經歷探究過程?助力素養進階

姚莉莉

【摘 要】新課標頒布以來，數學跨學科學習成為研究重點。為了進一步提升課堂教學中學生的主體地位，教師在日常教學中應多采取探究式發現學習，鼓勵學生在真實、多樣的情境中，應用所學的數學知識和其他學科知識，在實踐探究中解決問題，在長久的積累中發展思維能力。

【關鍵詞】主題式探究學習 跨學科教學 核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》頒布以來，數學跨學科學習成為研究重點。基于此，旺莊實驗小學教師團隊開展了“基于‘發現數學的小學數學跨領域學習變革行動研究”。在此背景下，學校教師團隊一直在跨學科教學、跨領域教學理念下進行自己的思考與探索。本案例是安排在蘇教版數學六年級下冊“比例”單元后的一節拓展課，試圖通過學生探究學習的方式開展數學跨學科主題學習。

通過動手操作、小組合作完成“魔術揭秘”，嘗試用轉化和比例等知識分析圖形問題，選擇恰當的方法計算“視覺誤差”中關鍵的線段長度；在揭秘探究魔術的過程中，經歷解決問題的一般過程，進一步培養學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力，形成初步的應用意識和創新意識；在揭秘魔術和解決問題的過程中，體驗成功的樂趣，感受數學在實際生活中的應用，感悟數學的價值。

一、初探魔術，引發思考

（一）展示魔術，激活思維

師：老師的女兒最近學了一個魔術，說是可以讓巧克力永遠也吃不完，你們想看嗎？（播放視頻）

師：巧克力真的永遠也吃不完嗎？為什么看上去還是一整塊呢？

生1：巧克力肯定能吃完。

生2：雖然看上去還是一整塊，但巧克力的體積變小了。

師：這個魔術的奧秘在哪里？如果把它當作一個數學問題，你覺得可以怎樣研究？

生3：我們可以拿一塊巧克力做實驗。

生4：用紙代替巧克力，剪一剪，拼一拼。

師：大家想到了很多辦法，我們就從“魔術還原”開始思考，通過分析揭秘魔術。

（二）小組合作，還原魔術

師：請大家打開1號信封，開始還原魔術。

（同桌合作，剪一剪、拼一拼還原魔術）

師：巧克力真的吃不完嗎？誰來展示你的作品？

（學生展示不同拼法，見圖1、圖2。）

小結：雖然拼法不同，但都能表明巧克力已經發生了變化。

【思考】從有趣的魔術過渡到數學問題，突出數學學科的價值，激發學生的積極性。引導學生在真實探究的過程中發現問題，經歷將巧克力抽象成長方形的過程，通過動手操作呈現兩種不同的圖形，明確本課的研究對象：空間形式和數量關系，進而提出問題，啟發學生進一步思考巧克力看似不變背后的原理。

二、抽象概括，探究規律

（一）深入思考，聚焦奧秘

師：重新拼組后的巧克力和原來比哪里變了？

生1：巧克力的體積變小了，長方形的面積變小了。

生2：面積變小，是因為長方形的長變短了。

指出：現在再看這個魔術，我們就知道巧克力的長變短了，問題就出在這里。

（播放魔術揭秘視頻，提出新問題：巧克力的長短了多少？）

（二）推理論證，形成方法

師：為方便研究，我們把巧克力抽象成邊長為1的正方形，你能嘗試用不同的方法計算巧克力的長減少的長度嗎？研究時，你可以走下座位和同學一起討論，也可以直接求助老師。請打開2號信封，開始研究。

1.討論方法一——用面積算：1÷5=0.2

追問：你怎么知道長方形的面積是1？

生：吃掉的巧克力是邊長為1的小正方形，所以巧克力減少的面積就是1。

師：誰再來說一說，這里的1表示什么？5呢？

生：1表示長方形的面積，5表示寬，長方形的面積除以寬就是長方形的長。

溝通：聯系圖1想一想，這個1除了是長方形的面積，其實也是誰的面積？為什么？這時5表示什么呢？

生：1也表示平行四邊形的面積，平行四邊形的面積除以高就是平行四邊形的長。

比較：兩種拼法看似不同，其實在思路上有什么相同之處？

小結：兩種方法其實都是把小正方形的面積轉化成長方形或者平行四邊形的面積，利用面積除以高，得到底邊的長。

2.討論方法二——用解比例的方法計算

生：還可以用解比例的方法來計算。

師：聽著不錯，從哪里可以找到有比例關系的邊呢？

生：我們從這兩個三角形（見圖3）上找數據。（板演方法）

解：設小三角形的高為x。

5∶4=1∶x

5x=4

x=0.8

師：為了看得更清楚，我們把這組三角形移出來，標上數據。請大家也嘗試一下用解比例的方法來計算。

校對：x=0.8，那么上面少的這條邊就是0.2.

（三）鏈接教材，總結提升

師：剛才我們是從哪里找到比例關系的？

生：從兩個三角形中找到了有比例關系的線段。

指出：數學上我們把這種大小不等但形狀相同的三角形叫作相似三角形。

師：算一算這里大、小三角形底和高的比值，你有什么發現？

指出：相似三角形對應底和高的比值相等。剛才我們就是利用相似三角形的這個特點，用解比例的方法解決問題。

鏈接：關于相似三角形，升入初中后我們還會進一步深入學習。其實我們在六年級下學期就曾接觸過類似的知識，你知道是哪部分的內容嗎？

介紹：在學習圖形的放大和縮小時，我們就做過這樣的練習（見圖4）。把圖A按比例縮小得到圖B，再按比例放大得到圖C。這里的三角形就是相似三角形。

4.把圖A按比例縮小得到圖B，再按比例放大得到圖C。從圖中選擇兩組數據組成比例，并用比例的基本性質進行檢驗。

總結：利用面積和比例，都能算出切割重組后的巧克力的長少了0.2，面積減少了5×0.2=1，也就是被吃掉的那塊巧克力的面積。面對這樣的“數學魔術”，當我們的眼睛難以辨別時，數學知識就可以大顯身手了。

（四）回顧反思，發展素養

師：回顧解決問題的整個過程，我們是怎樣抽絲剝繭，揭秘魔術的？

生1：我們利用有限的材料還原魔術，從數學的角度展開觀察。

生2：小組合作，用不同的方法計算巧克力減少的部分，用數學知識進行思考。

生3：我們是用數學的方法和語言揭秘魔術的。

師：事實上，很多看似不可能的問題都可以用數學方法來解決。老師這里還有一個魔術，你敢挑戰嗎？一起來看。

【思考】從等積變形到用比例思考線段之間的關系，讓學生綜合應用所學的數學知識解決問題，體會數學知識的價值，感受積極思考的意義。引導學生在主動的探究活動中用數學的眼光觀察問題、在真實的思維進階過程中用數學的方法思考分析，逐步養成用數學的語言表達和交流的習慣，形成初步的應用意識和實踐能力。

三、挑戰提升，應用規律

（呈現新魔術：64=65？）

師：剛才發生了什么？64會等于65嗎？我們可以怎樣來破解魔術？

生1：找一張方格紙，按照魔術過程操作看看。

生2：其中肯定出現了小問題，我們可以去算算比例關系。

小結：請打開3號信封，先剪一剪、拼一拼還原魔術，找到問題后再算一算。

交流：能拼成長方形嗎？

生1：能，我拼成了一個長方形。

生2：不能，拼成的圖形中間有一條縫。

師（追問生1）：現在你覺得呢？

生1：他肯定是剪得不好，所以有縫。

師：是的，操作過程中會存在誤差，還有更有力的證據嗎？

生3：我們可以通過計算來說明。

師：你算了哪條邊的長度？請你上臺說一說。

生3：我算的這條邊，是用解比例的方法算的。（見圖5）

解：設小三角形的高為x。

8∶3=5∶x

8x=15

x=1.875

師：為什么你想到算這條邊的長呢？

生：因為這里有些邊的長是確定不會有問題的，所以我想到要求它的長度。如果算出來是2，說明中間沒有縫。現在算出來不足2，說明中間肯定存在縫隙。

師（追問生1）：現在你同意嗎？

生1：同意了。

師：除了用解比例的方法，還有其他不同方法嗎？

生4：還可以計算兩個三角形底和高的比值，說明這兩個三角形的斜邊并不在一條直線上。

師：還有其他不同的研究思路嗎？時間關系，感興趣的同學可以課后再研究。

師：以前我們總說“耳聽為虛，眼見為實”。現在你還這樣想嗎？眼睛會欺騙你，但什么不會？通過今天兩個數學魔術的揭秘，你有哪些收獲？

【思考】通過第二個魔術的檢驗，培養學生綜合應用所學的知識解決更復雜問題的能力。在此過程中，強調學生的主體地位。通過合作學習和生生交流，進一步激發學生的探究欲望，開展有目的、有步驟、有合作、有反思的小組活動，培養學生嚴謹認真、質疑問難的批判性思維，幫助其形成實事求是的科學態度。

四、跨越課堂，感悟價值

像這樣利用了數學原理的錯覺現象還有很多，在數學家和藝術家的眼中，很多奇特的設計正來自這些讓人產生錯覺的創意中。

正因這些奇特的創意，一些在三維立體中不可能存在的事物，被一一繪制到了二維平面上，不可能變成了可能。比如永遠走不完的樓梯——彭羅斯階梯（見圖6），永遠不可能的三角形——彭羅斯三角（見圖7）。

這些創意不只是出現在藝術家的畫紙上，其實它們在各行各業都有著廣泛的應用。

（播放視頻：《神奇的莫比烏斯帶》）

師：神奇的莫比烏斯帶是在數學家們經歷了不斷的猜想、實驗、失敗、再挑戰的過程中誕生的，現在它的升級版克萊因瓶——號稱永遠裝不滿水的瓶子，已成為數學家們研究的對象。你能看出它的玄機嗎？期待著同學們將來也能像數學家一樣，利用數學知識，創造更多的奇跡。

【思考】學習的最后，教師帶領學生跨越數學，跨越課堂，來到另一個生活領域，感受數學與科學技術之間、數學與社會生活之間的聯系。學生經歷數學知識的發生、發展和應用的全過程，體會數學發展的每一次創新都經歷了曲折的過程，啟發學生學以啟思、學以致用，初步感受數學家精神，培養使命感和責任感，實現學科育人。