基于核心素養的數學解題教學探討

張燕

摘?要：本文以2023年高考數學新課標Ⅰ卷22題為例，對基于核心素養的高中數學解題教學進行探討.

關鍵詞：高中數學；解題教學；數學核心素養

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）15-0020-03

解題教學是數學教學中非常重要的組成部分，是學生將數學知識與數學實踐進行聯系的重要方式.所以，以培養學生核心素養為目的來開展解題教學是提升學生數學核心素養的重要措施.

解題教學中，試題選擇具有非常重要的作用.通過良好的選題能夠更好地實現培養學生的“四基”、提升學生的“四能”，進而實現對學生核心素養的提升.所以在選題過程中，需要充分結合所學知識內容，選擇合適的例題來進行解題教學.本文選用了2023年新課標1卷的解析幾何試題來進行解析幾何的解題教學.

1 試題呈現

（2023年高考新課標1卷22題）在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到（0，12）的距離，記點P的運動軌跡為W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明矩形ABCD的周長大于33[1].

2 問題分析

問題（1）引導：根據題意，假設點P的坐標為（x，y），點P到x軸的距離就可以表示為d=|y|，點P到點（0，12）的距離可以表示為d=（x-0）2+（y-1/2）2，這樣就可以對方程進行表示：|y|=x2+（y-1/2）2，整理可得W：y=x2+14.

問題（2）引導：根據問題（1）可以知道矩形ABCD的三個頂點在y=x2+14上，就可以將這三個頂點的坐標進行表示：

假設三個頂點的坐標分別為：A（a，a2+14），B（b，b2+14），C（c，c2+14），并將三個頂點的橫坐標大小關系確定為a＜b＜c，可以很輕易地確定這個四邊形的四條邊所在的直線斜率存在，且不為0，如圖1所示.

因為AB⊥BC，所以直線AB的斜率和直線BC的斜率的關系為：kAB·kBC=-1.

令kAB=b2+1/4-（a2+1/4）b-a=a+b=m＜0，kBC=b+c=n＞0

由kAB·kBC=-1可得mn=-1，即m=-1n，

同時假設|m|＞|n|，則kBC-kAB=b+c-（a+b）=c-b=n-m=n+1n.

根據矩形的對稱性，設矩形的周長為C，則矩形的周長可以表示為C=2（|AB|+|BC|）

所以

12C=|AB|+|BC|=（b-a）1+m2+（c-b）1+n2≥（c-a）1+n2=（n+1n）1+n2.這樣就將矩形ABCD的周長大于33的問題轉化為判斷（n+1n）1+n2與332的關系.同時（n+1n）1+n2＞0明顯成立.

令f（x）=（x+1x）2（1+x2），x＞0，求導可得f ′（x）=2（x+1x）2（2x-1x），

令f ′（x）=0解得x=22，

所以可以知道函數f（x）=（x+1x）2（1+x2），x＞0在（0，22）上單調遞減；在（22，+∞）上單調遞增.

所以f（x）min=f（22）=274，

所以12C≥274=332，即C≥33，

當C=33時，n=22，m=-2，且（b-a）1+m2=（b-a）1+n2，與m=-1n矛盾，所以C＞33.

3 其他思路

上述問題（2）是利用矩形相鄰兩個邊垂直的關系，通過直線相鄰邊直線的斜率關系，對三個頂點的坐標進行設置，從而實現對矩形周長進行表示，實現問題的證明.那么，通過設置一個點的坐標是否能夠對問題進行證明呢？

解法1?如圖2所示，假設點A，B，D在E上，且AB⊥AD，

假設點A的坐標為（a，a2+14），根據AB⊥AD假設直線AB的斜率為k，則直線AD的斜率為-1k，根據對稱性，設|k|＜1.

直線AB的方程為y=k（x-a）+a2+14，

與y=x2+14聯立可得x2-kx+ka-a2=0，

△=k2-4（ka-a2）=（k-2a）2＞0，所以k≠2a

所以|AB|=1+k2|k-2a|，同理|AD|=1+1k2|1k+2a|，

所以

|AB|+|AD|=1+k2|k-2a|+1+1k2|1k+2a|≥1+k2（|k-2a|+|1k+2a|）

≥1+k2|k+1k|=（1+k2）3k2，

令m=k2，因為|k|＜1，所以m∈（0，1］.

設f（m）=（1+m）3m2=m2+3m+1m+3，

求導可得f ′（m）=2m+3-1m2=（2m-1）（m+1）2m2，

令f ′（m）=0，則m=12，

所以函數f（m）在（0，12）上單調遞減，在（12，+∞）上單調遞增，

所以f（m）min=f（12）=274，

所以|AB|+|AD|≥332，

又因1+k2|k-2a|+1+1k2|1k+2a|≥1+k2（|k-2a|+|1k+2a|）取等號的條件是k=1與最終取等時k=22矛盾.所以|AB|+|AD|＞332，即C＞33，

解法2?從一般到特殊.如圖3所示，將函數y=x2+14的圖象平移14個單位后，矩形ABCD平移后形成的矩形A′B′C′D′，這樣就可以將原問題轉化為矩形A′B′C′D′的周長大于33.

平移后，設點A′，B′，C′的坐標分別為A′（t1，t21），B′（t0，t20），C′（t2，t22） ，且t0≥0

所以kA′B′=t1+t0，kB′C′=t2+t0，所以（t1+t0）（t2+t0）=-1，

|A′B′|=1+（t1+t0）2|t1-t0|，|B′C′|=1+（t2+t0）2|t2-t0|

因為t1＜t0＜t2，

所以|A′B′|+|B′C′|=1+（t1+t0）2|t1-t0|+1+（t2+t0）2|t2-t0|，

令t2+t0=tanθ，則t1+t0=-cotθ，θ∈（0，π2），

所以t2=tanθ-t0，t1=-cotθ-t0，

所以|A′B′|+|B′C′|=1+cot2θ（2t0+cotθ）+1+tan2θ（tanθ-2t0），

整理可得：

|A′B′|+|B′C′|=2t0（1sinθ-1cosθ）+sinθcos2θ+cosθsin2θ=2t0（cosθ-sinθ）sinθcosθ+cos3θ+sin3θsin2θcos2θ所以當θ∈（0，π4］時，

|A′B′|+|B′C′|≥cos3θ+sin3θsin2θcos2θ=sinθcos2θ+cosθsin2θ≥21sinθcosθ=22sin2θ≥22當θ∈（π4，π2）時，由t1＜t0＜t2可知tanθ-t0＞t0＞-cotθ-t0，

所以tanθ2＞t0＞-cotθ2，且t0≥0，所以0≤t0≤tanθ2，

所以：

|A′B′|+|B′C′|=2t0（cosθ-sinθ）sinθcosθ+cos3θ+sin3θsin2θcos2θ＞sinθ（cosθ-sinθ）（sinθcosθ）sin3θcos2θ+cos3θ+sin3θsin2θcos2θ

=1cosθ+cosθsin2θ=2sin2θsin2θ·2cos2θ=2（1-cos2θ）（1-cos2θ）·2cos2θ

≥2［（1-cos2θ）（1-cos2θ）·2cos2θ］/3≥2（2/3）3=332

所以，當且僅當cosθ=33時等號成立，所以矩形ABCD的周長大于33.

4 結束語

在解題教學過程中，教師要通過有效的措施引導學生產生共鳴，并給予學生充分的體驗和體會，從而令其能夠在解題教學的過程中更好地學習解題的思路和方法，實現提升學生的數學核心素養的目標.

參考文獻：

［1］沈新權.關注理性思維，檢測核心素養：2023年數學新高考Ⅰ卷評析[J].高中數理化，2023（13）：1-4.

［責任編輯：李?璟］