巧視角切入，妙思維拓展

文芳

摘? 要：圓與圓的位置關系問題綜合考查了點、直線、圓等相關元素的聯系與應用，是高考命題的一大熱點，創新點多，注重數學知識、數學思想和數學能力.結合一道兩圓綜合應用的高考真題，多思維視角切入，總結規律，變式拓展，展示數學學科價值，合理調控綜合程度，可以很好地引領與指導數學教學與復習備考．

關鍵詞：高考真題；圓；直線；多思維視角

1? 真題呈現

寫出與圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16都相切的一條直線的方程：??? .

2? 真題剖析

此題以兩圓的標準方程為問題背景，求解兩圓的公切線.考生根據已有的信息進行分析、猜想、探究和推理等，從而得出一個滿足條件的結論.

解決問題時要先判斷兩圓之間的位置關系，利用兩圓的不同位置關系來確定公切線的情況：兩圓內含沒有公切線，兩圓內切只有一條外公切線，兩圓相交有兩條外公切線，兩圓外切有一條內公切線和兩條外公切線，兩圓相離有兩條內公切線和兩條外公切線等.

本題中，在確定兩圓的位置關系的前提下，即兩圓外切，只要選填一條內公切線和兩條外公切線中的一條公切線方程即可求解，答案不唯一，解題方法多樣.

3? 真題破解

解析1：依題知，圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的圓心與半徑分別為O（0，0），C2（3，4），r1=1，r2=4.

可得|OC2|=5=r1+r2，則知兩圓外切，可得兩圓有三條公切線.

（1）當公切線的斜率不存在時，此時x=－1；

（2）當公切線的斜率存在時，設公切線的方程為y=kx+b，即kx－y+b=0.

則有｜b｜k2+1=1，

｜3k-4+b｜k2+1=4，

解得k=-34，

b=54

或k=724，

b=-2524，

則有y=－34x+54或y=724x－2524，故公切線的方程為3x+4y－5=0或7x－24y－25=0.

解后反思：根據兩圓的圓心坐標與半徑的確定，結合兩圓的圓心距與半徑之間的關系判斷兩圓的位置關系，即兩圓外切，通過判斷公切線的斜率是否存在進行分類討論：斜率不存在時可以直觀判斷；斜率存在時可設出公切線方程，利用兩圓心到該公切線的距離分別等于對應的半徑聯立方程組來求解，從而得以確定公切線方程.利用圓心到切線的距離等于半徑這一幾何性質，是求解圓的切線的常用技巧方法.

解析2：依題知，圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的圓心與半徑分別為O（0，0），C2（3，4），r1=1，r2=4.

可得|OC2|=5=r1+r2，則知兩圓外切，可得兩圓有三條公切線.

結合圖形，顯然，一條公切線x=－1.

而直線OC2的方程為4x－3y=0，與x2+y2=1聯立，可得切點A35，45，又過點A的公切線的斜率為－34，則對應的公切線方程為y－45=－34x－35，即3x+4y－5=0.

而直線OC2與直線x=－1的交點為B－1，－43，設過點B的公切線方程為y+43=k（x+1），則有k-43k2+1=1，解得k=724，從而該公切線的方程為y+43=724（x+1），即7x－24y－25=0.

解后反思：根據判斷兩圓的位置關系——兩圓外切，由此確定它們有三條公切線，通過數形結合直觀確定其中一條公切線后，再逐一確定公切線所過的點（或切點）以及對應的斜率，進而得以確定另外兩條公切線.設出直線的點斜式方程，分別確定直線所經過的點與直線的斜率，是求解直線方程最常用的方法.

2024年第3期復習考試

復習考試2024年第3期

4? 變式拓展

探究1? 改變試題的設問方式，由高考真題中的“結論開放性”形式轉化為一般形式問題，寫出所有的公切線方程，得到以下對應的變式問題.這樣就要求考生考慮全面，比原高考真題難度有所提升.

變式1? 寫出與圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16都相切的所有直線的方程：? .

答案：x=－1，3x+4y－5=0或7x－24y－25=0.（三條直線缺一不可）

探究2? 改變兩圓的標準方程，由此來確定不同的兩圓位置關系，進而得以確定對應的公切線方程，得到對應的變式問題.

變式2? 寫出與圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=36都相切的一條直線的方程：? .

解析：依題知，圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=36的圓心與半徑分別為O（0，0），C2（3，4），r1=1，r2=6，

可得|OC2|=5=r2－r1，則知兩圓內切，可得兩圓有一條外公切線.

而由兩圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=36的方程相減，可得6x+8y+10=0，即3x+4y+5=0，為兩圓的外公切線方程.

探究3? 保留兩圓的標準方程，改變設問形式，轉化為求解到兩圓的切線長相等的點的坐標問題，從而得變式.

變式3? 寫出滿足到圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的切線長都相等的一個點的坐標：??? .

解析：依題知，圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的圓心與半徑分別為O（0，0），C2（3，4），r1=1，r2=4，

可得|OC2|=5=r1+r2，則知兩圓外切.

而由兩圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的方程相減，可得6x+8y－10=0，即3x+4y－5=0，其為兩圓的內公切線方程.

那么內公切線方程3x+4y－5=0上的點到兩圓的切線長都相等.

故點可為（－5，5）.（答案不唯一，填滿足方程3x+4y－5=0的一個點的坐標即可）

5? 教學啟示

開放性結論的“舉例問題”經常以填空題的形式出現，題目新穎創新，類型變化多端，試題難度中等，技巧策略多變.此類開放結論的“舉例問題”，是在確定題目背景與條件的基礎上，舉例寫出一個符合題意的答案（結論往往不唯一）即可，具有非常高的靈活性與開放性.學生在解決問題時，各顯神通，從不同視角切入，抓住問題的關鍵，合理數學構建，全面提升能力，綜合數學基礎知識、數學思想方法和數學能力等層面加以交匯與應用，給不同層次、水平的考生提供了更加充分發揮自己數學能力水平的空間，很好地提升思維的靈活性與開放性，增強學生創新意識與創新精神．