巧環節設置，妙問題引導

本文借助“直線與平面垂直”的教學設計，從不同環節入手加以巧妙設置，依托教學分析、教學設計與教學啟示加以設置，結合多個環節的靈活巧妙設計來展示教學過程與學習過程，引領并指導教學與學習。

本課時是高中數學人教A版必修二第八章“立體幾何初步”中第6節“直線與平面垂直”，是在學習了直線與平面的平行的基礎上，進一步研究空間直線、平面的垂直關系，并在研究直線與直線垂直的情況下，深入研究直線與平面垂直，也為后面研究平面與平面垂直打下基礎。

一、教學分析

（一）教材分析

本課時滲透“類比”“降維”思想，是“直觀想象”“邏輯推理”等數學核心素養的重要體現。垂直關系是相交關系中的特殊情況。我們在平面幾何中探究兩條相交直線時，是根據它們形成的角是否是直角來判斷垂直關系。我們在立體幾何中探究直線與直線、平面與平面的位置關系，依然采用角來刻畫，如異面直線所成角、線面角、二面角等。

本課時從定義入手，結合直觀感知，并通過空間直觀圖形來操作確定，合理想象，在此基礎上加以歸納與猜想，再進行科學的推理論證。這是培養學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理素養的載體，同時也讓學生感受到數學與生活的密切聯系，有助于培養學生的探究能力和理性精神。

從定理的內涵與實質入手，由定義中的廣泛性問題概括成定理中的具體性問題，方便操作與應用，實現由無限思維到有限思維的過渡。

（二）學情分析

學生在前面已經學習過直線、平面平行的判定及性質，已初步具備了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數學結論”的能力，有了一定的空間想象能力、邏輯推理能力和分析問題的能力，但形象思維仍占主導，特別對定義中的廣泛性到定理中的具體性之間的過渡與理解存在困難；同時，學生的空間想象能力、推理論證能力有待進一步加強，還沒有形成知識邏輯體系，在直線與平面垂直判定定理的運用中，不知如何選擇已知平面內的兩條相交直線，導致證明過程無從下手，對空間位置的觀察能力還需進一步加強。

（三）內容分析

1.直線與平面垂直的定義，直線與平面垂直的判定定理。

2.合理構建空間平行、垂直關系之間的轉化與應用關系（見圖1）：

（四）育人價值

在本節課教學過程中，教師通過港珠澳大橋滲透愛國主義教育.通過讓學生觀察圖片和小組合作探索，發現規律，感受獲得知識的過程，享受獲得知識的快樂，從中培養學生的空間想能力、動手實踐能力及邏輯思維能力；提高學生的科學研究能力，激發學生對數學乃至科學的熱愛。

（五）重點難點

教學重點：有關直線與平面垂直的定義及其內涵；直線與平面垂直的判定定理的具體性概括、探索與發現。

教學難點：直線與平面垂直的判定定理的理解與實際應用。

（六）教學目標

1.理解掌握直線與平面垂直的定義。

2.理解掌握直線與平面垂直的判定定理。

（七）條件支持

教師利用三角形紙片、吸管、三角板以及生活中直線、平面垂直的實例為學生探究、理解直線、平面的垂直關系提供有力支持；利用手機投屏及時展示學生的探究過程和作答過程，學生及時分享和獲得點評；利用希沃白板倒計時功能設置限時探究和限時訓練；利用希沃白板作圖功能結合多媒體課件，讓學生從不同角度觀察圖形，增強視覺效果，幫助學生更深刻地理解概念和定理。

二、教學過程

環節一：創設情境，提出問題

場景創設：宏偉的天安門廣場和港珠澳大橋，里面有哪些空間位置關系呢？（見圖2）

問題1：結合圖2，你們能否說出橋柱與地面、旗桿與地面、燈柱與地面之間存在怎樣的位置關系呢？

師生活動：教師借助圖片，結合現實生活實例，合理引導學生感知現實生活中一些有關直線與平面垂直的例子，為本節課的課題引出創造條件。

（設計意圖：通過情境，引導學生初步直觀感知現實生活中直線與平面垂直的位置關系，構建初步的直觀印象，為進一步深入學習與應用創造條件。）

問題2：直線與平面垂直需要滿足什么條件？你能給直線和平面垂直下定義嗎？

借助我們已經學過的知識，由直線與平面平行的定義、判定定理與性質定理等，深入觀察與巧妙類比，將問題轉化為本節課所要學習的直線與平面垂直的定義、判定定理與性質定理等相關問題，類比應用，深入學習。

回顧直線與平面平行的概念：直線與平面沒有公共點。

師生活動：學生小組討論，應該通過什么方法研究直線與平面垂直的定義。

（設計意圖：合理引導學生進行類比思維、“降維”思維、直觀思維等方面的應用，借助觀察思考，正確感知直線與平面垂直的概念、本質與內涵等。）

問題3：如圖3所示，直線AB與平面內任意一條直線都垂直嗎？

師生活動：學生用吸管代替直線，用三角板的直角來測量直條與卡紙內直線是否垂直。

追問2：直線AB與不相交的直線B′C′也垂直嗎？

師生活動：學生依據異面直線所成角的知識作出判斷。

（設計意圖：通過實際操作進行判斷，并利用異面直線所成角的定義做出分析，為下一步抽象出數學定義做準備。）

環節二：抽象概念，內涵辨析

問題4：請閱讀教材相關內容，表達出直線與平面垂直。

師生活動：由學生直接閱讀教材內容與問題回答，教師加以合理補充與完善，重點指出直線與平面垂直的定義中的“任意一條直線”的實質與內涵，并給出相應的記法與畫法。

具體的直線與平面垂直的定義、記法、畫法等內容，學生直接參考教材中的相應知識。

追問3：改變說法，若一條直線垂直于一個平面內的三條直線、無數條直線等情況，那么這條直線與這個平面是否垂直？

師生活動：引導學生用三角板兩直角邊表兩垂直直線，在白紙內畫出一組平行線，最后教師給出反例的直觀圖。

（設計意圖：通過類比思維、“降維”思維、直觀思維等的應用，加深學生對概念的理解與掌握，充分把握概念的本質與內涵，特別是要明確概念中有關“任意一條直線”的實質，其本意是“所有直線”的意思。）

問題5：過一點垂直于已知平面的直線有幾條？

師生活動：引導學生用通過卡紙和直條去實踐探索，并引出點到平面的距離概念：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到平面的距離。

（設計意圖：通過動手探索，類比點到直線距離的定義，給出點到平面的距離的定義。）

環節三：觀察實驗，歸納猜想

問題6：通過直線與平面垂直的定義去判定直線與平面是否垂直方便嗎？有沒有更好的辦法？

學生雖然可以根據直線與平面垂直的定義實現其兩者位置關系的判斷，但定義中的廣泛性沒辦法具體實施，尋找一個便捷可行的方法就成了判斷直線與平面垂直的關鍵。

師生活動：引導學生討論思考，學會用類比展開研究。

探究活動：

任務1：類比直線與平面平行的判定定理，能否與探究該直線與平面內一條直線垂直來判斷該直線與對應的平面的垂直關系呢？

任務2：進一步深入探究該直線需要和平面內的多少條直線垂直時，才能判定直線與平面垂直呢？分幾種情況？為什么？

師生活動：教師指導，師生實際操作。

利用課前準備好的一塊（任意形狀）的三角形紙片△ABC，如圖4所示，通過折疊紙片（折痕為AD），兩折疊平面不重合，并將該折疊后的紙片豎立在桌面上（其中BD、DC與桌面接觸）。

追問4：直觀分析，三角形紙片△ABC的折痕AD是否與桌面垂直嗎？

追問5：到底我們要如何折疊，才能使得三角形紙片△ABC的折痕AD與桌面所在的平面垂直呢？

（設計意圖：通過觀察試驗過程，利用直觀分析來確定折痕AD與桌面所在的平面的位置關系，明確一般的不垂直與特殊的垂直之間存在不同的條件。）

問題7：如果滿足折痕AD⊥BC，那么折疊之后，直線與直線間的垂直關系是否發生了改變？即AD⊥CD，AD⊥BD是否發生了改變？結合這個條件，我們可以得到怎樣的結論呢？

師生活動：由一般的折痕AD過渡到與BC邊垂直的折痕AD，由一般到特殊，由不垂直到垂直，從而剖析直線與平面內兩條相交直線的關系，給直線與平面垂直的判定定理的引入創造條件。

追問6：AD垂直于桌面內的每一條直線嗎？

探究成果：學生獨立思考，通過追問與分析，層層深入，由此合理歸納出直線與平面垂直的判定定理，以及該定理的不同表示方式。

直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

（設計意圖：讓學生歸納出直線與平面垂直的相關條件，要關注的是平面內兩條直線是相交的，而平面內的兩條直線與已知直線是否相交沒作具體的要求。）

環節四：例題剖析，鞏固理解

例1.求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。

師生活動：將數學語言轉化為數學符號，并合理進行直觀作圖（見圖5），構建題設條件與證明結論：在△ABC中，直線a⊥AC，a⊥BC，求證：a⊥AB。

教師先讓學生自己做題，后選取兩位學生的證明過程加以投影，借此過程師生一起評析，特別要分析此過程中運用判定定理的相關步驟，不能缺少相應的條件，特別是平面內的“兩條直線相交”這個條件。

例2.（教材第151頁的例3）如圖6所示，已知直線a//直線b，直線a⊥平面α，求證：直線b⊥平面α。

師生活動：此處以教師分析為主，可以合理提問學生回答，師生共同完成相應問題的證明，特別是此過程中輔助線的構建與應用，并強調證明的基本步驟與注意點.教師讓學生嘗試用自己的語音來歸納并敘述相關的性質與結論，并在此基礎上回歸教材來總結與歸納。

環節五：小結提升，形成網絡

問題8：請你結合本節課的學習，回答下面問題：

（1）通過本節課學習，你學到了哪些知識？

（2）探尋直線與平面垂直的定義和判定定理的具體步驟有哪些？你對課堂的哪個環節印象最深刻，為什么？

師生活動：學生發言，相互補充；教師點評，共同歸納，形成知識網絡。

（設計意圖：借助課堂教學，強化學生進行小結、反思、深入等方面的習慣，鼓勵學生進行深度學習與應用。）

師生活動：教師合理引導，提問學生，教師巧妙完善，進而加以合理歸納與總結。

環節六：目標檢測，檢驗效果

（1）如圖7所示，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD.求證：PO⊥平面ABCD。

（2）完成教材第162頁練習2。

環節七：分層作業，應用遷移

A組：教材練習題1、4，加相應的課時作業。

B組：教材練習題3、4，加相應的課時作業。

三、教學反思

（一）合理設置，滲透思想

在本節課中，教師結合生活情景引導學生觀察、探索、類比，得出直線與平面垂直的定義，再運用“降維”思想把“無限”轉化為“有限”，由學生動手探究，發現直線與平面垂直的判定定理。

平面幾何的學習方法可以推廣到空間幾何上：（1）從觀察分析→討論探究→證明的過程，學生建構起直線、平面垂直的概念，這蘊含了直觀與抽象相結合的數學思想；（2）將證明直線與平面垂直轉化為證明直線與直線垂直，這體現了空間問題平面化處理的思想；（3）通過類比直線與平面的平行關系，得出直線與平面的垂直關系，這體現了類比的數學思想。

（二）知識關系，落實“雙減”政策

知識的上下位關系：教師合理設計總結反思環節，讓學生主動梳理一遍新知識的獲得過程，加深學生對新知識的理解，最后根據學生完成練習的情況分成不同的層次，布置分層作業，有效減輕學生的作業負擔，從而落實“雙減”政策。