運(yùn)用尺規(guī)作圖發(fā)展學(xué)生空間觀念

鄭貞弢

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）在課程內(nèi)容的第二學(xué)段學(xué)業(yè)要求中提到運(yùn)用尺規(guī)作圖，作等長線段，直觀感受三角形的周長，感知線段長度與兩點(diǎn)間距離的關(guān)系等等，那么作為教師，要重視學(xué)生在作圖時積累的基本活動經(jīng)驗(yàn)，建立量感和初步的幾何直觀，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖 ?量感 ?幾何直觀 ?數(shù)學(xué)文化 ?數(shù)學(xué)思想

【中圖分類號】G623.5 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2024）04-0037-03

新課標(biāo)在課程內(nèi)容的第二學(xué)段學(xué)業(yè)要求中提到“經(jīng)歷用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫到一條直線上的過程。”說明學(xué)生在三四年級就要掌握簡單的尺規(guī)作圖方法，以逐步積累操作的經(jīng)驗(yàn)，有助于形成量感和初步幾何直觀。

一、基于尺規(guī)，感知等長線段

（一）結(jié)合情境，在操作中感悟

尺規(guī)作圖，是指使用無刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖。新課標(biāo)在第二學(xué)段“圖形與幾何”的教學(xué)提示中提到“在認(rèn)識線段的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用直尺和圓規(guī)作給定線段的等長線段，感知線段長度與兩點(diǎn)間距離的關(guān)系，以增強(qiáng)幾何直觀。”這個操作聽上去非常抽象，但在課堂教學(xué)中，教師可以結(jié)合有趣的情境，讓學(xué)生在操作中感悟“等長線段”。例如，在教學(xué)“線段、射線、直線”這個內(nèi)容時，在認(rèn)識了線段的特征后，設(shè)計(jì)一個有趣的“小螞蟻回洞”情境（圖1）：小螞蟻到洞口的距離是多少？請你先畫一畫，量一量，再用直尺和圓規(guī)把這個距離的等長線段畫在自己的本子上。在這個問題中，借助小螞蟻回洞的距離認(rèn)識線段的特點(diǎn)，在體驗(yàn)不看直尺的刻度時，用圓規(guī)將這個距離長度畫到本子上的過程。在操作時，對于剛剛升入四年級的學(xué)生而言，使用圓規(guī)還比較陌生，可先嘗試獨(dú)立操作，再將操作過程與同桌或小組成員分享，體會無刻度的直尺只能確定直線，用圓規(guī)的兩腳張開的距離可以確定線段的長短，從而作出與小螞蟻回洞距離等長的線段。一個有趣的情境，一個具體的操作，一個數(shù)學(xué)的感悟，在學(xué)生的操作與交流中，讓尺規(guī)作圖不再抽象，幫助學(xué)生增強(qiáng)了幾何直觀。

（二）發(fā)揮想象，直觀對比表達(dá)

很多教師常常認(rèn)為，圓規(guī)這一學(xué)習(xí)用具要到六年級學(xué)習(xí)圓時再讓學(xué)生準(zhǔn)備，其實(shí)在第二學(xué)段角的認(rèn)識的教學(xué)中，為了感知角的大小變化，在學(xué)具選用上，常用的是教師或?qū)W生制作的活動角，或在網(wǎng)絡(luò)平臺上購買活動角學(xué)具，但上完課后，這些制作或購買的學(xué)具就成了一次性用品，那么圓規(guī)這個學(xué)具不正好就是一個活動角嗎？因此，我們在教學(xué)“角的認(rèn)識”時，可以利用紙扇、圓規(guī)等身邊的小物件的開合，觀察角的大小變化，并比較角的大小。如，教師在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)角的大小與邊的長短關(guān)系時，可以讓學(xué)生想象將自己的小圓規(guī)與老師的教具大圓規(guī)對比，老師的教具大圓規(guī)的邊比你的小圓規(guī)的邊更長，那么老師手上的角就比你小圓規(guī)的角更大嗎？引發(fā)學(xué)生思考角的大小與邊的長短有關(guān)系嗎？學(xué)生在直觀對比中，發(fā)揮想象，抽象出圖形，再通過數(shù)學(xué)語言可以更簡約、更精確地表達(dá)這樣的空間形式，更直觀地理解角的大小與邊的長短無關(guān)。

（三）追根溯源，滲透數(shù)學(xué)文化

初探尺規(guī)教學(xué)的課堂，我在幾次聽評課中發(fā)現(xiàn)，有學(xué)生或聽課教師提出，現(xiàn)在我們已有刻度尺，為什么還需要進(jìn)行尺規(guī)作圖的教學(xué)，特別是強(qiáng)調(diào)“不看直尺的刻度”。殊不知，尺規(guī)作圖最早起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，于公元前5世紀(jì)提出，當(dāng)時還未完全統(tǒng)一度量單位，最關(guān)鍵的是測量與讀數(shù)時會存在誤差，那么不用讀數(shù)，用尺規(guī)作圖在理論上來說是沒有誤差的。回到中國歷史的中軸線上，記錄春秋時期政治家、思想家管仲言行思想的著作《管子·形勢》一書中提到：“奚仲之為車器也，方圜曲直，皆中規(guī)矩鉤繩。”這里所提到的“奚仲”是大禹時期的人，也就是說規(guī)矩作為木工工具至少在夏朝就已經(jīng)廣泛使用了。那么我們在尺規(guī)作圖教學(xué)中，不僅要關(guān)注學(xué)生操作學(xué)具時經(jīng)驗(yàn)的積累，還要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上，一起追溯數(shù)學(xué)歷史，知道“規(guī)”是能畫圓的圓規(guī)，“矩”是兩條相連成直角且長短不一的尺，它們不僅是平面幾何的研究工具，也是我們生活中做人的道理，透過尺規(guī)，感悟數(shù)學(xué)文化。

二、活用尺規(guī)，明晰周長本質(zhì)

（一）培養(yǎng)量感，直探本質(zhì)

我們從人教版二年級上冊“長度單位”單元和蘇教版二年級上冊“厘米和米”的單元中，都能看到兩手將線段拉緊、拉直的情境圖，就已經(jīng)在滲透“兩點(diǎn)之間的距離”的感知。再看蘇教版四年級上冊“垂線和平行線”單元的練習(xí)中有一道題（圖2）：

這題有意思的地方不在于“畫4厘米長的線段”，而在于畫出規(guī)定距離的兩個點(diǎn)，這個編排直指線段的本質(zhì)，也就是“兩點(diǎn)之間的距離”，同時借助下方的一個小問題，將線段和線段與直線的關(guān)系進(jìn)行知識點(diǎn)的整合。其實(shí)在這里，我們還可以打破整厘米數(shù)的長度，設(shè)計(jì)一些非整厘米數(shù)的練習(xí)。如：請你選擇使用刻度尺、無刻度的直條（尺）和圓規(guī)，畫出與以上線段等長的線段。這個操作并不難，大多數(shù)學(xué)生會先用刻度尺對原線段進(jìn)行測量，但很快會發(fā)現(xiàn)具體精確到幾毫米，總是因誤差出現(xiàn)不同的測量結(jié)果，這時可先用無刻度直尺畫一條直線，再用圓規(guī)兩腳張開到與原線段等長，不用測量具體長度，就能將原線段“搬”到直線上，減少了測量時的誤差，關(guān)鍵是體驗(yàn)到尺規(guī)作圖的方便，打破了原先用刻度尺測量的定勢思維。這些例題與練習(xí)都在為我們將尺規(guī)作等長線段引入課堂教學(xué)明確了方向，確定所達(dá)到的學(xué)習(xí)程度。

在理解了線段之后，新課標(biāo)要求“用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫到一條直線上，認(rèn)識三角形的周長。”這個作圖可以看作是以上“作等長線段”的應(yīng)用。教學(xué)中，教師常讓學(xué)生在描一描、畫一畫中感受圖形的邊線，那么在初步感知周長這一概念后，可以引導(dǎo)學(xué)生借助尺規(guī)作圖的方法，在操作中探索“周長到底有多長”這個核心問題，嘗試用沒有刻度的直尺和圓規(guī)把三角形的三條邊依次畫到一條直線上，從數(shù)學(xué)思維的角度出發(fā)，就是將周長從二維的平面轉(zhuǎn)化為一維的“首尾相接”的線段長度上，尺規(guī)作圖的本質(zhì)就是演繹推理，感知線段長度的可加性，并體會到用圓規(guī)依次度量三角形三條邊的等長線段的準(zhǔn)確性，在培養(yǎng)學(xué)生量感的同時，也進(jìn)一步明晰了周長概念的本質(zhì)。

（二）嘗試作圖，引發(fā)猜想

我在執(zhí)教人教版四年級上冊“平行與垂直”一課中，探索“垂直線段最短”這個問題上，結(jié)合了北師大版中的“去河邊怎么走最近？”這樣一個小實(shí)驗(yàn)（圖3）。教師可以先示范用直尺畫出直線AB表示河流，標(biāo)上點(diǎn)O表示淘氣小朋友所在的點(diǎn)位，然后用圓規(guī)的針尖對準(zhǔn)點(diǎn)O，用圓規(guī)張開的距離讓學(xué)生獨(dú)立嘗試尋找發(fā)現(xiàn)到河邊最近的距離。活動中，我看到學(xué)生仔細(xì)地調(diào)整圓規(guī)開口的距離，哪怕只差一點(diǎn)點(diǎn)，學(xué)生也能細(xì)心觀察、對比著。在這個作圖的過程中，也許不是每位學(xué)生都能準(zhǔn)確找到圓弧與直線的切點(diǎn)，但在不斷調(diào)整距離的過程中，引發(fā)了學(xué)生垂直線段最短的猜想。

（三）借助尺規(guī)，驗(yàn)證猜想

學(xué)生初步掌握了尺規(guī)的使用方法后，在解決一些圖形對比的問題中，也能借助尺規(guī)驗(yàn)證自己的猜想，比如學(xué)生在理解了線段、直線、射線的特征后，對比下面兩組線段的長度，要求學(xué)生先看一看，再量一量（圖4）。左圖中線段兩端的兩個圓形和右圖中線段兩端類似箭頭的圖形，單從目測的角度，都容易讓人產(chǎn)生視覺錯誤，那么在量一量驗(yàn)證猜想時，我們除了用有刻度的直尺來量，還可以讓學(xué)生嘗試借助圓規(guī)，用之前學(xué)到的“作等長線段”的方法進(jìn)行比較，以驗(yàn)證自己猜想。

再如用直尺和圓規(guī)作三角形，引導(dǎo)學(xué)生在尺規(guī)的操作中發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這個一般規(guī)律，以蘇教版四年級下冊第七單元中例3的內(nèi)容為例（圖5），在8cm、5cm、4cm、2cm中任選3根小棒，能圍成三角形嗎？學(xué)生在獨(dú)立思考操作時，一般會先確定一條邊，再不斷調(diào)整另外兩條邊與第一條邊的建構(gòu)，但我們發(fā)現(xiàn)使用小棒學(xué)具調(diào)整時，與第一條邊的夾角容易發(fā)現(xiàn)位移，其實(shí)另外兩條邊在調(diào)整時所劃過的路徑就是在尋找兩個圓弧的交點(diǎn)，因此學(xué)生可以借助圓規(guī)，量得選用小棒的等長線段畫弧（圖6），以作圖為認(rèn)知載體，從直觀中推理驗(yàn)證規(guī)律。

三、應(yīng)用尺規(guī)，挖掘數(shù)學(xué)思想

學(xué)生在第二學(xué)段的作圖體驗(yàn)中，積累了一定的操作經(jīng)驗(yàn)，逐步發(fā)現(xiàn)作圖的規(guī)律，在遇到一些圖形問題時，就會自然地思考應(yīng)用尺規(guī)解決問題，這就需要挖掘尺規(guī)作圖背后的數(shù)學(xué)思想。在借助直尺和圓規(guī)作圖的方法中理解了三角形的周長的基礎(chǔ)上，可采用類比的方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探索用尺規(guī)作圖的方法補(bǔ)全一個長方形或正方形（圖7）。類比思想方法是富于創(chuàng)造的一種方法，但要注意不要增加作圖難度，可以先給定兩條直角邊，作為一個長方形的一條長和一條寬，請學(xué)生利用尺規(guī)作圖補(bǔ)全這個長方形。在操作中要求學(xué)生要留有畫圖過程，在小學(xué)階段不用過度強(qiáng)調(diào)作圖步驟，鼓勵學(xué)生表達(dá)“作等長線段”“兩點(diǎn)確定一條線段”這些數(shù)學(xué)規(guī)律，通過類比思想發(fā)展學(xué)生的推理能力。再如以上談到的三角形的三邊關(guān)系，這種空間形式的結(jié)構(gòu)正是一種數(shù)學(xué)模型，教師要注重在尺規(guī)作圖表達(dá)應(yīng)用的過程中，逐步提高學(xué)生建模的能力。

另一方面，學(xué)生借助直尺和圓規(guī)將思考過程或是具體的數(shù)量直觀表達(dá)出來，清晰地感知幾何圖形與組成的各部分元素之間的空間關(guān)系，也就是將數(shù)與形結(jié)合起來，這樣數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想讓思維更直觀，讓分析更簡明。

四、拓展延伸，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

任教高年級的數(shù)學(xué)老師常常發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在六年級學(xué)習(xí)了圓，學(xué)會使用圓規(guī)了，可操作技能只停留在會畫圓上，但有時我們不需要畫出完整的圓，那么教師可以在作業(yè)設(shè)計(jì)上打開學(xué)生的思路，將尺規(guī)的操作延伸，如圖8：點(diǎn)E是直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)D在直線l外，請?jiān)谥本€l上畫出點(diǎn)F，使△DEF是等腰三角形。本題有趣的地方在于可以作出不同形狀的等腰三角形，線段DE既可當(dāng)?shù)祝部勺鲅缥覀兛刹捎米鳂I(yè)紙對折法，將點(diǎn)D和點(diǎn)E重合，那么折痕與直線l的交點(diǎn)就是點(diǎn)F。采用尺規(guī)作圖時，學(xué)生通過嘗試很快就能發(fā)現(xiàn)，以線段DE為腰時，可畫出等腰銳角三角形，也可等腰鈍角三角形，還可以在線段左右兩邊不同方向嘗試作圖。一道簡單的開放型操作習(xí)題，拓展了學(xué)生只會用圓規(guī)畫圓的單項(xiàng)技能，延伸出新的思考，學(xué)生在尺規(guī)的結(jié)合運(yùn)用中提升了創(chuàng)新意識。

尺規(guī)作圖以其合理性、必要性、直觀性、簡潔性等特征，讓學(xué)生在細(xì)致的操作和嚴(yán)密的思考中，發(fā)展了空間觀念，并且融入了量的感知和推理意識的培養(yǎng)。在幾次的作圖課后，有些學(xué)生意猶未盡，在課間繼續(xù)利用尺規(guī)設(shè)計(jì)圖案，再與同學(xué)交流、分享操作過程，我想，這就是數(shù)學(xué)獨(dú)有的文化魅力，不僅能深化明理，凸顯幾何價值，還培育了學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品格。

參考文獻(xiàn)：

[1]王邵惠子，王青建.尺規(guī)作圖問題新探[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（5）：125-128.

[2]劉加霞，潘麗云.尺規(guī)作圖的歷史溯源、育人價值及教學(xué)建議[J].小學(xué)教學(xué)：數(shù)學(xué)版，2022（7）：20-24.