基于問題解決的初中數學課堂教學

黃守明

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在繼承原有“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）和“四能”（發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力）的基礎上，聚焦于培養學生的核心素養，這為基于問題解決的初中數學課堂教學提供了新的思路。教師作為教學活動的組織者、引導者，應該以核心素養為導向，以培養學生的問題解決能力為出發點和落腳點，結合學生的身心發展規律、學習認知規律，積極探究課堂教學新路徑。

“相似三角形”是初中數學中一個非常重要的概念，它在幾何學中有著廣泛的應用。在人教版初中數學教材中，相似三角形被安排在第二十七章“相似”中，是這一章的核心內容之一。相似三角形的判定和性質是本節課的重點，如兩邊對應成比例且夾角相等、三邊對應成比例等，這些判定方法都是通過一定的條件來判斷兩個三角形是否相似。同時，相似三角形還具有一些重要的性質，如對應角相等、對應邊成比例等。本節教材內容豐富、結構清晰，教師應該結合教學內容的重點和難點，以問題解決為主要線索，構建高品質數學課堂，幫助學生理解和掌握相似三角形的基礎知識和應用技巧，培養學生的數學思維能力和解決問題的能力等，為學生今后的數學學習打下堅實的基礎。

一、啟疑——引入問題與創設情境

教師：同學們，今天我們要學習一個新的知識點——相似三角形。在開始之前，請大家先觀察兩張圖片。

（PPT出示兩張相似的三角形圖片，即△ABC和△A′B′C′）

教師：大家有沒有發現這兩張圖片中的三角形有什么共同點呢？

學生：這兩個三角形的形狀好像差不多。

教師：很好，有同學說這兩個三角形的形狀差不多，大家再仔細觀察一下，還有什么發現嗎？

學生：我發現這兩個三角形中的角也是對應的，如△ABC和△A′B′C′中的角A和角A′，角B和角B′，角C和角C′，它們都是對應相等的。

教師：這位同學說得很對，這兩個三角形中的對應角是相等的，那么我們能不能說這兩個三角形是相似的呢？

學生：老師，我覺得可以這么說，因為它們的對應角相等，而且形狀也差不多。

教師：很好，這位同學的想法很有道理，那么我們就給這兩個三角形取個名字，叫做相似三角形。現在請大家根據剛才的觀察和討論，總結一下相似三角形的定義。

學生：對應角相等、對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。

教師：這位同學總結得非常好。

二、質疑——引導學生主動探究

教師：同學們，接下來，我們要來學習判定三角形相似的方法。大家先想象一下，如果我們想要判斷兩個三角形是否相似，可以從哪些方面來考慮呢？

學生：我覺得可以從邊和角來考慮。如果兩個三角形的邊成一定比例，或者有相同大小的角，那么它們可能就是相似的。

教師：這位同學提出了一個很好的思路，那么我們今天就來探討一下，如何從邊和角的角度來判定三角形的相似。請同學們先討論，然后提出看法。

（學生積極交流、討論，踴躍發言）

教師：同學們討論出什么結論了呢？

學生：如果有兩個三角形，它們有兩條邊的長度成一定比例，并且夾角也相等，那么這兩個三角形就是相似的。

教師：不錯。那么還有誰能說一說其他方法呢？

學生：我發現如果有兩個三角形，它們兩角分別對應相等，又或者三個角分別對應相等，那么這兩個三角形相似。

教師：很好。接下來，還有誰來說一說新的發現？

學生：我發現可以根據三角形的三條邊的情況進行判定。若兩個三角形的三條邊成一定比例，則這兩個三角形相似。例如，△ABC和△A′B′C′，它們所對應的邊分別為4 cm、7 cm、9 cm和8 cm、14 cm、18 cm，則△ABC和△A′B′C′是相似的。

教師：是的，這種判斷方法非常簡單。

學生：老師，我還發現如果平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊的延長線相交，所構成的三角形與原三角形相似。

教師：沒錯，這是平行線判定定理，是很多同學會忽略的一個點，看來你觀察得非常仔細。

那么，相似三角形的判定還有沒有第五種方法呢？

學生：如果有兩個直角三角形，它們的斜邊成一定比例，且相同的斜邊所對應的直角邊長度也成一定比例，那么這兩個直角三角形就是相似的。判定的關鍵點在于了解兩個直角三角形的斜邊和直角邊。

教師：非常棒。你們能舉例說明嗎？

學生：假設我們有兩個直角三角形，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，Rt△ABC的斜邊長度為5 cm，它的一條直角邊長度為3 cm；Rt△A′B′C′的斜邊長度也為10 cm，它的一條直角邊長度也為6 cm，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′就是相似的三角形。

教師：很好。這就是我們今天學習的五種判定三角形相似的方法。大家有沒有什么疑問？

（教師借助多媒體展示總結表，見表1）

三、解疑——實踐操作與問題解決

教師：同學們，我們來看一個實例，請大家仔細觀察圖1，并思考以下幾個問題：

問題1：圖1中的兩個三角形是否相似？為什么？

問題2：如果這兩個三角形相似，那么它們的相似比是多少？

問題3：如果這兩個三角形的相似比是2∶1，那么它們的周長之比是多少？

（學生獨立思考，然后回答）

學生：這兩個三角形是相似的，因為第一個三角形的兩個角和一條邊的長度與第二個三角形的對應角和邊長度相等。

學生：這兩個三角形的相似比是2∶1，因為第一個三角形的兩個角和一條邊的長度分別是第二個三角形的對應角和邊長度的兩倍。

學生：如果這兩個三角形的相似比是2∶1，那么它們的周長之比也是2∶1，因為相似三角形的對應邊成比例。

教師：非常好，看來大家對相似三角形的定義、判定方法和性質掌握得不錯。現在，我將大家分成多個小組，以小組為單位，請大家根據所學知識，通過合作、分工，共同探討相似三角形的問題，并在規定時間內完成。

例題1：如圖2，在平行四邊形ABCD中，點E，F分別是邊AD、BC上的點，且EF∥CD，G則是邊AD延長線上一點，連接了BG，那么圖2中有幾個三角形與△ABG相似，分別是哪幾個三角形？

（學生以小組為單位進行合作探究，教師巡視并給予指導）

教師：好，時間到。同學們，經過剛才的小組合作探究，相信大家對尋找相似三角形有了更深入的理解。那么，哪位同學愿意先來分享一下你們的討論成果呢？

學生：老師，我們小組在討論中發現，△GDM與△GAB相似，因為這兩個三角形有一個共同的角G，而由于DM與AB平行，所以兩個三角形的邊長GA與GD、GB與GM之間存在比例關系，所以根據“平行線判定定理”，可以判定這兩個三角形相似。同樣，EN與AB平行，我們得出△GEN與△GAB相似。

學生：我們小組在討論中發現了其他平行線段，由于DM與EN平行，所以我們得出△GDM與△GEN相似。

教師：非常好！你們已經熟練地應用了“平行線判定定理”來尋找相似三角形。那么，與△ABG相似的三角形一共有多少個呢？

學生：根據我們的討論，與△ABG相似的三角形一共有4個。

教師：非常棒！你們的探究非常深入。看來大家都掌握了尋找相似三角形的方法。

四、回顧——課后總結與作業布置

教師：同學們，接下來，我們來回顧一下本節課所學內容。誰來總結一下？

學生：首先，我們學習了相似三角形的定義，即對應角相等、對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。

學生：我們學習了相似三角形的判定方法，一共有五種，包括：平行線判定定理、兩邊對應成比例且夾角相等、三邊對應成比例、兩角對應相等、直角三角形相似判定定理。

學生：我們學習了相似三角形的性質，包括對應邊成比例等。

學生：我們利用相似三角形的性質解決了實際的問題。

教師：沒錯，這就是我們今天所學的重要知識。接下來，請大家完成課后練習題，并嘗試解決以下問題：

作業1：完成課本相關練習題。

作業2：已知兩個相似三角形，其中第一個三角形的兩邊長分別為6 cm和8 cm，第二個三角形所對應的兩邊長分別為18 cm和24 cm。求它們的相似比。

作業3：在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，DE平行于BC，且BD∶AD=3∶2，那么△ABC與△ADE的周長之比是多少？

在此次教學中，我主要設計了啟疑、質疑、解疑、回顧等多個環節，教學過程的設計非常合理。在啟疑環節，我通過展示兩張相似的三角形圖片，引導學生觀察并發現它們的共同點。這個環節的教學效果較好，但在引導學生觀察時，我應該適當提出一些更具啟發性的問題，如“這兩個三角形的邊長有什么關系？”等，以幫助學生更全面地觀察和思考。

在質疑環節中，我通過提問引導學生從邊和角的角度思考如何判斷兩個三角形是否相似。學生在討論中提出了五種判定方法。

在解疑環節中，我通過實際問題，引導學生運用所學知識進行解答。學生在獨立思考后，能夠正確判斷兩個三角形是否相似，以及它們的相似比等。然后，我組織學生進行小組合作探究，進一步鞏固所學知識。

在回顧環節中，我引導學生對所學知識點進行歸納、總結，幫助學生復習、鞏固，然后布置了課后作業，要求學生完成練習題，并嘗試解決一些拓展性問題。

總之，這堂課的教學設計相對科學，既有理論的學習，又有實踐的操作，既有課堂的學習，又有課后的拓展。但同時也存在一些可以改進的地方，需要我們在教學過程中不斷反思和調整，以提高教學效果。

（作者單位：福建省福州市閩清縣教育局）

編輯：溫雪蓮