解題反思孕思維，尺規(guī)三定見真知

田梅

尺規(guī)作圖，即有限次使用直尺和圓規(guī)，解決平面幾何的作圖問題.史寧中教授指出：尺規(guī)作圖教學(xué)要教想法，要教想象力，而非作圖技巧.2023年南京市聯(lián)合體二模的尺規(guī)作圖題，對初中數(shù)學(xué)加強(qiáng)尺規(guī)作圖教學(xué)進(jìn)行了很好的評價引領(lǐng).現(xiàn)將本題的教學(xué)實踐及教學(xué)價值呈現(xiàn)如下.

（2023年南京聯(lián)合體二模第24題）如圖1，P為∠AOB外一點，用兩種不同的方法過點P作直線l交OA，OB于點M，N，使得PM＝MN.

（要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明.）

1 特色解讀

1.1 關(guān)注核心知識，形成解題基本技能

本題所求作的是等線段即線段中點，而中點能夠關(guān)聯(lián)初中階段大部分幾何核心知識和基本圖形，如：等腰三角形、中位線、平行四邊形、直角三角形斜邊中線、平行線、全等（倍長中線等）、相似、圓中垂徑等.因此，本題能充分考查學(xué)生基礎(chǔ)知識、模型思想和發(fā)散性思維水平.從答題情況來看，學(xué)生在關(guān)聯(lián)核心知識和基本圖形的能力上存在較為明顯的差異，不同層次的學(xué)生均能從本題獲得經(jīng)驗，形成解題基本技能.

1.2 洞察規(guī)律本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

本題條件集中，圖形簡潔，實則內(nèi)涵豐富.本題既能通過一題多解，引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)化地探尋規(guī)律本質(zhì)，也可提煉通性通法，即“三定”（關(guān)聯(lián)定形、弱化定軌、量化定長）策略，實現(xiàn)多題歸一.通過本題的解決，學(xué)生能夠看到尺規(guī)作圖的全貌，經(jīng)歷從“怎樣想”到“怎樣作”的過程，發(fā)展講道理、有條理的思維品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 教學(xué)實踐

2.1 反思先行

筆者課前將典型錯誤作法（圖2）示以學(xué)生并布置學(xué)生進(jìn)行點評，引起學(xué)生對圖形的關(guān)心，反思先行.

圖2作法描述：以O(shè)為圓心，OP長為半徑畫弧交OB于點N，連接PN，與OA交于點M.

學(xué)生反思錯因：連接定點P和定角∠AOB的頂點O時，形成的

∠AOP也是確定的，因為∠AOP和∠AOB不一定相等，所示將OA當(dāng)成角平分線使用是不合理的.

教學(xué)說明：揭示錯誤的根源，實現(xiàn)自我矯正與反思，積累確定性分析的經(jīng)驗.

2.2 關(guān)聯(lián)定形

問題1在課前反思中，我們將中點M與等腰三角形的“三線合一”進(jìn)行關(guān)聯(lián).你還能將中點與哪些圖形關(guān)聯(lián)起來？

學(xué)生討論后歸納：中點還可以與中位線、平行四邊形、直角三角形斜邊中線、平行線、全等（倍長中線等）、相似、圓中垂徑等圖形關(guān)聯(lián)起來.

教學(xué)說明：學(xué)生破題的困難在于想法少、不會思考，關(guān)聯(lián)的視角能夠幫助學(xué)生打開思維的大門，引導(dǎo)學(xué)生充分想象目標(biāo)圖形可以蘊(yùn)含在哪些基本圖形中.尺規(guī)作圖是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的好載體.

問題2以關(guān)聯(lián)“平行四邊形”為例，你能解決問題嗎？

筆者展示學(xué)生畫法（圖3、圖4）：

（1）觀察作法，嘗試說出作圖步驟與作法原理.

以圖3為例，其作圖步驟為：過點P作PQ∥OB交OA于點Q，再過點Q作QN∥OP交OB于點N，連接PN交OA于點M.

（2）反思一下，我們經(jīng)歷了一個怎樣的過程？

由中點關(guān)聯(lián)“平行四邊形”，利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，構(gòu)造包含中點M的圖形.這個過程即分析條件、主動關(guān)聯(lián)、調(diào)用模型、構(gòu)建圖形.我們簡稱為“關(guān)聯(lián)定形”.

教學(xué)說明：首先以關(guān)聯(lián)“平行四邊形”為例，原因在于平行四邊形構(gòu)圖相對簡單，學(xué)生能較順利地經(jīng)歷一個完整的“關(guān)聯(lián)定形”過程，獲得成功的初體驗.

問題3基于“關(guān)聯(lián)定形”的作圖經(jīng)驗，你能關(guān)聯(lián)“中位線”解決問題嗎？

（1）當(dāng)構(gòu)建中位線圖形有困難時，回到本質(zhì)，要得到PM＝MN，圖5需要滿足的條件是什么？

L是PH的中點，LM∥HN.

（2）構(gòu)造圖形，即確定關(guān)鍵點H或者點L.再次嘗試作圖（圖6～7）.

筆者展示學(xué)生畫法：圖6是將點O作為點H，圖7是過點P作OB的垂線，垂足作為H.

（3）點H只能在這兩個很特殊的位置嗎？可以一般化嗎？

筆者展示學(xué)生畫法：點H（圖8）可以在直線OB上的任意位置，實現(xiàn)特殊到一般.

（4）特殊化常常給我們安全感，而一般化給我們更大的空間.我們不妨再來感受一次從特殊到一般.此題中PM＝MN，即PM∶MN=1∶1，如果改成PM∶MN=1∶2呢？

在直線OB上任取點H，連接PH，取PH的三等分點，靠近點P的即為點L.

教學(xué)說明：“關(guān)聯(lián)定形”即分析條件、主動關(guān)聯(lián)、調(diào)用模型、構(gòu)建圖形.而構(gòu)建圖形的難點在于確定關(guān)鍵點.因此增加了確定關(guān)鍵點的點撥，學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的全過程.

2.3 弱化定軌

問題4上述作法中，我們是先確定點H的位置再確定點L的位置，如果反過來呢？先確定點L，你能解決問題嗎？

筆者展示學(xué)生畫法（圖9～12）：

（1）對圖9～12的作法，你能看懂作圖步驟和原理嗎？還能看到什么？

圖9～12，點L的位置是從特殊到一般.

（2）如何理解圖12？

學(xué)生討論后發(fā)現(xiàn)：可以先在OA上取幾個“假M”.因為PM＝MN，而且P，M，N三點是共線的，所以可以確定“假N”.一個“假M”對應(yīng)一個“假N”，當(dāng)點M在射線OA上運(yùn)動時，點N也在一條射線上運(yùn)動.如圖12，因為△PMM1∽△PNN1，△PMM2∽△PNN2，所以NN1∥OA，NN2∥OA，又過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以點N也在一條線上運(yùn)動.

（3）根據(jù)圖12，你能總結(jié)出什么經(jīng)驗?zāi)兀?/p>

學(xué)生討論后師生共同總結(jié)：對于所求作的點N需要同時滿足兩個條件，條件①是PM＝MN，條件②是點N在射線OB上，顯然這兩個條件較難同時實現(xiàn).我們可以先丟掉其中的條件②，把M作為主動點，點N隨著點M的變化而變化，從而確定點N的軌跡，而這條軌跡與射線OB的交點即為點N.這種方法即為“弱化定軌”.在多個限定條件中先丟掉某個條件，利用主動點的軌跡確定從動點的軌跡，再由交軌法確定所求作的點.用這個方法還可解決PM∶MN=1∶2等問題.

教學(xué)說明：學(xué)生能從直觀上畫出點N的軌跡，但其中的原理不夠清晰，通過討論明確問題，即如何弱化、弱化后如何尋找點之間的對應(yīng)關(guān)系、用什么樣的眼光來看這種對應(yīng)關(guān)系.

2.4 量化定長

問題5以上兩種方法（關(guān)聯(lián)定形、弱化定軌），都是在關(guān)注圖形，如果從代數(shù)的角度來思考呢？

學(xué)生分組討論后給出作法：

先畫出草圖（圖13），作PH⊥OA，QN⊥OA，分析得QN=PH.在Rt△OPH中，PH=OP5sin α.在Rt△OQN中，ON=OP·sin αsin β.根據(jù)線段OP和角α是確定的，可以先在旁邊作Rt△OPH，再將PH和90°-β放在新的直角三角形中（圖14），得PL=ON.

師生共同總結(jié)：充分挖掘了題目中的確定性條件，通過三角函數(shù)計算目標(biāo)線段，然后構(gòu)造相應(yīng)的圖形讓目標(biāo)線段顯現(xiàn)出來，我們把這種尺規(guī)作圖的策略稱為“量化定長”.用代數(shù)的方法解決幾何問題是一種重要的策略，即感悟數(shù)量與位置的關(guān)系與轉(zhuǎn)化.

教學(xué)說明：學(xué)生在小組討論后能比較順利地完成作圖，與“關(guān)聯(lián)定形”“弱化定軌”相比，這個方法并非最優(yōu)，但學(xué)生體會到了數(shù)形結(jié)合、代數(shù)推理的強(qiáng)大力量.

2.5 思考延續(xù)

作業(yè)布置：選擇下面的一道題完成.

（1）如圖15，P為∠AOB內(nèi)一點，用兩種不同的方法作過點P的直線l交OA，OB于點M，N，使得PM＝PN.

（要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明.）

（2）如圖16，P為⊙O外一點，用兩種不同的方法作一條過點P的直線l分別交⊙O于點M，N，使得PM＝MN.

（要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明.）

教學(xué)說明：在作業(yè)設(shè)計中，第（1）題將原題中的點P由角外變到角內(nèi)，第（2）題將角變成圓.考查學(xué)生對策略的運(yùn)用以及經(jīng)驗遷移能力.

3 教學(xué)思考

3.1 “關(guān)聯(lián)定形”激發(fā)發(fā)散思維

《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》不僅把尺規(guī)作圖作為一種幾何任務(wù)，更重要的是將它作為一種感知幾何圖形、理解圖形性質(zhì)、探究幾何規(guī)律的認(rèn)知工具.“關(guān)聯(lián)定形”需要學(xué)生想象目標(biāo)圖形，直觀地捕捉圖形的性質(zhì)和關(guān)系，不斷感受圖形的“構(gòu)”與“變”，發(fā)展幾何直觀與數(shù)學(xué)想象核心素養(yǎng).本題具有豐富的關(guān)聯(lián)視角，全面、系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)有利于發(fā)展學(xué)生發(fā)散性思維，激發(fā)探究的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

3.2 “弱化定軌”培養(yǎng)創(chuàng)新意識

“弱化定軌”的核心在于弱化條件，保留條件的一部分，舍棄其他部分，減少了限制條件后，學(xué)生能先動起來.通過點的位置變化，發(fā)現(xiàn)“變中有定”，從而確定點的軌跡.這個過程即在培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)動眼光與優(yōu)化意識，以退為進(jìn)，創(chuàng)造性地解決問題.尺規(guī)自然成為了幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的工具.

3.3 “量化定長”提升推理能力

“量化定長”是發(fā)展學(xué)生推理能力的重要途徑.其中的推理包含兩部分.一是剖析條件時的確定性分析，如哪些數(shù)量是確定的？比如線段的長度或者角的大小？哪些要素是無法確定的？它們和已知之間有什么關(guān)系……另一部分是作圖后的說理證明，以確保作出的圖形是正確的.

總之，解題不能僅限于答案的獲取，應(yīng)從過程中走向經(jīng)驗、從經(jīng)驗走向思想、從思想走向聯(lián)系、從聯(lián)系走向創(chuàng)生.在探索中解決尺規(guī)作圖從“怎么想”到“怎么做”的問題，提升解題思維，發(fā)展核心素養(yǎng).