指向數學抽象素養(yǎng)的教學設計

張貝婷 姜晶 邵秀芹 徐秀英

*基金項目：

山東省專業(yè)學位研究生教學案例庫建設項目“《教學課程與教材分析》教學案例庫”（項目編號：SDYAL21195）;聊城大學研究生課程思政示范課程“數學課程與教材分析”（項目編號：LCUKCSZ2308）.

摘? 要：史寧中教授把數學抽象素養(yǎng)的發(fā)展劃分為三個不同的階段：一是在簡約階段把復雜的問題簡明地表述出來；二是在符號階段使用符號來表達已經簡單化的問題；三是在普適階段通過假定和推論，構造出一種可以在廣義上描述具體事物的特性或規(guī)律的模式.以高中數學中《集合的概念》為例，進行指向數學抽象素養(yǎng)的教學設計，包括八個具體步驟：“辨別”“分化”“類化”“抽象”這四個步驟是“簡約”階段，“概括”“形式”這兩個步驟是符號階段，最終實現從“系統(tǒng)”到“運用”的普適階段.

關鍵詞：高中數學；教學設計；抽象素養(yǎng)；集合的概念

數學抽象是從數量關系上和空間形態(tài)上，發(fā)現數學教育對象的實質和規(guī)律性的研究方式［1］，是人腦對客觀事物的數量關系和空間形式的間接、概括的反映.［2］數學教學設計實際上是一個不斷改進和完善的動態(tài)發(fā)展過程.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標（2017）》）中指出，數學抽象表現在獲得數學概念和規(guī)則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系.［3］

1? 《集合的概念》教學分析

1.1? 設計理念

充分利用各種探究活動，讓學生體驗和感受到數學抽象的過程，進而培養(yǎng)他們的數學抽象素養(yǎng).具體包括：從實際和數學的情境中體驗集合的含義和表示的抽象過程，通過具體的、直觀的實例分析來確定集合元素的特征，并試圖從文字語言到運用符號的形式化描述的轉化，從而構造出一個概念的體系和具體的運用.

1.2? 課標要求

通過本節(jié)課教學，要求學生明確集合中元素的性質，掌握常用數集及專用符號，并能靈活運用；能夠用集合中元素的性質，掌握常用數集及專用符號，并能靈活運用.最終學生能夠用集合語言來表達相關的數學對象.

1.3? 教材分析

這節(jié)課內容為人教A版《普通高中教科書數學必修第一冊》第一章第1節(jié)的《集合的概念》.它既是初高中的“過渡課”，也是一節(jié)學習集合語言的概念課，是學習函數、方程、不等式、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計的基本工具.從教科書知識的安排來看，小學和初中階段已學習了一些集合，對集合的概念有了初步的感性認識.高中階段要求學生用自然語言、圖形語言、集合語言表述特定問題，并引導學生自主歸納，從而強化過程性，加強學生的數學表達能力，發(fā)展他們的數學抽象素養(yǎng).

1.4? 學情分析

（1）高一的學生具有較強的觀察、分析、推理能力.他們勤于思考、樂于探究.部分學生具有較高的解題能力，可以對所學到的知識進行正確的歸納，在學習小組的討論和交流中，能形成對問題的解決思路.

（2）高一學生的歸納、運用數學的意識比較薄弱，抽象思維能力不足.該小節(jié)的概念比較抽象，符號性的詞匯比較多，需要更高的邏輯思維能力.

1.5? 教學目標

（1）理解集合的含義以及元素與集合的“屬于”關系；掌握常用數集的記法；學會使用多種表達方式來表示集合的內容，包括自然語言、圖形語言和集合語言（列舉法或描述法），以便更好地解決實際問題.

（2）體會和學會運用分類與整合的數學思想方法；加強數學抽象素養(yǎng).

（3）通過自主閱讀學習、進行合作討論，在數學活動中感受探索與創(chuàng)造，體驗學習的快樂.

1.6? 教學重點、難點

教學重點：集合的基本概念與表示方法.

教學難點：運用列舉法與描述法正確表示一些基本的集合；在集合概念的形成探究過程中滲透數學抽象素養(yǎng).

1.7? 教學過程設計

本節(jié)課以“情境導入，引出課題—抽象概括，符號表達—形成理論，拓展應用—歸納小結，形成體系—布置作業(yè)，課后提升”為主線讓學生體驗命題的完整抽象化過程，獲取基本活動經驗.

1.7.1? 情境導入，引出課題

探究一：集合、元素的定義

利用多媒體展示圖片，如圖1所示.

圖1? 情境引入圖片

教師：上面這些圖畫都給我們什么印象？

學生：許多人或物聚在一起，給我們以集體的印象.

教師：日常生活中，很多的事物給我們產生集體的印象，例如：為人民服務的消防隊員；班級；戰(zhàn)機空中疊羅漢；猴群；魚群……這些都是集合.

【設計意圖】以生活中的常見事例為課堂教學情境，讓同學們對集合、元素的概念有一定的感性認識.指引他們用數學的眼睛去發(fā)現并認識這個世界，進而能夠在現實生活中更好地發(fā)現所學的數學問題.通過這樣的數學教學，逐步培養(yǎng)數學抽象素養(yǎng).

問題1? 小學和初中階段，我們有接觸過與“集合”有關的內容嗎？與同伴進行交流.

【設計意圖】在數學抽象的初始階段，實現第一個步驟：辨別.從學生的認知基本功開始，在初中階段，已經學到了幾個常用的集合，然后用實例來引出問題.

教師：那么，集合的概念具體是什么呢？讓我們看看以下幾個例子：

（1）1～10之間的所有偶數；

（2）立德中學今年入學的全體高一學生；

（3）所有的正方形；

（4）到直線l的距離等于定長d的所有點；

（5）方程x2-3x+2=0的所有實數根；

（6）地球上的四大洋.

師生互動：教師要給每一位同學充分的時間去思考，用他們自己的方式描述對“集合”的認識，然后根據學生們的發(fā)言，歸納出他們對集合的描述性定義.據此基礎，教師再讓學生閱讀并理解教材中集合的定義：一般地，我們把研究的對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫做集合.

【設計意圖】在數學抽象的初始階段，實現第二個步驟：分化.根據特定的實例，感受到集合和元素的特征，使學生對抽象的概念有更形象、更具體的理解.同時，在教師的指導下，學生相互交流分析，對比各個實例的共性特征，讓學生感受到集合概念生成的過程，培養(yǎng)學生的數學抽象素養(yǎng).

探究二：集合元素的性質——確定性、互異性和無序性

問題2? 下列說法中能夠組成集合的是：

（1）比較瘦的人；

（2）我們班里所有的學生.

分析：比較瘦的人這一定義不明確，很難判斷某個人是否滿足瘦這樣子的說法.例如，某個人體重70 kg，如果作為女性就比較胖了，但是作為個子比較高的男性就不算胖，這樣的說法表示的對象就無法組成一個集合.

教師：因此，在研究集合時，一個元素要么是集合的元素，要么不是.這個集合里面的元素必須是確定的，這就是集合中元素的第一個性質：確定性.

分析：我們班里的學生可以組成一個集合.我們班每一個學生都有自己的特點，都是互不相同的.

教師：這就是集合中元素的第二個性質：互異性.

教師：描述我們班的所有學生組成的集合時，先說哪一位同學，對我們最后的集合有影響嗎？

學生：沒有，即使順序不一樣，描述的也都是同一個集合.

教師：這就是集合中元素的第三個性質：無序性.如果組成兩個集合的元素相同，則可說這兩個集合相等.

【設計意圖】在數學抽象的初始階段，實現第三個步驟：類化.要求學生用自然語言來描述這些元素的概念和特點.

1.7.2? 抽象概括，符號表達

在高中數學里，我們要用定理、定義、公式來表達自己的思想，而數學的思維方式和相關的概念是不可或缺的.教師要通過對數學概念的原型、抽象過程和應用過程的分析，使學生能夠更好地理解.最后，通過對符號階段的總結來確定概念體系并加以運用.［4］

探究三：元素與集合的關系

教師：引出元素與集合的從屬關系：

我們通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小寫拉丁字母表示集合中的元素.

如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，如果a不是集合A的元素，就說a不屬于（not belong to）集合A.

練習1? 用符號“∈”或“”填空：

0? N;-3? N;0.5? Z;2? Z.

師生互動：練習1部分，先讓學生獨立解答，再請其他學生評價，最后教師評析.

【設計意圖】在數學抽象的初始階段，實現第四個步驟：抽象.在引導學生類化出集合與元素的概念后，可以自然地揭示出元素與集合的關系的表示方法，并出示常用數集及其記法.

問題3? 除了一些特殊集合外，其他集合應該怎樣用符號表示比較方便呢？

師生互動：學生思考討論后，教師給出列舉法的定義.列舉法：把集合的元素一一列舉出來，然后用“{}”括起來.“地球上的四大洋”組成的集合表示為{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；“方程x2-3x＋2=0的所有實數根”組成的集合表示為{1，2}.

問題4? （1）你能用自然語言描述集合｛0，3，6，9｝嗎？

（2）你能用列舉法表示不等式x-7＜3的解集嗎？

【設計意圖】在數學抽象的符號階段，實現第五個步驟：概括.通過問題引導學生從符號語言過渡到自然語言.通過思考讓學生認識到：一些集合用列舉的方式來表達是非常不簡便的，從而引發(fā)了認知沖突，引出描述法.

教師：不等式x-7<3的解集是x<10，因為滿足x<10的實數有無數個，所有的解無法用列舉法表示.但我們能利用解集中元素的共同特征，即x是實數，且x<10，把解集表示為｛x∈R|x<10｝.

上述的表示方法我們可以歸納為集合的第二種表示方法：描述法.把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x組成的集合表示為｛x∈A|P（x）｝.

【設計意圖】在數學抽象的符號階段，實現第六個步驟：形式（符號表達）.讓學生更好地理解自然語言和符號語言的轉換，并且體驗到如何用描述法來表達.描述法表達集合的關鍵在于能夠精確地反映數學對象的共性.

1.7.3? 形成理論，拓展應用

嚴謹的分析和合理的抽象可以使復雜的問題簡單化，這是培養(yǎng)學生的數學抽象能力的一個重要手段.在教科書中，給出了集合的概念和表示方法，就是要在數學抽象的普適階段實現第七個步驟：系統(tǒng)（形成理論）.經由上述的簡約階段、符號階段的逐步抽象化，進而加深對概念的認識，形成一個完整的體系.

問題5? 對比自然語言、列舉法和描述法在表示集合時所具有的特征和適用的問題，并舉例說明.

教師：為了鞏固所學知識，現在我們小試牛刀一下.

練習2? 用適當的方法表示下列集合：

（1）由方程x3-9=0的所有實數根組成的集合；

（2）一次函數y=x+3與y=-2x+6圖象的交點；

（3）不等式4x-5＜3的解集.

【設計意圖】在數學抽象的普適階段，在數學抽象中實現第八個步驟：運用（理論實踐）.數學抽象能力的高低決定著能否順利建立數學模型.［5］引導學生總結出各種表示方法的特征，并指出它們各自在表達研究對象方面的優(yōu)勢，注意三種語言之間的相互轉化.讓學生會根據問題的特性，選取合適的表達方式來表達集合.

1.7.4? 歸納小結，形成體系

教師：學習到這里，本節(jié)課就接近尾聲了，哪位同學來分享一下你的收獲？

學生：明確了集合和元素的含義；學會了常用數集及記法；掌握了集合的表示方法.

教師：那老師補充一下，本節(jié)課我們還體會和運用了分類與整合的數學思想方法；提高了數學抽象素養(yǎng).希望同學們在以后的學習中加以運用.

【設計意圖】通過讓學生自主總結，幫助學生“形成數學方法與思想，認識數學結構與體系”，從而提高數學抽象素養(yǎng).

2? 教學反思

通過一系列探究性的教學環(huán)節(jié)設計，由具體化到抽象化，由特殊到一般，突出重點，突破難點，在課堂練習中及時反饋，并對其進行正確評價等都對培養(yǎng)學生數學抽象素養(yǎng)和創(chuàng)新意識都起到了非常重要的作用.這節(jié)課的數學抽象活動體現了類比、分類討論、轉化、數形結合等數學思想方法.通過對問題情境的觀察、歸納和類比，可以在一定程度上積累學生的思維活動經驗，從而提高學生的數學抽象能力.通過對“屬于關系”的認識，使學生能夠從類比和運算中體會到形式的符號化表達.他們在完成這節(jié)課程學習后，學會歸納數學對象的共性，并用集合語言加以表示，從而強化了數學的抽象過程.同時，集合列舉法和描述法等表示方法，也為以后的韋恩圖的學習奠定了基礎，使其在集合的表示方法層次上逐漸形成一個體系.

參考文獻

［1］ 張金良.解密數學抽象 探索教學策略［J］.數學通報，2019，58（8）：23-26+66.

［2］ 吳增生.數學抽象的認知與腦機制［J］.數學教育學報，2018，27（4）：68-75.

［3］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 鄧翰香，吳立寶，沈婕.指向數學抽象素養(yǎng)的教材分析框架與案例剖析——以人教A版“函數單調性”為例［J］.數學通報，2019，58（10）：33-38.

［5］ 劉乃志.加強三個“過程”培養(yǎng)學生抽象能力［J］.基礎教育課程，2021（2）：37-45.