指向邏輯推理素養的“直線與平面垂直的判定”教學設計

王文超

摘? 要：以培養學生邏輯推理素養為導向，采用“情境—問題—探究—猜想—證明—定理—應用”的教學流程，利用問題串驅動教學，借助數學軟件動態演示輔助教學，以跨學科理念創新“折紙實驗”，融入我國航天成就，對“直線與平面垂直的判定”做了教學設計，以將邏輯推理素養的培養落到實處.

關鍵詞：邏輯推理素養；直線與平面垂直；教學設計

邏輯推理能力是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的能力.［1］與邏輯推理能力不同，邏輯推理素養是表現在人身上的東西，不僅表明這個人具有邏輯推理能力，還表明這個人具有較好的思維品質.培養邏輯推理素養的關鍵在于培養學生的理性思維，幫助學生建立數學思維模式，學會用數學的思維思考問題.邏輯推理素養的培養需要時間，是“涵養”的過程，這就要求教師利用好每堂課，滲透邏輯推理的數學思想，幫助學生積累邏輯推理的數學基本活動經驗，發展學生邏輯推理的核心素養.本文從培養學生邏輯推理素養的視角對“直線與平面垂直的判定”進行教學設計，以期為一線教學提供參考.

1? 教材分析

本節課選自人教A版《普通高中教科書數學必修第二冊》第八章第6節《空間直線、平面的垂直》，在銜接線面平行的判定、線線垂直的判定和線面垂直的定義等內容的基礎上，進一步研究直線與平面垂直的判定定理，為后續學習線面垂直的性質定理做了鋪墊.本節內容蘊含了類比推理、歸納推理和演繹推理，是培養學生邏輯推理素養的重要載體.

2? 學情分析

此階段的學生已經掌握了線面平行的判定定理、線面垂直的定義，經歷了線面平行的判定定理的探究過程，積累了探究線面平行判定定理的數學活動經驗，能夠識別類比推理、歸納推理和演繹推理.但由于學生直觀想象和邏輯推理素養較弱，因此運用合情推理提出線面垂直的判定的猜想及用數學方法證明線面垂直的判定的猜想存在一定困難.

3? 教學目標

在火箭“頂天立地不用扶”的現實情境中抽象出線面垂直的幾何模型，發現并提出問題.通過動態演示和折紙實驗等環節運用合情推理提出猜想，選擇合適的論證方法證明猜想，進一步生成線面垂直的判定定理，并用數學語言予以表達，能簡單地應用定理.

在線面垂直的判定定理的探究過程中，積累“先猜后證”的數學活動經驗，知道歸納推理、類比推理是或然推理，演繹推理是必然推理，理解歸納推理、類比推理和演繹推理的基本形式，能夠通過舉反例說明數學命題不成立，培養邏輯推理等數學核心素養.

神舟十七號載人飛船中的數學、物理學中平面鏡成像的特點等融入課堂教學，激發愛國熱情，學生能合理地運用數學語言和思維進行跨學科的表達交流.

4? 教學重難點

教學重點：理解并會用數學語言表達線面垂直的判定定理，能簡單地應用定理.

教學難點：提出并證明線面垂直的判定的猜想.

5? 教學過程總體分析

本節課教學過程的總體分析如圖1所示.圖左側部分是本節課教學設計的主要環節，中間部分是教學內容，右側部分是通過左側教學設計作用在線面垂直判定教學內容上，最終達到的邏輯推理素養在線面垂直判定這一知識上的素養目標，闡明了本節課教學設計、“直線與平面垂直的判定”的教學內容和邏輯推理素養目標間的內在關聯.

圖1

6? 教學過程

6.1? 創設情境，提出問題

神舟十七號載人飛船發射前夕，發射塔架和扶桿逐漸打開，神州十七號載人飛船與長征二號F遙十七運載火箭組合體仍然可以筆直地豎立在活動發射平臺上.

問題1? 船箭組合體“頂天立地不用扶”的前提條件之一是保證船箭組合體與發射平臺所在平面垂直.如何檢驗船箭組合體與發射平臺的垂直關系呢？

教師引導學生數學抽象，得到線面垂直的幾何模型.

問題2? 如何判定直線與平面垂直？

【設計意圖】邏輯推理源于問題，問題源于情境.以神舟十七號載人飛船成功發射創設情境，提出核心問題，為學生創造邏輯推理起點.

預設回答：利用剛學過的線面垂直的定義判定.

預設追問1? 用直線與平面垂直的定義判定是否可行？

教師需指出用定義法判定線面垂直理論上可行，但實際中不可行.

預設追問2? 能否把驗證平面內的任意一條直線換成驗證平面內的幾條直線？類比線面平行的判定能否給你啟發？

【設計意圖】引導學生類比線面平行的判定，將驗證平面內“無限”條直線轉化成驗證平面內“有限”條直線，將線面垂直問題轉化成線線垂直問題，學生體會類比和轉化的數學思想，理解類比推理基本形式，提高學生數學思考水平.［2］

6.2? 動態演示，直觀感知

探究1? 在GeoGebra環境下使用師生熟悉的四棱柱探究線面垂直判定定理，以問題串驅動探究活動.

教師引導學生類比線面平行的判定提出問題3.

問題3? 當直線垂直于平面內一條直線時，能判定該直線與平面垂直嗎？

教師引導學生通過舉反例給予否定答案，并針對該問題進行動態演示，如圖2.

2024年第3期教學研究

教學研究2024年第3期

【設計意圖】學生體會類比推理是或然推理，推理結果不一定正確.

教師引導學生探究直線垂直于平面內兩條直線的情況，并提出問題4和5.

問題4? 當直線垂直于平面內兩條平行直線時，能判定該直線與平面垂直嗎？

問題5? 當直線垂直于平面內兩條相交直線時，能判定該直線與平面垂直嗎？

圖2

圖3

對問題4，學生同樣地通過舉反例給出否定答案，教師針對該問題進行動態演示，如圖3；對問題5，學生舉不出反例，基本認為：當直線垂直于平面內兩條相交直線時，能判定該直線與平面垂直，但是對結論將信將疑，因此需要設置動手操作環節進行確認自己的結論.

【設計意圖】將抽象問題具象化，借助四棱柱并利用多媒體進行探究，降低學生認知負荷和空間想象的壓力；引導學生通過舉反例排除不合理假設，鍛煉學生批判性思維，培養學生邏輯推理素養.

6.3? 操作確認，引發猜想

探究2? 引導學生動手操作，將教材中折紙實驗中的桌面改為平面鏡，如圖4所示，并向學生明確實驗目標，介紹實驗用具及實驗步驟.

實驗目標：確認通過直觀感知得到的結論.

實驗用具：三角形紙板、平面鏡、黑筆.

實驗步驟：

（1）做三角形紙板底邊BC的高AD，并沿高AD翻折三角形紙板.

（2）將翻折后的三角形紙板（底邊BD，BC與鏡面接觸）豎直放置在平面鏡上.

（3）觀察三角形紙板的高AD與平面鏡中像的高AD是否在同一直線上，若在同一直線上，則三角形紙板的高AD垂直于鏡面，反之，不垂直于鏡面.

圖4

教師引導學生利用平面鏡成像的特點，有邏輯地表達觀察到的現象與三角形紙板的高AD垂直于鏡面的關聯，進而確認通過直觀感知得到的結論是正確的.接著，教師結合生活中具體實例，引導學生通過歸納推理，提出線面垂直判定定理的猜想：當直線垂直于平面內兩條相交直線時，則該直線與此平面垂直.

【設計意圖】本實驗創新使用平面鏡，學生通過動手操作獲得感性認識，合理地運用數學語言和思維進行跨學科的表達與交流，理解歸納推理的基本形式，培養學生邏輯推理素養.

6.4? 合作探究，證明猜想

教師明確已知條件和要證的問題，引導學生利用反證法證明猜想.學生合作探究，上臺展示證明過程.

【設計意圖】此環節重在引導學生經歷利用反證法證明命題的一般過程，感受數學演繹證明的嚴謹性，進一步理解演繹推理的基本形式，培養學生用嚴謹的數學語言表達論證過程，發展邏輯推理核心素養.

為了深入對學生邏輯推理素養的培養，教師可以引領學生領略歷史上不同數學家的經典證明方法，如美國數學家塔潘和法國數學家勒讓德的證明方法等.該部分內容亦可制作成視頻在課后分享給學生.

【設計意圖】學生從HPM的視角體會“一題多證”與“多題一證”的無限魅力，感受數學家演繹證明過程中的嚴密邏輯和理性精神.

6.5? 印證猜想，生成定理

在證明猜想成立后，教師組織學生討論交流，引導學生自主地生成定理.

問題6? 如圖5，你能借助圖形語言嘗試用文字語言和符號語言表達線面垂直判定定理嗎？

學生：文字語言為如果直線與平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線與這個平面垂直.符號語言為當滿足mα，nα，l⊥m，l⊥n，m∩n=A時，可以推出l⊥α.

圖5

【設計意圖】學生學會用三種數學語言表達定理，將圖形語言與文字、符號語言綜合運用，體會數學語言的嚴謹性，培養學生邏輯推理素養.

6.6? 應用新知，解決問題

問題1? 如圖6，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中點.求證：AC⊥平面VKB.

問題2? 如圖7，在（1）的條件下，若E，F分別是AB，BC的中點，有人說“∵VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，這樣的說法正確嗎？

問題3? 如圖7，在（2）的條件下，試判斷EF與平面VKB的位置關系，并說明理由.

問題4? 結合問題1-問題3，嘗試總結判定直線與平面垂直的方法.

圖6

圖7

【設計意圖】問題1考查學生線面垂直判定定理的簡單應用；問題2是第一題的變式，通過改變條件，考查學生對利用線面垂直判定定理判定線面垂直時須滿足條件的掌握；問題3為學生提供判定線面垂直的“間接法”；問題4引導學生利用如圖8所示的知識結構圖歸納判定線面垂直的方法，有效培養學生綜合應用知識解決問題的能力.該環節采用變式訓練，從各個角度加深學生對新知識的理解，培養學生思維品質和邏輯推理素養.

圖8

在變式訓練后，再次回到課堂伊始的現實情境，引導學生運用本節課所學內容解決問題1，體現數學源于現實、高于現實、用于現實.

6.7? 總結歸納，凝練素養

教師引導學生從數學知識、數學思想方法和核心素養等不同層面對本節課進行總結，以知識結構圖的形式明確知識間的邏輯關系，關注學生邏輯推理素養的提升.

6.8? 布置作業，再探新知

基礎題：如果一條直線與平面內無數條直線都垂直，那么該直線與此平面是否一定垂直？

提升題：除了利用定義法、直接法和間接法判定線面垂直外，還有哪些方法可以判定線面垂直？

思考題：發射塔架和發射平臺也垂直，火箭和塔架具有怎樣的位置關系？

【設計意圖】針對學生個體的差異，采用分層作業，進一步完善知識結構.思考題將課堂伊始提出的問題進行變式，提出“新”問題，引發“新”思考，為后續學習線面垂直的性質埋下了伏筆.

7? 思考

7.1? 重視合情推理，鼓勵學生提出猜想

合情推理指從特殊到一般的推理，包括類比推理和歸納推理.提出猜想是發現知識的重要環節，而猜想的提出依賴于合情推理，因此合情推理對于發現知識非常重要.比起演繹推理，合情推理更能培養學生創新能力，是培養學生創造力的重要載體.但是一線教學中往往更關注對學生演繹推理能力的培養，導致學生合情推理能力較弱，創新能力不足.因此，教師要重視合情推理，鼓勵學生大膽猜想，引導學生從發現與創造的視角看待數學知識，做知識的發現者和創造者［3］，敢于通過類比、歸納等數學方法提出猜想.本節課中，教師引導學生類比線面平行的判定，通過直觀感知和操作確認等環節鼓勵學生大膽提出猜想，培養學生邏輯推理素養和創新能力.

7.2? 訓練演繹推理，引導學生論證猜想

演繹推理是從一般到特殊的推理，主要用來驗證猜想.高中階段的數學證明題一般都是利用演繹推理完成的，教師應以數學證明題為主抓手，訓練學生演繹推理.在設計證明題時，教師應采用變式訓練，充分鍛煉學生思維，提高學生思考能力.需要注意的是，通過證明題培養學生邏輯推理素養，應關注學生對證明思路的把握，做到就題論道，而非就題論題，不應只關注學生解題的數量.教學中，在學生通過合情推理提出數學猜想后，教師也應該鼓勵學生通過演繹推理論證猜想，這個過程中學生選擇合適的論證方法對猜想予以證明，并嘗試用準確的數學語言表述論證過程，無不彰顯著數學理性思維.本節課中，學生在提出線面垂直的猜想后，鼓勵學生利用反證法等多種方法論證猜想，培養學生形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神.

7.3? 梳理知識脈絡，促進學生構建體系

數學知識具有完整的知識結構，相關概念、定理之間存在緊密聯系，比如概念間存在強抽象與弱抽象的關系，定理間存在上位、下位和并列關系等.而現實教學中，存在著重數學知識點傳授，輕知識網絡構建的問題［4］，往往忽視學生對數學整體和數學知識間關系的把握，這對培養學生邏輯推理素養不利，也會導致學生在提取和綜合應用知識時存在困難，因此應引導學生梳理知識脈絡，構建知識結構體系，進而感悟數學知識間的內在邏輯，樹立正確的數學觀.本節課中，學生通過知識結構圖梳理判定線面垂直的方法，明確新知與舊知間的邏輯關系，發展學生邏輯推理素養.

參考文獻

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 顧鋒，寧連華.于無疑處教有疑——高中數學課堂“教思考”質量提升策略探索［J］.數學通報，2022，61（7）：35-38.

［3］ 李亞瓊，寧連華.數學知識觀視角下學習進階的再審視［J］.課程·教材·教法，2023，43（7）：111-117.

［4］ 涂榮豹，王光明，寧連華.新編數學教學論（第二版）［M］.上海：華東師范大學出版社，2023.