剩余”，如5-3=2（個(gè)）。

再次，針對(duì)教材中用算式表示“妹妹想和哥哥的紅薯一樣多，你有什么辦法”的問(wèn)題，舊教材直接給出“5-3=2”，新教材則緊扣量感培養(yǎng)：“妹妹少了，能夠去拿哥哥的嗎？”“把哥哥的拿了，妹妹還是沒(méi)哥哥多呀？”因此，只有“妹妹再挖2個(gè)才和哥哥一樣多”，“3+2=5”才是正確數(shù)量關(guān)系的表達(dá)。

最后，在六年級(jí)整理知識(shí)時(shí)，就可給出數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系結(jié)構(gòu)性示意圖（如圖5），進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生量感的發(fā)展。

綜上所述，新修訂的教材（2024年版）強(qiáng)調(diào)了以量感培育為基礎(chǔ)教學(xué)數(shù)量關(guān)系。因此，教師需重視引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)直觀(guān)感知和實(shí)踐操作建立對(duì)數(shù)量關(guān)系的深刻認(rèn)識(shí)，從而深化對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解和應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)全面發(fā)展。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 鄭大明.“數(shù)學(xué)眼光”的基本表現(xiàn)及其評(píng)價(jià)：基于數(shù)感、量感、形感的思考[J].小學(xué)教學(xué)參考，2021（29）：3-6.

[2] 鄭大明.用“多維度量原理”破除“單位相乘”論：關(guān)于量感前提下數(shù)學(xué)運(yùn)算中法理一致性與正確性的思考[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2022（29）：34-37.