運用情境教學法促進高中生數學思維發展

劉京成

情境教學法通過將抽象的知識融入具體的情境中，幫助學生更好地理解和應用這些知識。本文以湘教版數學高一必修第二冊“解三角形”中“余弦定理”的教學為例，探討如何運用情境教學法促進高中生數學思維的發展。

【教材分析】

“解三角形”是在初中平面幾何和三角函數知識的基礎上，進一步深化對三角形性質和關系的研究的內容。這一部分內容對于培養學生的數學思維，提高學生的幾何直觀和邏輯推理能力具有重要意義。在本部分內容中，學生需要學習余弦定理的概念、掌握余弦定理的兩種表示形式以及證明余弦定理的向量方法，學會運用余弦定理來解決基本的解三角形問題。

【學情分析】

高中生在“解三角形”這一部分內容的學習上存在一定的認知難度。“解三角形”涉及的知識點較為抽象，學生在理解及應用上可能存在困難。另外，雖然學生在學習解三角形之前已經具備了一定的數學基礎，如三角函數、平面幾何等，然而如何將這些知識運用到解三角形的問題中，對學生來說是一個新的挑戰。因此，為了更好地促進學生的數學思維發展，教師可以通過創設與解三角形相關的實際情境，引導學生觀察、思考、實踐和總結，促進學生數學思維的鍛煉和提升。

【核心素養目標】

1.掌握解三角形的基本原理和方法。

2.能夠運用余弦定理解決與三角形相關的問題。

3.培養學生主動探究和解決問題的能力。

4.訓練學生的數學思維和邏輯推理能力，提高學生的自主學習能力。

5.在解決問題的過程中體驗數學的實用價值，增強學生的數學應用意識。

6.培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養。

【教學重難點】

教學重點：

1.掌握解三角形的基本原理和方法。

2.運用余弦定理解決與三角形相關的問題。

教學難點：

1.如何運用情境教學法引導學生深入理解三角形的基本原理。

2.如何培養學生的數學思維和解決問題的能力，促進學生自主學習和探究能力的提升。

想要解決這些重點和難點，教師需要運用多種教學方法，如案例分析、小組討論、實驗探究等。同時，注重學生的自主學習和探究能力的培養，鼓勵學生主動參與課堂活動，積極思考和解決問題。

【教學過程】

◆引入環節：創設情境，引入課題

教師：同學們，你們好！今天我想和大家探討一個有趣的話題——解三角形。但在此之前，我想問大家一個問題：你們覺得，在日常生活中，哪些地方可能會涉及三角形的知識呢？

學生：橋梁設計、建筑物的穩定性。

學生：測量角度、距離。

學生：衛星軌道計算。

教師：非常好，看來大家對三角形的應用有一定的了解。那么，你們想過沒有，為什么這些實際問題的解決會涉及三角形？三角形又為何如此神奇？

學生：三角形具有穩定性。

教師：是的，三角形是一個非常特殊的圖形，它的一些性質使我們能夠利用它來解決很多實際問題。如圖1所示，A，B分別是兩個山峰的頂點，在山腳下任意選擇一點C，然后使用測量儀得出AC，BC以及∠ACB的大小。你能根據這三個量求出AB的距離嗎？

◆主體環節：探究新知，解決問題

教師：首先，我們來了解一下余弦定理的基本概念。三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即a2=b2+c2-2bcosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC。

學生：這個公式看起來好復雜啊！

教師：確實，初看起來這個公式可能有些復雜，但我們可以一步步來理解它。首先，我們知道勾股定理，也就是直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊平方的和。余弦定理實際上是勾股定理的延伸，它描述了任意三角形邊長和角度之間的關系。

學生：哦，原來余弦定理和勾股定理是有關聯的！

教師：是的，通過勾股定理，我們可以推導出余弦定理。想象一下，如果我們有一個直角三角形，那么我們可以將其視為一個特殊的銳角三角形，其中一個角為90度。因此，我們可以利用勾股定理來計算其中一條直角邊的平方，然后再利用余弦定理來計算其他邊的長度。

學生：我明白了，通過勾股定理，我們可以推導出余弦定理，這樣我們就可以求解任意三角形的邊長了！

教師：同學們，接下來我們通過勾股定理來驗證一下。仍以上面的題為例。

如圖2所示：

當A為銳角時，在△ABC中，

教師：已知AB=c，AC=b和∠A，作CD⊥AB，則CD=bsinA，BD=c-bcosA。

∴a2=CD2+BD2

=（bsinA）2+（c-bcosA）2

=b2sin2A+c2+b2cos2A-2bccosA

=b2+c2-2bccosA

當A為直角時：由勾股定理a2=b2+c2，又cosA=0

∴a2=b2+c2-2bccosA成立

當A為鈍角時，同理可證。

教師：同學們，對于這道題，你們有什么想法？

學生：余弦定理是一個非常重要的數學定理，它可以幫助我們解決很多與三角形相關的問題。

教師：沒錯！余弦定理是一個非常有用的工具，它可以用來解決三角形中的很多問題。除了基本的余弦定理外，我們還可以對余弦定理進行一些變形，以便更好地解決實際問題。接下來，我將介紹一種對余弦定理的變形，它可以幫助我們解決一類特定的問題。

學生：變形？什么意思呢？

教師：簡單來說，就是對余弦定理的公式進行一些調整或轉化，以便更好地適應解決問題的需求。通過對余弦定理進行變形，我們可以得到一些新的公式或表達式，這些公式或表達式在解決某些特定問題時更加方便和高效。

學生：原來是這樣啊！

教師：根據我們剛才得到的公式，可以得到下面這三個公式：

教師：同學們，我們還可以利用余弦定理的變形判定角，在△ABC中，c2＝a2＋b2？圳∠C為直角；c2>a2＋b2？圳∠C為鈍角；c2

教師：利用上述公式就可由三角形的三條邊計算出三角形的三個內角。同學們，讓我們看看下面這道題。

已知△ABC，根據下列條件解三角形：

◆鞏固環節：鞏固練習，拓展提高

教師：通過前面的學習，我們深入探討了余弦定理，并了解了一些變形的形式。接下來，我們將通過一些練習題來鞏固和加深對余弦定理的理解。

首先，我們來看一些題目，如圖3所示，海上A，B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，A，C兩島相距20海里，則B島與C島間的距離是________．

教師：同學們，這道題，我們要如何解呢？

學生：已知在△ABC中，AB=10，AC=20，∠BAC=60°，我們已經知道兩邊和兩邊的夾角，利用余弦定理求解就可以。

教師：非常好，你能說說具體如何解嗎？

學生：好的，由已知的條件設公式

教師：非常棒。

【教學總結】

在本次教學中，我們深入探討了余弦定理及其在解決三角形問題中的應用。通過情境教學法的運用，我引導學生積極參與，激發了學生對數學的學習興趣和熱情。情境教學法的運用使抽象的數學概念變得生動有趣。通過引入實際情境和問題，學生能夠更好地理解余弦定理的意義和應用，加深對數學知識的認識。另外，情境教學法促進了學生的主動思考和數學思維的發展。在解決實際問題的過程中，學生需要運用所學知識進行推理、分析和創新，這有助于培養學生的數學思維和解決問題的能力。

總的來說，情境教學法在高中數學教學中發揮了積極的作用。它不僅激發了學生的學習興趣和熱情，還促進了學生數學思維的發展。在今后的教學中，我將繼續運用情境教學法，結合其他教學方法和手段，提高教學質量和效果。同時，我也會不斷反思和總結自己的教學，不斷完善和改進教學方法，以更好地滿足學生的學習和發展需要。

（作者單位：甘肅省玉門市第一中學）

編輯：常超波