研究教材題目 教會學生思考

彭瑛晶

摘?要：本文通過探討教材上的例題、習題，引導學生不為做題而做題，而是會深挖題目中豐富的學科知識，學會思考及掌握類比推理的能力，從而達到數學核心素養的培養，以適應未來社會生活的需要.

關鍵詞：教材；回歸課本；探究

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）15-0054-04

新課程標準告訴我們教什么內容，教材則告訴我們“如何去教”，而這些卻不能直接賦予學生.教學是把教學內容和“如何去教”轉化為現實、生動的學生活動的過程.我們要思考如何挖掘、開發教材的精髓、內涵，創造性、個性化地運用教材，生成靈活合理、豐富多彩的“生態化”教學過程，以達到數學核心素養的培養，適應未來社會生活的需要.

1 問題從課本中而來

《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊人教A版（2019）》

P113例題6：動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和M到定直線l：x=254的距離的比是常數45，求動點M的軌跡［1］ .

解?如圖1，設d是點M到直線l：x=254的距離，根據題意，動點M的軌跡就是集合P={MMFd=45}

由此得（x-4）2+y225/4-x=45.

將上式兩邊平方，并化簡得：9x2+25y2=225，

即x225+y29=1.

所以點M的軌跡是長軸、短軸長分別為10，6的橢圓.

反思?本題表示平面內到定點的距離和到定直線（定點不在定直線上）的距離之比為常數的點的軌跡是橢圓，且定點F（c，0），定直線l：x=a2c，比是常數ca.這樣的結論有一般性嗎？即動點M（x，y）與定點F（c，0）的距離和點M到定直線x=a2c（點F不在定直線上）的距離的比是常數ca，則動點M的軌跡一定是橢圓嗎？

事實上，學生是可以推導出動點M的軌跡方程為：x2a2+y2b2=1 （b2=a2-c2），可以明確動點M的軌跡是橢圓.

注意：我們把定點F（c，0）叫作橢圓的右焦點，定直線l：x=a2c叫作橢圓的右準線.

追問：如果將條件中的定點F（c，0）改為 F（-c，0），要得到同樣的結論，請問定直線是否需要改變，如何改變？

學生小組合作共同討論出定直線l：x=a2c要改為x=-a2c.

由此可以得到橢圓的第二定義：

平面內，到定點F（c，0）的距離和到定直線l：x=a2c（點F不在定直線上）的距離的比是常數e=ca（0

同理：平面內，到定點F（-c，0）的距離和到定直線l：x=-a2c（點F不在定直線上）的距離的比是常數e=ca（0

我們把橢圓上的點P（x0，y0）與左焦點F1與右焦點F2之間的線段的長度叫作橢圓的焦半徑，請推導出下面兩個結論：

①PF1=a+ex0 ，PF2=a-ex0；

②焦半徑中以長軸端點的焦半徑最大或最小.

事實上：由上述橢圓性質可以得到PF2a2/c-x0=ca，即：PF2=a-cax0=a-ex0，PF1a2/c+x0=ca，

即：PF1=a+cax0=a+ex0.

因為-a≤x0≤a，所以焦半徑中以長軸端點的焦半徑最大或最小.

（上述推導及性質當焦點位于y軸，中心是坐標原點時橢圓的性質如何？適當留白給學生，進一步培養其類比歸納能力）

2 思維從探究中來

《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊人教A版（2019）》

P115第8題練習1：動點M與定點F（2，0）的距離和它到定直線x=8的距離的比是1∶2，求點M的軌跡方程，并說明軌跡的圖形.

鼓勵學生作答：

解法1?設d是點M到直線l：x=8的距離，根據題意，動點M的軌跡就是集合

P={M|MF|d=12}，由此得（x-2）2+y2|8-x|=12.

將上式兩邊平方，并化簡得：3x2+4y2=48，即x216+y212=1.

所以點M的軌跡是焦點在x軸上，長軸、短軸長分別為8，43的橢圓.

解法2?定點F（2，0）即c=2，定直線x=8，即：a2c=8，得到a=4，

故e=ca=12，符合題意.

所以點M的軌跡是焦點在x軸上長軸，短軸長分別為8，43的橢圓，

方程為 x216+y212=1.

練習2?平面內焦點在x軸上，中心在原點的橢圓中，過焦點的弦中弦長最小值.鼓勵學生小組合作交流探討.

解?不妨求過右焦點F2的弦AB的長度的最小值作橢圓的右準線l，過點A、B、F2分別做AA1、BB1、F2F垂直于直線l，垂足分別為A1、B1、F，作弦AB中點M并作MM1垂直于直線l于點M1.如圖2AB=AF2+BF2=AA1e+BB1e=（AA1+BB1）e=2MM1e

又∵MM1≥FF2（當且僅當點F2與M重合即AB過點F2垂直與x軸時）

∴ABmin=2FF2e=2b2a.

點評?適當的練習不僅能夠夯實學生對基本知識的理解、檢驗學生對知識掌握的情況，更重要的是能夠培養學生數學應用的能力.

3 能力從培養意識中來

《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊人教A版（2019）》P125例題5：動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到定直線l：x=94的距離的比是常數43，求動點M的軌跡.

解?如圖3，設d是點M到直線l的距離，

根據題意，動點M的軌跡就是點的集合P={MMFd=43}，

由此得（x-4）2+y2x-9/4=43，

將上式兩邊平方，并化簡得：7x2-9y2=63，

即x29-y27=1.

所以點M的軌跡是焦點在x軸上，實軸長為6、虛軸長為27的雙曲線.

根據上面例題思考《普通高中教科書選擇性必修第一冊人教A版（2019）》P127第10題：設動點M與定點F（c，0）（c＞0）的距離和M到定直線l：x=a2c 的距離

的比是ca（a＜c），求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀.

通過上面例題，學生是可以很快得出動點M的軌跡方程：x2a2-y2b2=1.

所以點M的軌跡是焦點在x軸上，實軸長為2a、虛軸長為2b的雙曲線.

提問：通過上題的判斷，類比橢圓第二定義的推導，根據例題及習題你能推導出什么結論？

（只要肯培養，學生是有能力類比推導出雙曲線的第二定義.）

平面內到定點F（c，0）的距離和到定直線l： x=a2c（點F不在定直線上）的距離的比是常數e=ca（a＜c）的點的軌跡是焦點在x軸上，中心在原點的雙曲線.

平面內到定點 F（-c，0）的距離和到定直線l：x=-a2c（點F不在定直線上）的距離的比是常數

e=ca（a＜c）的點的軌跡是焦點在x軸上，中心在原點的雙曲線.

提問：同學們能通過對橢圓及雙曲線進一步的研究，結合拋物線的定義，給出圓錐曲線的一個統一定義嗎？

學生通過小組合作討論是可以得出圓錐曲線的統一定義：

平面內到定點的距離與到定直線（定點不在定直線上）的距離的比是常數e的點的軌跡叫作圓錐曲線；當0＜e＜1時，軌跡為橢圓；當e=1時，軌跡為拋物線；當e＞1時，軌跡為雙曲線.

點評?培養學生歸納總結的能力，達到會學會用會思考會合作會總結的目的，這樣的學生方能適應未來社會的需求.

4 素養從能力培養中來

《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊人教A版（2019）》P108

例題?如圖4，設A、B兩點的坐標分別為

（-5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-49，求點M的軌跡方程.

解?設點M的坐標為（x，y），因為點A的坐標是（-5，0），所以直線AM的斜率kAM=yx+5（x≠-5），

同理，直線BM的斜率kBM=yx-5（x≠5），

由已知，有

yx+5×yx-5=-49（x≠±5），

化簡得點M的軌跡方程為

x225+y2100/9=1（x≠±5）

點M的軌跡是除去（-5，0），（5，0）兩點的橢圓.

通過這個例題同學們有什么發現？

A、B兩點的坐標分別為（-a，0），（a，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是e2-1時（其中e=ca，e2-1<0），

則點M的軌跡方程是

x2a2+y2b2=1（x≠±a，b2=a2-c2）.

P126練習1：已知A、B兩點的坐標分別是（-6，0），（6，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是29.求點M的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀.

解?設點M的坐標為（x，y），因為點A的坐標是（-6，0），所以直線AM的斜率

kAM=yx+6（x≠-6），

同理，直線BM的斜率kBM=yx-6（x≠6），

由已知，有

yx+6×yx-6=29（x≠±5），

化簡得點M的軌跡方程為

x236-y28=1（x≠±6）

點M的軌跡是除去（-6，0），（6，0）兩點的雙曲線.

那么同學們又有什么發現呢？

A、B兩點的坐標分別為（-a，0），（a，0）.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是e2-1時，（其中e=ca，e2-1>0）

則點M的軌跡方程是

x2a2-y2b2=1（x≠±a，b2=c2-a2）

結合之前大家的探究，請根據上述的例題和練習，你能得到什么結論？（學生通過獨立思考或者合作探討是可以總結出相應結論的）.

一個動點（兩定點除外）到兩個定點（a，0）、

（-a，0）連線的斜率的乘積為定值e2-1時，當e2-1<0時這個動點的軌跡是橢圓（不含這兩個定點），當e2-1>0時這個動點的軌跡是雙曲線（不含這兩個定點）.

點評?從提出問題到學以致用，再到提出問題并解決問題，在這一教學過程中，教會學生如何在課本中尋找更多可以進一步思考的內容，挖掘學生的潛能，從而落實數學核心素養的培養，在討論研究思考的過程中進一步獲得學習數學的成就感.

5 結束語

作為一線教師，我們要明白自己的責任不僅僅是教會學生掌握知識本身，還要教會學生懂得自己從課本中發現問題，獲取知識的能力，以適應未來生活的需要.正如蘇霍姆林斯基所說：“教給學生能借助已有的知識去獲取知識，這是最高的教學技巧之所在.”

參考文獻：

［1］章建躍，李增滬.普通高中教科書數學選擇性必修第一冊：A版（2019）[M].北京：人民教育出版社，2020：108-126.

［責任編輯：李?璟］