從“長×寬×高”走向“底面積×高”

［摘 要］在教授“長方體與正方體”單元時(shí)，大部分學(xué)生對公式“長方體體積=長×寬×高”非常熟悉，但對公式“體積=底面積×高”的理解和應(yīng)用不夠靈活。文章通過對教材內(nèi)容的重新編排，適當(dāng)增加關(guān)于“體積=底面積×高”的變式練習(xí)，讓學(xué)生從本質(zhì)上理解體積公式，熟練并能靈活應(yīng)用“底面積×高”解決相關(guān)問題。

［關(guān)鍵詞］體積；柱體；底面積；高

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）20-0043-03

長方體和正方體是最基本的立體圖形，掌握好長方體和正方體的體積計(jì)算，有助于學(xué)生形成體積的概念，從而掌握體積的計(jì)量單位并能靈活計(jì)算各種幾何形體的體積。

一、發(fā)現(xiàn)問題

在教學(xué)“長方體與正方體”單元前，筆者給六年級40名學(xué)生做了前測。

前測題1：如圖1所示的四個(gè)物體中，不能通過“底面積×高”求體積的是（ ）。

前測題2：計(jì)算如圖2所示物體的體積，方法正確的是（ ）。

A.5×10×3

B.5×10×4

C.（3+5）×3÷2×3

D.（3+5）×3÷2×10

根據(jù)前測結(jié)果，筆者隨機(jī)訪談了幾名學(xué)生，訪談結(jié)果見表1。

通過分析表1，可以得出學(xué)生出錯(cuò)的根本原因。第一，缺乏理解。學(xué)生對“長×寬×高”熟記于心，而對“底面積×高”比較陌生。因此在做前測題1時(shí)，認(rèn)為如B選項(xiàng)這樣少一塊的，或者如D選項(xiàng)這樣有上下兩個(gè)大小不一的圖形疊加的情況，都不能用“底面積×高”進(jìn)行解答。說明學(xué)生不理解“體積=底面積×高”的本質(zhì)含義。第二，思維定式。大部分學(xué)生認(rèn)為“底面積×高”中的底面積就是指下底面的面積，并且這個(gè)底面只能是長方形或正方形。當(dāng)遇到以側(cè)面為底面積的柱體時(shí)就無從下手了。說明學(xué)生對體積公式的理解依然停留在記憶層面，在思維上有局限性。

二、分析現(xiàn)狀

（一）教材編排

人教版教材中有關(guān)“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容主要有：二年級上冊主要學(xué)習(xí)與線相關(guān)的知識(shí)；三年級下冊主要學(xué)習(xí)與面相關(guān)的知識(shí)；五年級下冊和六年級下冊主要學(xué)習(xí)與體相關(guān)的知識(shí)。可以看出，教材是按幾何元素的線、面、體有序展開教學(xué)的。掌握長方體和正方體體積的計(jì)算方式是學(xué)生形成體積概念，以及掌握體積的計(jì)量單位和計(jì)算各種幾何圖形體積的基礎(chǔ)，但教材中沒有很明確地提出“什么是正六（三）棱柱”。因此，教師在六年級教學(xué)中細(xì)化和深化“底面積×高”的應(yīng)用范圍就顯得尤為重要。在內(nèi)容設(shè)計(jì)上，教師應(yīng)該增加一些應(yīng)用變式，幫助學(xué)生明確任何柱體的體積都可以用“底面積×高”來計(jì)算。

（二）教師教學(xué)

1.照搬教材。在教學(xué)長方體體積的計(jì)算時(shí)，教師以“體積=長×寬×高”的公式作為教學(xué)重點(diǎn)，而對“體積=底面積×高”則是以等量代換的形式來推理的。這樣就導(dǎo)致學(xué)生不懂如何運(yùn)用“底面積×高”來求棱柱的體積。

2.欠缺知識(shí)之間的聯(lián)結(jié)教學(xué)。在教學(xué)時(shí)，教師沒有將“體積=底面積×高”和“體積=長×寬×高”進(jìn)行聯(lián)結(jié)，導(dǎo)致學(xué)生不理解“底面積×高”的含義，也就不會(huì)運(yùn)用這一公式。

3.缺乏變式練習(xí)。教師對變式練習(xí)的設(shè)計(jì)不夠全面，除了直接用“底面積×高”來計(jì)算的題型，學(xué)生接觸最多的就是“橫截面積”的計(jì)算，缺乏更深層次的變式練習(xí)。

三、教學(xué)策略

基于以上的思考和分析，以及為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解“體積=底面積×高”的含義，筆者重新設(shè)計(jì)了本課時(shí)內(nèi)容的教學(xué)。

（一）第一課時(shí)：借助活動(dòng)，概括體積公式

本課是讓學(xué)生用小正方體拼擺出不同的長方體，通過觀察、分析和歸納，發(fā)現(xiàn)長方體的體積與長、寬、高之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而總結(jié)出長方體體積的計(jì)算公式。

【教學(xué)片段】

1.操作探究，驗(yàn)證猜想

當(dāng)學(xué)生猜測“長方體的體積=長×寬×高”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生利用擺一擺、數(shù)一數(shù)、算一算等方法驗(yàn)證猜想。

教師出示活動(dòng)要求：

①四人小組合作，用若干個(gè)1 cm3 的小正方體分別擺出3個(gè)不同的長方體。（小正方體可重復(fù)使用）

②數(shù)一數(shù)每次擺出的長方體所用小正方體的個(gè)數(shù)，將數(shù)據(jù)填在記錄表中。

③觀察擺出的長方體的長、寬、高，運(yùn)用剛才提出的猜想，算一算長方體的體積，將計(jì)算結(jié)果填在記錄表中。

④操作完成后，觀察記錄表中的數(shù)據(jù)，在小組內(nèi)交流自己的發(fā)現(xiàn)。

2.交流匯報(bào)，概括公式

①學(xué)生分享操作活動(dòng)中的發(fā)現(xiàn)：長方體的體積確實(shí)等于長、寬、高的乘積。

②教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：長方體的體積公式為[V=abh]，正方體的體積公式為 [V=a3]。

本課的教學(xué)定位并不僅僅是讓學(xué)生記住公式并運(yùn)用公式計(jì)算體積，而是讓學(xué)生動(dòng)手操作，擺一擺、數(shù)一數(shù)、算一算、驗(yàn)證猜想、揭示規(guī)律。這一活動(dòng)真正將學(xué)生對長方體體積公式的理解引向深入。

（二）第二課時(shí)：借助溝通，統(tǒng)一體積公式

本課主要是利用直觀圖示和體積的計(jì)算公式，引導(dǎo)學(xué)生將長方體和正方體的體積公式統(tǒng)一成“底面積×高”，幫助學(xué)生理解長方體和正方體體積公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，并能根據(jù)這一公式遷移到一般柱體體積的計(jì)算中，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓柱的體積計(jì)算做好鋪墊。

【教學(xué)片段】

1.第一次溝通

（1）感受“面動(dòng)成體”的過程

師：這是一張白紙，通過不斷疊加同樣的白紙使其高度為2 cm（如圖3），請你們利用體積公式計(jì)算出它的體積。

生1：用30×20×2就可以計(jì)算出它的體積，結(jié)果是1200 cm3。

（2）溝通體積計(jì)算公式的關(guān)系

師：誰來說說生1算式中每一步的含義？

生2：我發(fā)現(xiàn)30×20其實(shí)就是一張白紙的面積，那么30×20×2就可以理解為“一張白紙的面積×2”。

師：我們把“一張白紙的面積”稱為底面積，“2”稱為高，那么圖3的長方體的體積=底面積×高，可以寫成[V=S底h]。

通過以上教學(xué)，學(xué)生明白了[S底]就是底面積，只要[S底]乘上與它垂直的棱的長度，就可以計(jì)算出體積。

2.第二次溝通

（1）自主嘗試，初探規(guī)律

師：這是一張直角三角形白紙，想象一下用同樣的白紙通過不斷疊加，使其高度為2 cm，得到什么圖形？

師（課件動(dòng)態(tài)出示圖4）：請計(jì)算圖4的體積。

生3：可以先用2×6÷2=6（cm2）求出直角三角形的面積，再用6×2=12（cm3）求出圖4的體積。

（2）溝通驗(yàn)證，統(tǒng)一結(jié)果

師：想象一下，如果底面變成梯形，將這個(gè)底面向上平移5 cm后，所經(jīng)過的區(qū)域?qū)?huì)形成怎樣的形狀？

師（課件出示圖5）：請大家先給這個(gè)圖形命名，然后計(jì)算出它的體積。

生4：經(jīng)過多次計(jì)算和驗(yàn)證，我發(fā)現(xiàn)直直的柱體都可以用“底面積×高”來計(jì)算體積，都可以看成是由底面疊放而成的。

本課，筆者由長方體引申到其他直柱體，讓學(xué)生通過“自主計(jì)算→比較溝通→公式推導(dǎo)→得出通式”四個(gè)步驟深刻理解“體積=底面積×高”的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了從長方體到一般柱體的貫通，有效遷移學(xué)習(xí)和建構(gòu)知識(shí)，拓寬了思維的深度和廣度。

（三）第三課時(shí)：借助應(yīng)用，升華體積公式

學(xué)生對“底面積×高”的理解可能會(huì)拘泥于“下底面的面積×高”。在教學(xué)中，為了打破學(xué)生的思維定式，筆者設(shè)計(jì)了一些變式練習(xí)，并結(jié)合練習(xí)幫助學(xué)生理解“只要某一個(gè)面的面積與這個(gè)面垂直的棱的長度相乘”的本質(zhì)。

【教學(xué)片段】

1.鞏固練習(xí)，能力提升

師（出示前測題2）：這道題大家之前做過，現(xiàn)在誰能分析一下為什么選D嗎？

生5：可以先把這個(gè)直角梯形當(dāng)成底面，使圖形變成柱體，就可以利用“底面積×高”來計(jì)算體積。因?yàn)榈酌媸翘菪危吹酌娣e為（3+5）×3÷2，垂直底面的高為10，所以選D。

師：生5證明了“底面積×高”不只是“下底面的面積×高”，而是某一個(gè)面的面積與這個(gè)面垂直的棱的長度相乘。

2.重點(diǎn)練習(xí)，拓展升華

師：請用不同的方法計(jì)算出一個(gè)底面是正五邊形的直五棱柱（出示圖6-1）的體積。

生6：先把它分解成如圖6-2所示的兩部分，再利用“底面積×高”計(jì)算出每一部分的柱體體積，最后相加求總體積。

生7：先把它分解成如圖6-3所示的三部分，再利用“底面積×高”計(jì)算出每一部分的柱體體積，最后相加求總體積。

3.生活應(yīng)用，滲透模型思想

師：要砌一個(gè)長200 cm、寬140 cm、高 50 cm的長方形花壇，且在花壇內(nèi)挖一個(gè)底面是正方形（邊長80 cm）的長方體坑用于種樹。請問砌這樣一個(gè)花壇需要多少石料？

生8：可以將花壇看成底面是長方形（200×140）減去正方形（80×80）所形成的平面圖形（如圖7），將這個(gè)平面圖形乘以高（50），就得到這個(gè)花壇需要用到石料的體積。

本課主要針對前面所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，通過知識(shí)的類比鞏固直柱體的體積計(jì)算方法，使學(xué)生自覺運(yùn)用模型，舉一反三、觸類旁通，并能運(yùn)用柱體體積公式解決實(shí)際問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)用價(jià)值，感受運(yùn)用模型思想解題的優(yōu)越性與便捷性。

課后，筆者對部分學(xué)生進(jìn)行了后測，從檢測結(jié)果（略）可以看出：第一，通過類比、轉(zhuǎn)化，學(xué)生能自主寫出圓柱的體積為[V=πr2·h]；第二，學(xué)生能通過“底面積×高”計(jì)算出稍復(fù)雜的圖形體積。

綜上所述，將長方體和正方體的體積統(tǒng)一成“底面積×高”，更能促進(jìn)學(xué)生對體積公式本質(zhì)的理解。這不僅有利于加深學(xué)生對長方體和正方體的認(rèn)識(shí)，還能引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算出底面是三角形、平行四邊形、梯形及組合圖形等其他柱體的體積，為后續(xù)圓柱和圓錐的體積學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 周虹.多維溝通：讓模型思想培養(yǎng)落地生根：以“體積計(jì)算練習(xí)課”為例[J].小學(xué)教學(xué)參考，2020（5）：32-33.

[3] 李重瑩，歐陽帆，向型常.“‘長方體和正方體’整理與復(fù)習(xí)”教學(xué)實(shí)踐與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2020（5）：34-35，58.

[4] 張所濱.“紙”中的學(xué)問：兼談“圓柱的體積公式推導(dǎo)”結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2021（11）：27-29.

（責(zé)編 李琪琦）