二項分布最值問題的結論與應用

王震

摘?要：本文利用作商法探究二項分布中的最值問題，給出“最可能成功次數”的定義，并得到最值問題的相關結論，最后結合高考模擬試題談談結論的應用.

關鍵詞：二項分布；最值問題；最可能成功次數

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）15-0014-03

二項分布的最值問題，實質上就是在求“最可能成功次數”.這是二項分布的一個重要概念，在2019年人教A版教科書《數學選擇性必修第三冊》中雖然沒有直接提到這一概念，但在81頁《探究與發現》欄目中，專門討論了二項分布的性質，其所討論的問題就是在求最可能成功次數.

1 二項分布

一般地，在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A發生的概率為p，則

P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n.

此時稱隨機變量X服從二項分布[1]，記作X～B（n，p），并稱p為成功概率.

注?注意到Ckn（1-p）n-kpk，k=0，1，2，…，n，是二項式［（1-p）+px］n展開式中xk項的系數，因此稱其為二項分布.

2 二項分布的期望與方差

若X～B（n，p），則E（X）=np，D（X）=np（1-p）.

3 二項分布最值問題的一個結論當n，p固定時，P（X=k）=Ckn（1-p）n-kpk先隨k增大而增大，達到某一最大值后又逐漸下降.

由于0

P（X=k）P（X=k-1）=（n-k+1）pkp=1+（n+1）p-kkp，

因此

當k<（n+1）p時，P（X=k）>P（X=k-1）；

當k=（n+1）p時，P（X=k）=P（X=k-1）；

當k>（n+1）p時，P（X=k）

令m=［（n+1）p］（即m是（n+1）p的整數部分），由以上分析知，當k從0變到n時，P（X=k）先單調遞增，當k=m時達到最大值，然后單調遞減.但若（n+1）p=m，則此時P（X=k）=P（X=k-1）同時達到最大值.

使P（X=k）取最大值的項P（X=m）稱為P（X=k）的中心項，而m稱為最可能成功次數.若（n+1）p是整數，也是最可能成功次數.

4 結論的應用

例1?如果某射手每次擊中目標的概率為0.8，每次射擊的結果相互獨立，那么他在10次射擊中，最有可能擊中目標幾次[2]？

解?設他在10次射擊中，擊中目標的次數為X，由于射擊中每次射擊的結果是相互獨立的，因此X～B（10，0.8）.于是恰好k次擊中目標的概率為

P（X=k）=Ck10×0.8k×0.210-k，k=0，1，2，…，10.

從而

P（X=k）P（X=k-1）=（10-k+1）×0.8k×0.2

=1+11×0.8-kk×0.2，k=0，1，2，…，10.

于是，當k<8.8時，P（X=k-1）8.8時，P（X=k-1）

由以上分析可知，他在10次射擊中，最有可能擊中目標8次.

例2?（2020年東北三省二模）N95型口罩是新型冠狀病毒的重要防護用品，它對空氣動力學直徑≥0.3 um的顆粒的過濾效率達到95%以上.某防護用品生產廠生產的N95型口罩對空氣動力學直徑≥0.3 um的顆粒的過濾效率服從正態分布N（0.97，9.025×10-5）.

（1）當質檢員隨機抽檢10只口罩，測量出一只口罩對空氣動力學直徑≥0.3 um的顆粒的過濾效率為93.6%，他立即要求停止生產，檢查設備和工人工作情況.請你根據所學知識，判斷該質檢員的要求是否有道理，并說明判斷的依據.

（2）該廠將空氣動力學直徑≥0.3 um的顆粒的過濾效率達到95.1%以上的N95型口罩定義為“優質品”.

①求該企業生產的一只口罩為“優質品”的概率；

②該企業生產了1 000只這種N95型口罩，且每只口罩互相獨立，記X為這1 000只口罩中“優質品”的件數，當X為多少時可能性最大（即概率最大）？

解?（1）過程略.

（2）①不妨記：“N95口罩的過濾效果”為Y，則一只口罩為“優質品”的概率為

P（Y>0.951）=P（Y>0.97-2σ）

=1-［12-P（0.97-2σ

=0.977 2.

②依題意X～B（1 000，0.977 2），記n=1 000，p=0.977 2，P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，1 000）.

問題等價于求當k取何值時P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k取得最大值.

方法1?由

Cknpk（1-p）n-k≥Ck-1npk-1（1-p）n-k+1Cknpk（1-p）n-k≥Ck+1npk+1（1-p）n-k-1，

化簡得pk≥1-pn+1-k1-pn-k≥pk+1，即（n+1）p-1≤k≤（n+1）p，

從而1 001p-1≤k≤1 001p，解得k=978.

方法2?由于對0

P（X=k）P（X=k-1）=（n-k+1）pkp=1+（n+1）p-kkp，

因此

當k<（n+1）p時，P（X=k）>P（X=k-1）；

當k=（n+1）p時，P（X=k）=P（X=k-1）；

當k>（n+1）p時，P（X=k）

以上分析知，P（X=k）在（0，（n+1）p）單調遞增，在（（n+1）p，n）單調遞減.

代入數據得，（n+1）p=1 001×0.977 2=978.177 2，而k是正整數，所以P（X=978）>P（X=977）且P（X=979）

例3?設某種疾病的發病概率是0.01，問在500人的社區中進行普查，最有可能的發病人數是.

解?設發病人數為X，易知X～B（500，0.01）.

知n=500，p=0.01，（n+1）p=5.01，［（n+1）p］=5，

所以最有可能發病的人數為5.

例4?（2020年吉林梅河口五中模擬）在慶祝澳門回歸祖國20周年之際，澳門特別行政區為了解人們對回歸20年的幸福指數，隨機選擇了100位市民進行了調查，將他們的年齡（單位：歲）分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，并繪制了如圖1所示的頻率分布直方圖.

（1）現從年齡在[20，30），[30，40），[40，50）范圍內的人員中，按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機選取3人進行座談，用ξ表示年齡在[30，40）范圍內的人數，求ξ的分布列和數學期望；

（2）若將樣本的頻率視作概率，記X表示用隨機抽樣的方法從該地區抽取20名市民進行調查，其中年齡在[30，50）范圍內的人數.當P（X=k）（k=0，1，2，…，20）最大時，求k的值.

圖1?例4題圖

解?（1）E（ξ）=3/4，過程略.

（2）由題意知，X服從二項分布，由頻率分布直方圖可知，年齡在[30，50）范圍內的頻率為（0.010+0.025）×10=0.35，則X～B（20，0.35），P（X=k）=Ck20（0.35）k（0.65）20-k（k=0，1，2，…，20）.

設t=P（X=k）P（X=k-1）=Ck20（0.35）k（0.65）20-kCk-120（0.35）k-1（0.65）21-k=7（21-k）13k（k=0，1，2，…，20）.

若t＞1，則k＜7.35，P（X=k）>P（X=k-1）;

若t＜1，則k＞7.35，P（X=k）

所以k=7時，P（X=k）最大.

例5?某款自營生鮮平臺以及提供配送服務的生活類App主要提供的產品有蔬菜、豆制品、水果、肉禽蛋、水產海鮮、米面糧油、食品等.某機構為調查顧客對該軟件的使用情況，在某地區隨機抽取了100人，調查結果整理如下：

年齡段20以下[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）70以上

使用人數510188420未使用人數002123630

（1）從被抽取的年齡在[40，60）的使用者中，隨機抽取2人進一步了解情況，求這2人年齡在[50，60）的概率；

（2）為鼓勵居民使用，該機構擬對首次下載使用App的居民贈送1張5元的代金券.若某區預計有6 000人具有購物能力，試估計該機構至少應準備多少張代金券；

（3）記X表示用隨機抽樣的方法從該地區抽取20名市民進行調查，其中年齡在[20，40）的人數.試求P（X=k）（k=0，1，2，…，20）的最大值.

解?（1）1/11，（2）2 820，過程略.

（3）由題意，X服從二項分布，且年齡在[20，40）內的概率為10/100+20/100=0.3，所以X～B（20，0.3）.

所以P（X=k）=Ck20（0.3）k（0.7）20-k（k=0，1，2，…，20）.

設t=P（X=k）P（X=k-1）=Ck20（0.3）k（0.7）20-kCk-120（0.3）k-1（0.7）21-k=3（21-k）7k（k=0，1，2，…，20）.

若t>1，則k<6.3，P（X=k）>P（X=k-1）;

若t<1，則k>6.3，P（X=k）

所以k=6時，P（X=k）最大，最大值為P（X=6）=C620（0.3）6（0.7）14.

5 結束語

我們可以利用作商法或者組合數的單調性得到二項分布的最值問題的結論，即在“最可能成功次數”處取得最大值.“最可能成功次數”雖是高等數學的概念，但二項分布最值問題的這個性質卻出現在教材中，這就要求我們一線教師要重視對教材的研究，要深度解讀教材.

參考文獻：

［1］李鴻昌.高考題的高數探源與初等解法[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2022.

[2] 胡翠蓮，葉雪云.自主探究?水到渠成：二項分布模型構建的數學設計[J].中學數學，2010（13）：22-23，29.

[3] 周冬梅，尹承利.計數原理與概率復習備考專題透視[J].中學數學雜志，2020（3）：46-51.

[4] 聶小涵.聚焦幾種常考的概率分布模型[J].高中數理化，2019（1）：6-7.

［責任編輯：李?璟］