以實驗促探究 培養核心素養

羅美秀

［摘 要］新課標要求高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，而數學實驗教學是落實數學學科核心素養的重要途徑。文章以“正弦函數和余弦函數的圖象”教學為例，探討數學實驗教學的具體實施方法。

［關鍵詞］數學實驗；核心素養；正弦函數；余弦函數

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）11-0005-03

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）指出：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展?！睌祵W家波利亞指出：“數學有兩個側面，一方面，它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面看，數學像一門系統的演繹科學，但另一方面，創造過程中的數學，看起來卻像是一門實驗性的歸納科學?！比欢糠指咧袛祵W教師一直采用單一的教學方式——講授式教學，只注重“抽象性”“邏輯性”，忽視“創造性”“實用性”。學生沒有經歷知識的形成發展過程，而是死記硬背知識點，通過聽教師講解、做習題的方式掌握學習內容，而這樣的學習模式會讓學生陷入“題?！?，無法觸類旁通、舉一反三。學生每天“埋頭苦干”，但成績依然不理想，久而久之，就對數學失去學習興趣。

數學實驗是指在數學教學過程中為了發現數學規律，探究數學知識，驗證數學結論（或假設），而利用有關工具進行的操作和思維活動。數學實驗為學生探究數學奧秘提供了一種有趣的途徑，它能吸引學生的注意力，調動學生主動參與課堂活動、主動學習、主動思考的積極性。在高中數學教學中恰當地運用數學實驗，有利于引導學生參與實踐、自主探索、合作交流，有利于引導學生發現問題、提出問題、分析問題，提出猜想，驗證猜想，最后解決問題。通過數學實驗，學生能獲得一個主動學習、積極建構新認知結構的學習環境，能夠培養直觀想象、邏輯推理、數學建模等數學學科核心素養，從而落實“學生發展為本，立德樹人，提升素養”的基本理念。

一、課前準備

1.將班級學生分為10個學習小組。

2.讓學生以小組為單位，利用網絡查閱資料了 解沙擺簡諧振動實驗原理。

3.讓學生根據實驗原理準備好實驗器材（簡易漏斗、細繩、干細沙、白紙、架子等）。

二、教學過程

（一）創設情境，設問導學

［師生活動］重溫沙擺簡諧振動實驗，了解有關實驗原理。

［學生活動］小組合作進行沙擺簡諧振動實驗，并展示小組的實驗成果。

［教師活動］對學習小組的實驗過程和實驗結果進行點評，并針對學生的實驗成果提出問題：每個小組的實驗成果都是一條優美的曲線，這樣的曲線要用什么函數來刻畫呢？

設計意圖：利用沙擺簡諧振動實驗吸引學生的注意力，讓學生快速進入學習狀態。通過小組合作進行沙擺簡諧振動實驗，使學生體會實踐的樂趣，直觀感知正弦函數、余弦函數圖象的形成過程，培養學生的直觀想象素養。借助實驗使學生產生情感共鳴，引出本節課的課題。

（二）實驗引領，探索新知

［教師活動］以實驗為引領，提出以下問題，引導學生探索新知。

問題1：正弦函數的定義是什么？能否利用正弦函數的定義畫出其圖象？

設計意圖：通過回顧，引導學生明確正弦函數的定義及正弦函數與單位圓之間的關系，為畫正弦函數的圖象做準備。

問題2：你能畫出當[x]的值分別為0，[π/6]，[π/3]，[π/2]，…，[2π]時對應的正弦函數[y=sinx]圖象上的點嗎？

［師生活動］結合單位圓和正弦函數的定義，在平面直角坐標系中畫出[x0]的值分別為0，[π/6]，[π/3]，[π/2]，…，[2π]時對應的正弦函數圖象上的點T（x0，sin x0）（如圖1）。

設計意圖：引導學生結合正弦函數的定義在平面直角坐標系中畫出正弦函數圖象的特殊點，深化學生對正弦函數定義的理解；讓學生結合點的坐標的幾何意義，準確描點，使學生直觀感受正弦函數圖象的畫法，培養學生的邏輯推理能力。

問題3：你能畫出正弦函數在[0，2π]上的圖象嗎？

生1：只要在[0，2π]上取足夠多的點T（x0，sin x0），并用光滑的曲線將這些點連起來，就可以得到正弦函數的圖象。

問題4：這樣的函數圖象精確嗎？

生2：不夠精確。因為畫圖時只是用了圖象的一些點，而不是全部，所以不夠精確。

［教師活動］利用希沃白板的作圖工具畫出正弦函數[y=sinx]，[x∈0，2π]的圖象（如圖2），并與圖1作比較。

設計意圖：利用希沃白板的作圖工具輔助教學，展示正弦函數在[0，2π]上的圖象的形成過程，使學生理解正弦函數的圖象與定義之間的聯系，滲透數形結合思想，為后續的“五點法”作圖奠定基礎。

問題5：在精確度要求不高的前提下，如何快速畫出正弦函數在[0，2π]上的圖象？

［學生活動］觀察圖象并自行找出快速畫圖的關鍵點。

［教師點評］在精確度要求不高的情況下，只需畫出正弦函數的五個關鍵點：[（0，0）]，[π/2，1]，[（π，0）]，[3π/2，-1]，[（2π，0）]，就可以畫出正弦函數圖象?？偨Y“五點法”作圖的步驟：列表（列出對圖象形狀起關鍵作用的五個點的坐標）、描點（描出五個關鍵點）、連線（用光滑的曲線順次連接五個點）。

設計意圖：通過問題5，引導學生觀察正弦函數的圖象，概括其特征，獲得“五點法”作圖的簡便畫法，培養學生的數學抽象、邏輯推理素養。

［例1］畫出[y=1+sinx]，[x∈0.2π]的簡圖。

［學生活動］小組合作探究并利用希沃授課助手展示交流。

［教師活動］對學生的探究成果進行點評，分析如何找出作圖的五個關鍵點，點出例1的易錯點。

設計意圖：加深學生對“五點法”作圖的理解；引導學生進行小組合作探究，培養學生的合作意識。

問題6：如何得到正弦函數在R上的圖象？

［教師活動］引導學生通過“終邊相同的角的三角函數值相等”這一知識點發現函數[y=sinx]，[x∈2kπ，2（k+1）π]，[k∈N*]且[k≠0]的圖象與函數[y=sinx]，[x∈0，2π]的圖象形狀完全一樣，只需將[y=sinx]，[x∈0，2π]的圖象不斷地向左或向右平移[2π個]單位長度就可以得到正弦函數在[R]上的圖象（如圖3）。

設計意圖：引導學生利用誘導公式[sin2kπ+x=sinx]，[k∈Z]，發現函數的變化周期為[2kπ]，將函數的定義域由[0，2π]推廣到[R]，將函數[y=sinx]，[x∈0，2π]的圖象不斷向左或向右平移[2π]個單位長度可得到正弦函數在R上的圖象；利用信息技術展示圖象平移過程，讓學生直觀感受圖象的形成。

問題7：正弦函數與余弦函數有什么聯系？

問題8：通過怎樣的圖形變換，才能將正弦函數的圖象變換為余弦函數的圖象？

［教師活動］引導學生探究正弦函數[y=sinx]與余弦函數[y=cosx]的關系，并由“[y=cosx=sinx+π/2]”發現正弦函數與余弦函數圖象間的聯系。

[y=sinx的圖象向左平移π/2個單位長度y=cosx=sinx+π/2]的圖象（如圖4）。

設計意圖：讓學生通過實驗論證推理結論，體會誘導公式是圖象變換的代數依據；讓學生體驗將正弦函數的圖象向左平移[π/2]個單位長度后得到余弦函數的圖象，增強學生對兩個函數圖象聯系性的認識。

問題9：你能找出畫余弦函數[y=cosx]，[x∈0，2π]的圖象的五個關鍵點嗎？

［教師活動］引導學生類比畫正弦函數[y=sinx]，[x∈0，2π]圖象的五個關鍵點的方法，快速找出畫余弦函數[y=cosx]，[x∈0，2π]的圖象五個關鍵點。

［學生活動］分組討論，找出畫余弦函數[y=cosx]，[x∈0，2π]的圖象的五個關鍵點為[（0，1）]，[π/2，0]，[（π，-1）]，[3π/2，0]，[（2π，1）]。

設計意圖：引導學生類比“五點法”作正弦函數的圖象，快速畫出余弦函數的圖象，培養學生的類比思想。

［例2］畫出[y=1-cosx]，[x∈0，2π]的簡圖。

［學生活動］小組合作探究。

設計意圖：讓學生合作探究，進一步加深對“五點法”作圖的理解，同時檢測學生對“五點法”作圖的掌握情況。

（三）課堂小結，升華知識

教師通過思維導圖，引導學生歸納總結本節課的重點內容（如圖5）。

設計意圖：通過思維導圖，將本節課的知識點形成知識網絡，便于學生理解知識的形成過程，加深學生對知識的理解，提升學生的學習效果。

三、教學反思

數學實驗教學是一種高效的教學模式，是探究數學新知的重要途徑。如何才能更好地利用數學實驗輔助教學呢？筆者覺得可從以下幾個方面入手。

（一）深挖教材中的數學實驗案例

高中數學教材中的思考、探究、課后閱讀等板塊含有很多數學實驗案例，這些數學實驗案例類型較多，如操作性數學實驗、思維性數學實驗、計算機模擬實驗等。為幫助學生理解邏輯性、抽象性很強的數學知識，教師要細讀、精讀教材，深挖教材的數學實驗案例，同時要與時俱進，熟悉各種常用的信息技術、教學軟件，根據教學內容和學生學情巧妙設計教學情境，帶領學生在數學實驗中獲取新知，體驗數學實驗的樂趣，激發學生學習數學的興趣。

（二）采用問題引領數學實驗的教學方式

在數學實驗教學中，教師要設計合理有效的問題。問題引領下的數學實驗教學是啟發學生思考、探索新知，培養學生數學學科核心素養的重要教學方式。教師在設計問題前，要深挖教材，充分利用教材資源，將知識與實際問題相結合，設計既相互獨立又有聯系的問題，讓學生在解決問題的過程中鞏固知識，實現知識的內化與靈活運用。另外，教師要注意問題的多樣性，讓學生能夠學會從不同的角度思考問題，同時也要注意問題的挑戰性，由易到難，由淺入深，提高學生的思維能力。

（三）落實合作探究與交流的學習方式

通過合作探究與交流，學生能經歷知識的形成過程，深刻理解知識，牢固掌握知識，能夠靈活運用知識解決問題。在數學實驗教學中，教師要為學生創造合作學習環境，引導學生小組合作進行實驗探究，同時借助信息技術實現組與組之間的交流。小組合作探究，不僅可以讓學生從多方面分析問題，深化對問題的理解，發現問題的本質，在交流探究結果中找到問題的最優解，還可以充分調動學生學習的積極性，讓學生積極參與學習，同時提高學生的合作學習能力。

（四）充分利用信息技術豐富學習資源

《課標》指出要注重信息技術與數學課程的深度融合。學習是接收、處理、內化外部信息的過程，但數學具有很強的邏輯性和抽象性，而學生的認知水平有限，邏輯思維能力也存在一定的局限性，對數學知識還不能夠完全理解，并進行內化。因此，教師需要將數學知識進行處理，使其具體化，幫助學生更好地接收、理解、內化、運用知識。近年來，隨著信息技術的快速發展，涌現出了很多教學軟件，為高中數學教學提供了更多、更便利的條件。利用信息技術輔助高中數學教學，不僅能為學生提供豐富的學習資源，還可以通過具體的圖象呈現抽象的數學知識，進一步加深學生對知識的理解，幫助學生實現知識遷移與運用，使學生的數學學科核心素養得到有效提高。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 賴偉倫.開展數學實驗，提高學生的數學素養［J］.中學數學雜志，2003（10）：12-14.

［3］? 師曉娜.創設真實問題情境，引發探究學習興趣［J］.小學科學（教師版），2016（1）：106-107.

（責任編輯 黃桂堅）