基于APOS理論的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計與實施

一、APOS理論概述

APOS術(shù)語是由Action，Process，Object和Schema這四個英語單詞的首字母組合而成，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了一個分階段的認知發(fā)展框架，該理論將學(xué)習(xí)過程分為以下四個關(guān)鍵階段。

（一）操作階段

在操作階段，教師會帶領(lǐng)學(xué)生利用既有經(jīng)驗初步構(gòu)建基本概念，即通過具體的實踐活動，從數(shù)學(xué)的視角探索并揭示內(nèi)在的規(guī)律。

（二）過程階段

過程階段的主要方法是通過重復(fù)操作實現(xiàn)知識內(nèi)化。這一階段涉及將外部的動作和操作轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的心理思維，通過不斷的實踐和反思，幫助學(xué)習(xí)者提煉出概念的核心特征。

（三）對象階段

在對象階段，教師會帶領(lǐng)學(xué)生整合概念的形成過程，將概念的抽象定義、屬性和性質(zhì)一體化，幫助學(xué)生建立概念屬性與性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，進一步強化學(xué)生對概念的理解。

（四）圖式階段

簡而言之，圖式階段要求個體在學(xué)習(xí)過程中逐步構(gòu)建獨特的認知框架。根據(jù)APOS理論，學(xué)生在經(jīng)歷了前三個階段的學(xué)習(xí)后，會對自己既有的概念圖式進行整合，進而創(chuàng)造出全新的圖式。

二、基于APOS理論的三角函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計與實施

（一）教材分析

高中數(shù)學(xué)新人教A版必修一第五章第二節(jié)的內(nèi)容中引入了第四個特殊函數(shù)模型——三角函數(shù)。三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，主要描述了事物的周期性運動和變化。在本章節(jié)的教學(xué)中，師生共同探討了諸多內(nèi)容。具體包括通過單位圓和終邊來定義三角函數(shù)，明確三角函數(shù)的基本概念；如何在坐標軸各象限中表示三角函數(shù)符號；“公式一”的內(nèi)容。這一節(jié)的內(nèi)容對初中階段所學(xué)的銳角三角函數(shù)進行了拓展，同時為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，承前啟后，為全書的核心概念奠定堅實的基礎(chǔ)。

（二）學(xué)情分析

高一年級的學(xué)生已經(jīng)接觸過銳角三角函數(shù)知識，大部分學(xué)生都能說出基本的銳角三角函數(shù)值，還能運用函數(shù)準確描述邊角關(guān)系。但初中知識只局限于固定值銳角，學(xué)生對任意角三角函數(shù)的認識仍然較為模糊。此外，學(xué)生在初中階段通常采用靜態(tài)方法掌握定義，在轉(zhuǎn)向高中階段的動態(tài)學(xué)習(xí)時往往存在理解能力不足的情況。因此在教學(xué)過程中，教師要針對上述問題運用相應(yīng)的教學(xué)方法，輔助學(xué)生克服困難，激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的熱情。

（三）教學(xué)目標

1.掌握三角函數(shù)概念的多種表現(xiàn)形式，通過單位圓和終邊定義法準確描述三角函數(shù)的特性，揭示它們的核心本質(zhì)。

2.從實際情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生明確單位圓定義法和終邊定義的內(nèi)容，逐步過渡到數(shù)學(xué)圖象的繪制，最終實現(xiàn)對三角函數(shù)概念與性質(zhì)的深入理解；激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)研究中探索未知的興趣，提升其解決實際數(shù)學(xué)問題的能力，讓學(xué)生領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的邏輯思維和應(yīng)用價值。

3.引導(dǎo)學(xué)生從具體的情境中提煉出抽象的數(shù)學(xué)概念，讓他們在探究過程看到數(shù)學(xué)背后的普遍規(guī)律和深層邏輯；培養(yǎng)學(xué)生敢于深入未知、追求精確、堅持不懈的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，塑造其勇于創(chuàng)新的意識。

（四）教學(xué)重難點

深入解析如何利用單位圓輔助理解三角函數(shù)的概念。

（五）教學(xué)過程

1.操作階段

教師：同學(xué)們，誰坐過摩天輪？

學(xué)生：我坐過！/我還沒有機會坐。

教師：那么，那些曾翱翔于摩天輪之巔的同學(xué)，能否分享一下你們的體驗？

學(xué)生：摩天就是一個特別大的圓盤，圓盤邊緣懸掛著一圈精致的座艙。摩天輪啟動的時候，座艙就會隨著圓盤的旋轉(zhuǎn)而上升，座艙里的人不僅能感受高空的刺激，還能盡情欣賞四周的風景，體驗一種獨特的旋轉(zhuǎn)與視覺盛宴相結(jié)合的旅程。

教師：說得太棒了，現(xiàn)在我們來看一看PPT上的摩天輪，小明和他的朋友們一起乘坐摩天輪，小明和同學(xué)的位置會隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動而變化，那我們該怎樣用數(shù)學(xué)語言表示這一現(xiàn)象呢？

教師引導(dǎo)：可能有的同學(xué)覺得無從下手，那么大家能不能從這個圓入手來解決我剛才提出的問題呢？

學(xué)生：將摩天輪看作一個單位圓，支撐摩天輪的中軸就是圓心，小明和他的同學(xué)們就是在單位圓上勻速移動的一個點。

（教師出示PPT，見圖1）

教師：非常棒，你的想法正是現(xiàn)實事物與理論知識交織的例證。如果我們把點A視作起點，那么點P便代表小明當前的位置。那我們該如何準確地描述小明的位置變化呢？怎么構(gòu)建函數(shù)模型來刻畫這種變化呢？

學(xué)生：我們可以在這個圓形軌跡上建立一個坐標系，以圓心作為原點，OA線段則位于坐標系的x軸正半軸上。此時，OP與OA之間的夾角便成了一個關(guān)鍵因素，它能夠精確地表示小明的位置。我們可以利用這個夾角的大小來構(gòu)建一個函數(shù)模型，從而描述小明的位置變化。

教師：非常好，現(xiàn)在我們來總結(jié)一下，用更準確的語言將這個坐標軸表示出來。首先將OA的長度設(shè)定為單位1，點A的坐標則為（1，0），小明的位置則呈逆時針勻速變化，所以點P的坐標用（x，y）來表示。此時射線OA起始于x軸的非負半軸，圍繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角度α后，最終抵達點P。

2.過程階段

（學(xué)生小組討論，教師在教室巡視）

學(xué)生選取代表回答問題。

（學(xué)生進行獨立計算，教師點名展示）

教師：這個點是唯一的嗎？

學(xué)生：是的。

教師：假設(shè)我們?nèi)芜x一個角，觀察點P的坐標及其終邊OP，你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？

學(xué)生：無論是銳角還是任意角，其正弦、余弦和正切值都可以通過該角終邊與單位圓交點的坐標或坐標的比值來定義。

3.對象階段

教師：現(xiàn)在請同學(xué)們結(jié)合課本內(nèi)容進行小組討論，用自己的話說一說三角函數(shù)的定義。

（學(xué)生討論，教師點撥，學(xué)生表述定義）

（學(xué)生討論并作圖，見圖2）

學(xué)生：a1和b1是相等的。

教師：在討論的過程中大家有什么發(fā)現(xiàn)嗎？求角α值的必備條件是什么？

學(xué)生：要確定角α的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于找出該角終邊和單位圓相交的點的坐標。

4.圖式階段

學(xué)生獨立計算。

教師：說一說你們的計算過程。

5.課堂總結(jié)

教師：我們來回顧一下本節(jié)課的內(nèi)容。

學(xué)生：我們在單位圓和直角坐標系中進行探究，利用已有的知識和經(jīng)驗來揭示三角函數(shù)的基本特征。這些特征包括正弦、余弦和正切函數(shù)的周期性、對稱性以及它們在各個象限中的符號。

教師：單位圓上的點與相應(yīng)的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系呢？

學(xué)生：角α的終邊與單位圓相交時，點P的坐標為（x，y），其中x是點P在x軸上的投影，y是點P在y軸上的投影。根據(jù)點P的坐標，我們可以計算出sinα、cosα和tanα的值。

教師：沒錯，通過這些探究，我們可以總結(jié)和歸納出三角函數(shù)的基本概念。sinα可以被定義為角的終邊與單位圓相交時，y軸上的投影與半徑的比值。同樣，cosα可以被定義為x軸上的投影與半徑的比值，而tanα則可以被定義為y軸上的投影與x軸上的投影的比值。學(xué)習(xí)這些概念之后，我們可以通過正反例辨析來加深對三角函數(shù)的理解。最后，我們將聯(lián)系新學(xué)到的知識與已有知識，構(gòu)建一個完整的知識體系。這意味著我們將三角函數(shù)的概念與代數(shù)、幾何和其他數(shù)學(xué)分支的相關(guān)知識聯(lián)系起來，以便更全面地理解和應(yīng)用這些概念。這種方式可以確保我們的理解是深入、全面的，并且能夠適應(yīng)不同的問題和情境。