高中數列問題的解題方法與教學策略探究

徐文京

【摘要】高中階段是啟迪學生思維、拓寬學生思想邊界、培養學生學習習慣的關鍵時期，對學生日后的發展具有重要影響.高中數學被大部分學生公認為難度較大的科目，學生在學習時往往會對其產生一定的畏難情緒，加之數學知識點之間的關聯性，若某一內容無法完全理解，則會直接影響對與之相關聯知識點的理解.針對此類情況，文章從數列問題的解題方法與教學策略兩個方面展開思考，結合數列類例題，總結應用數列基本概念、性質及特殊方法解題的主要思路，同時探索能夠有效提升教學效果的策略，旨在提高學生的解題能力，助力高中數學教學質量的提升.

【關鍵詞】高中數學；數列問題；解題方法；教學策略

引 言

在高中數學知識點中，數列是極為關鍵的部分，與幾何、函數、不等式等內容均存在一定關聯，在考試中占比較高.在核心素養背景下，對于高中數學教學的目標已經不再局限于傳授知識點，而是傳授教學思路和方法，培養學生的高階思維，使其能夠加深對知識點的理解，并能靈活運用.高中階段的核心素養包括邏輯推理、數學建模、數學抽象、數學運算、數據分析等，對學生的個人發展具有重要推動作用.

一、高中數學數列問題解題方法探究

（一）基本概念求解

以數列問題為例，其中有很多基礎類知識點，學生只需理解基本概念即可完成相關題目，這類問題考查學生的記憶能力和學習態度，要求學生掌握扎實的基礎知識，為后續的多樣化題目練習和綜合性知識點的學習奠定基礎.因此，此類問題可通過數列基本概念來完成，教學重點在于學生能夠正確理解概念，從而避免失誤.

以高中數學人教A版選擇性必修第二冊第四章“數列”中的“4.1數列的概念”這一知識點為例，題目為：已知等差數列{a}的前n項和為Sn（n為整數），若已知a2=5，S10=100，求解S5.為進一步加深學生對數列基本概念的記憶，教師可以在完成題目分析后在黑板上標注等差數列的公式，并讓學生在題目旁邊可見的位置做好公式標注，再一一代入已知條件.這種緊湊型的教學模式能夠進一步提升學生對知識點的記憶效果，同時能夠將理論知識與實際例題相結合，讓學生掌握公式的運用，同時引導學生養成良好的學習習慣.在每次做題前根據已知條件判斷與題目相關的知識點類型及內容，做到牢記公式，長此以往，能夠培養學生發現問題、分析問題的能力，符合高中數學核心素養中對數學運算能力、問題解決能力及批判思維的培養要求.

（二）性質求解

隨著學生數學知識的不斷積累，其思維邊界也會逐漸擴大，知識點難度隨之逐漸提高，這就要求學生具備更強的理解能力和靈活性思維.仍以高中數學人教A版選擇性必修第二冊第四章“數列”為例，在“4. 2等差數列”中，教學目標從“了解基礎公式”過渡到“發現數列性質并運用性質解決問題”.這就需要教師立足于基礎知識，從考查學生對知識點的記憶能力過渡到考查學生對知識點的靈活運用與解決問題能力，這也是培養高階思維的關鍵一步.

例如，已知等差數列中a3+a8=64，求取a4+a5+a6+a7的和.為進一步落實以人為本理念，培養學生獨立思考的能力，教師在講解數列性質知識點時可以給出一些比較典型的完整數列，讓學生優先觀察數列規律，并給予其足夠的獨立思考的時間.在學習性質內容時，學生已經掌握并能運用相關知識點，自然會發現數列的規律.此時再由教師揭曉數列性質的內容，以上述題目類型進行性質對照，即可獲得答案.

（三）特殊方式求解

數列問題中的難點在于變化形式多樣，不同類型題目能夠運用多樣化的解題方式來完成，但在實際應用中經常存在方式不正確、思路偏差等情況，導致無法獲得正確答案，這對學生數學思維的培養也無益處，因此教師需要將問題類型與解題思路結合起來進行授課.

1.累加法

高中生數學思維的培養并不是一蹴而就的，需要經過長期的引導與訓練，不斷積累知識，再以此為基礎進行思維的靈活發展，循序漸進地培養高階思維.以高中數學人教A版選擇性必修第二冊第四章“數列”為例，強調通過數列來培養學生的數學思維和創新意識，提高學生解決問題的能力和邏輯推理的能力，使其學會觀察已知題目中的要素，回憶所學過的知識，尋找關聯點，從而完成解題.例如，數列問題中比較常用的方法———累加法，適用于一些相鄰系數相加的問題，需要學生看到題目后快速搜索其中的要素并判斷是否適合運用累加法解決問題.

例如，若數列{an}中，已知a1=3，且an+1=an+2n，求通項公式.根據題干內容來看，若直接觀察題目要素并不能發現其中蘊含的數量關系，這就需要學生具備公式轉換的思維，利用等號兩邊關系進行知識點轉換，其中“an+1=an+2n”可以轉換為“an+1-an=2n”，此時“an-an-1=2（n-1）”，由此可得相鄰兩項之間的數量關系.已知首項和項數關系后可利用通項公式得到an的值，即an=n（n-1）+3.這一問題主要考查學生的觀察能力和思維的靈活性，能夠主動完成公式轉換，確認該問題可利用累加法來解決，再借助已有的等差數列公式知識點進行計算，從而獲得答案.

2.待定系數法

待定系數法在高中數學數列解題中的運用主要針對一些求取未知數方面的內容，通過改變多項式的形式使其含有待定系數，再形成新的恒等式.解題過程中會通過恒等式性質形成方程組完成對待定系數的計算.部分學生對于待定系數法的運用存在一定誤區，無法及時厘清其中的數量關系，需要教師進行科學引導.首先，明確式中未知數的設計標準，包含保證所假設的未知數能夠被求取；其次，保證未知數設置符合關系式條件，代入數列獲得公式；最后，求取未知數并代入原公式中.待定系數法對于部分思維靈活性較弱、觀察能力不足的學生來說存在一定難度，教師務必先使其明確詳細的解題思路，再結合實際題目傳授知識.

二、數列問題解題教學策略分析

（一）設置問題情境調動學習興趣

數列問題這一知識點的內容較少，相對簡單，其難點在于與其他知識點的聯動，以及教學過程中如何采用正確的方式滲透核心素養.高中數學從內容上來看具有一定的抽象性和復雜性，若采用平鋪直敘的授課方式，難免會讓學生生出畏難情緒，不利于知識點的傳授.因此，教師在羅列相關知識點和傳達解題技巧時可以采用創設情境的方式，以此來調動學生的思維，使其主動思考，主動參與學習活動.例如，高中數學人教A版選擇性必修第二冊第四章“數列”中等比數列的部分，相較于等差數列，等比數列更加考查學生敏捷的思維，難度也更高.教師可以創設與生活相關的情境，如針對車主喝酒后酒精含量的變化設置等比數列，在設置情境時盡可能保證內容詳盡，涵蓋等比數列定義、等比中項定義、通項公式等.此外，還需要注重等比數列這一知識點與其他知識點之間的聯合性，如等比數列與函數之間的關系，以實現有效的知識點聯動，幫助學生拓展思維.

（二）數形結合滲透轉化思想

數形結合是高中數學教學中解決難題的常用方式，但由于學生思想和學習經驗的差異性，部分學生無法自覺利用數形轉化思想解決數學問題.因此，教師需要根據題目的已知條件來探索如何提高這部分學生的數形思想轉化能力以自主實現“以數解形”“以形助數”.針對轉化思想的研究，主要可以從以下兩個方面展開論述.

第一，根據已知條件轉化一般數列.高中階段所學習的等差數列和等比數列普遍由其他更為復雜的數列轉化而來，重點考查學生的知識遷移能力、思維靈活性及對基礎知識點的掌握情況，在解題過程中教師可傳授構造法的解題技巧.

第二，根據已知條件轉化為函數問題，以此來實現知識點之間的聯動，拓展學生思維，培養其觀察能力和推理能力，讓學生進一步了解數列的內涵及數列知識點在不同表達式中的運用.教師還可充分發揮計算機技術的優勢，利用相關軟件進行繪圖，使學生能夠更直觀地了解數列與函數的性質特點.

（三）注重核心素養的滲透

在新課改革背景下，高中數學教育模式也應當不斷優化，強調培養學生的數學思維和實踐應用能力，根據人教版高中數學A版選擇性必修第二冊第四章“數列”這一內容來看，其中蘊含的數學學科核心素養內容很多，對學生思維的培養與塑造具有顯著作用.因此，教師在進行解題技巧與方法傳授過程中應當根據不同方式的特點滲透有關核心素養的內容，實現對學生的科學培養.例如，針對數列遞進關系、通項公式方面的內容，教師可設計側重于培養學生的邏輯推理能力的內容；在運用情境教學模式時，可設計生物繁衍、利息計算、生活場景、人口增長等方面的內容，并滲透模型構建方面的思想；針對數列性質、求和方式等，可設能夠展現學生解決問題的能力的內容；針對數列推導方面的內容，設計大量代數或數據變形、化簡等內容，側重于對學生運算能力的培養；在運用數形結合方式時，如利用指數函數強化理解能力時，可設計能滲透空間想象、直觀想象等核心素養方面的內容.

結 語

總而言之，高考數學中數列是必考類型，且題型十分豐富，一般情況下會以選擇題的形式或解答題的形式出現.此類問題，主要考查學生對知識點的掌握情況，以及能否熟練運用相關解題方式和技巧來獲得準確答案.目前來看，部分教師在講解相關知識點時，更加傾向于讓學生理解基礎公式，以及掌握公式的運用，而忽視了學生思維的發展，且單一化的講解并不能有效調動學生的學習積極性，甚至會使學生產生畏難情緒.針對此類情況，教師需要詳細匯總此部分內容的相關解題技巧與方法，在此基礎上創新授課方式，滲透核心素養理念，對學生進行有針對性的指導，有效提高學生的思維靈活性、觀察能力及解決問題的能力，致力于高階思維的培養.

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