聯想舊知巧轉化探究變式促提高

劉芳

摘要：積累是解題的前提，平時積累的知識、方法、經驗都是用來解決“新問題”的有力武器.解題教學應注重引導學生產生豐富的聯想，在挖掘題目的已知條件、深刻分析圖形結構特征的基礎上，利用舊知，構造輔助線，利用已有結論、方法擬定解題思路與方法.同時，要對題目進行變式探究，不斷提高對原問題的認識水平，進一步提高解題經驗，提升數學素養.

關鍵詞：正方形；轉化；變式

1 試題呈現

例題如圖1，正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，F是BE的中點，點H在CD上，∠EFH＝45°，則FH的長度是.

本題以正方形和45°角及中點等幾何元素為知識背景設置問題，圖文簡潔，條件清晰，背景熟悉，立足“四基”，較好地考查學生的知識儲備及靈活運用知識、技能解決問題的能力，體現“價值引領，素養導向，能力為重，知識為基”的評價理念.

2 試題溯源

著名數學教育家G·波利亞在《怎樣解題》“擬定方案”中指出：“你以前見過它嗎？或者你見過同樣的題目以一種稍有不同的形式出現嗎？”“你知道一道與它有關的題目嗎？你知道一條可能有用的定理嗎？”“觀察未知量，并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目”.

打開我們記憶的寶庫，有一個以前解決過的問題：如圖2，正方形ABCD中，點E，H分別在AD，CD上運動，且∠EBH＝45°.

求證：AE＋CH＝EH.

簡解：如圖3，將△ABE繞點B順時針旋轉90°得到△CBG，再證△EBH≌△GBH，則EH＝GH＝CG＋CH＝AE＋CH.此即為經典的“半角模型”結論.

3 解法探究

有了“以前問題”的方法指引，可以將45°角轉移到正方形的頂點B處.解答如下：

解：如圖4，把△ABE繞點B逆時針旋轉90°得到△CBG，并作∠EBG的平分線BM交CD于點M，連接EM.

易知△ABE≌△CBG.

于是CG＝AE＝2，BE＝BG，∠EBG＝90°.

由角平分線知，∠EBM＝∠GBM＝45°，

所以△EBM≌△GBM（SAS）.

設CM＝x，則EM＝MG＝x＋2，DM＝6-x.

在Rt△DEM中，42＋（6-x）2＝（x＋2）2.

解方程，得x＝3.

所以M是CD的中點.

連接MF并延長交AB于點N，延長HF交AB于點Q.

由NQ∥HM，得

FHQH＝FMNM.①

而∠EFH＝∠FBM＝45°，則QH∥BM.又BQ∥HM，所以

四邊形QBMH是平行四邊形，則

QH＝BM＝CM2+BC2＝35.

②

又M是CD的中點，F是BE的中點，所以FM是梯形BCDE的中位線，則

FM＝5，FN＝1.

③

結合①②③，得FH35＝56，所以FH＝552.

點評：由題目中的正方形和45°角聯想到“半角模型”，作出輔助線，利用以前的解答方式易求得M是CD的中點.這也是結合題目條件及“舊知”產生的結果，方法經典，是常見而有效的解題途徑.進一步觀察、分析，發現有3個特殊的結論，即FM是梯形BCDE的中位線，四邊形QBMH是平行四邊形，8字形模型.試題指向抽象能力、幾何直觀、數學運算、模型觀念、創新能力、應用意識的考查，對學生的幾何推理及分析問題、解決問題的能力的要求較高.

4 問題變式

變式1探求面積.

問題1原條件不變，求四邊形EFHD、四邊形BFHC的面積.

解析：結合前面的解答，易求四邊形EFHD的面積等于梯形EDMF的面積減去△FHM的面積，所以四邊形EFHD的面積為294；用梯形DEBC的面積減去四邊形EFHD的面積，易求得四邊形BFHC的面積為914.

變式2設置成動態問題.

問題2如圖5，正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，點F在線段BE上運動，點H在邊CD上運動，且∠EFH＝45°，求線段FH長度的變化范圍.

解析：結合前面的解答，如圖6，易知點F與點B重合時，FH的最大值為35；當點H運動到點D時，FH的最小值為1255.所以FH長度的變化范圍是1255≤FH≤35.

變式3將正方形演化成矩形，求有關線段長.

問題3如圖7，矩形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，且∠EAF＝45°＝∠CEF，若BE＝3，DF＝1，則EF的長為.

解析：如圖8，作出△AEF的外接圓，設圓心為O，連接OA，OF，OE，易知OA＝OE＝OF，∠EOF＝2∠EAF＝90°.

因此四邊形OECF是正方形，延長EO交AD于點G，則AG⊥GE.

在Rt△AOG中，

OA2＝OG2＋AG2＝DF2＋BE2＝10.

所以OA＝10，故EF＝2OE＝25.

5 教學啟示

不少學生害怕平面幾何，面對平面幾何題目時常常無所適從，無法在短時間內拿出解題方案.通過這道看似平凡的幾何填空題的解答，可得到如下啟示：

（1）關注知識關聯，合理構造輔助線

可以發現，核心知識是每次考試的必考點，如本文題目中的中點、45°角、特殊四邊形等知識，都是初中平面幾何內容的核心知識，牢固掌握知識體系，進行理性思考是核心素養的根本.一般來說，核心知識是載體，核心思想是途徑，核心素養是目標.在幾何圖形中，構造基本圖形并運用基本圖形的性質，是學好幾何的關鍵.如本題要善于識別圖中基本圖形，并勾畫出適當的基本圖形，并運用它的性質，如“半角模型”、“8字形”相似、中位線模型、“方程”模型等這些基本圖形.數學問題中有特定特征的幾何基本圖形里往往蘊含著簡單的結論，而輔助線通常是關聯不同基本圖形的紐帶，這些輔助線往往“橫跨”兩個或多個基本圖形，可以將內隱在問題中幾何圖形的特征和性質外顯出來，將條件與結論之間架起邏輯關系.從某種意義上來說，構造輔助線是考查學生解題能力的命根，是突破解題的關鍵.

（2）注重解題研究，提升數學素養

在平時教學中，不少老師習慣選擇最優解法，用最少的時間去講解作業或試卷中的試題，很少肯花時間讓學生去思考，導致學生一聽就懂，但遇到陌生的“生僻”問題時又找不到行之有效的解題方法，這樣循環往復，老師就覺得學生“笨”，“怎么講過的題還是不會做？”因此，在平時解題活動中，要引導學生對典型題包括選擇題、填空題進行深度探究，要舍得花時間讓學生去思考、分析：這些條件是如何與所求結論聯系起來的，是通過哪條線、哪個角進行轉化的，為什么可以這樣連輔助線？解題后要進行反思、總結：當時是如何想的？為什么老師這樣解答？這樣的解題方式對以后的解題有什么幫助？要進行一題多解、一題多變、多解歸一等變式訓練，注重積累解題經驗.

（3）關注問題本質，實行變式訓練

現行中考試題中不少試題改編自我們課堂訓練過的題目，不少題目似曾相識，但又有所創新，這體現了中考試題源于教學課堂，注重數學問題本質內涵的考查.因此，我們在平時的解題教學中善于分析數學問題，挖掘隱含在其中的本質內涵，并且要對蘊含于題目的數學思想、方法進行變式訓練.變式訓練是將知識轉化為技能的重要途徑，通過一個問題連續不斷的多個變式，促使學生感受圖形、題目之間的內在聯系，完善認知結構，領悟思想方法，感悟數學本質，積累解題經驗，從而更好地掌握技能，提高數學素養.

總之，在平時的解題教學中，我們要精挑細選一些好的考題，從多角度探究解法、總結思路，并給出同種習題的變式，助力學生舉一反三，達到更高的解題境界.