基于數學文化的高中數學教學案例

王洋洋

一、背景

數學文化涵蓋了數學知識、思想、方法，以及它們在社會歷史進程中的應用和影響，這包含了數學在歷史、科學、藝術和哲學等領域的應用和影響。因此，高中數學教學的重心不再只是解題技巧和公式定理的灌輸，而是要讓學生在掌握數學知識之余，能夠深度理解并體驗到數學的歷史沿革和文化內涵，從而激發他們的創新思維。在這個背景下，這套教學案例設計獨特而新穎。案例不再是一道道簡單的數學題目，而是具有真實性、歷史性和文化性的問題，如金字塔的建造問題、哥德巴赫猜想等，這些都是數學歷史上的重大問題，是數學文化的重要組成部分。

二、教學過程

（一）引入數列概念

在初步接觸數列概念的階段，教師會通過舉例來引入數列的定義和特性。在數學的領域里，數列是一項基本且關鍵的概念，特別是對高中生來說。為了讓學生掌握這一概念，教學過程中教師應結合實際例子幫助學生感受數列的實用性。例如，可以用人口增長、金融投資收益等現實情境來說明數列如何在社會和經濟領域內發揮作用。

數列的定義涵蓋一組按照一定順序排列的數，這些數稱為項，它們按照位置排列形成第一項、第二項等序列。探索數列時，會發現它們可能遵循某種規律，像等差數列中項與項之間的差是恒定的，等比數列中每一項都是其前一項的固定倍數。這些規律反映了數列的結構特點，為深入數學研究提供了線索。

教師：同學們知道數列是什么嗎？

學生1：數列就是按照一定規律排列的一串數字。

教師：非常好，這是數列的基本理解。數列確實是一系列按照特定規律排列的數字。誰能說出一個生活中的例子呢？

學生2：我們考試成績表上的成績由高到低排列，可以看作是一個數列。

教師：很好的例子，每次考試的成績確實可以形成一個數列。大家知道人口增長怎么算嗎？

學生3：人口增長，是不是每年的人口數量會有變化，這個變化可以用數字表示出來。

教師：正是如此。想象一下，如果我們有一個城市從2000年到2020年每年人口的數據，這些數據會形成怎樣的數列呢？

學生4：這應該是一個時間序列的數列，可能是遞增的，因為人口一般會增長。

教師：非常精準，這樣的數列可以幫助我們了解人口增長的趨勢。

教師在這一階段的教學中，應從具體的情境出發，循序漸進地幫助學生建立對數列的直觀理解。然后，通過分類討論和案例分析介紹數列的不同類型及其性質，如等差和等比數列。在這個過程中，教學重點應放在數列在現實問題解決中的應用上，從而激發學生的學習興趣，并提升他們對數學知識的掌握。

（二）探索數列的性質

在這個階段，教師可以引導學生通過觀察和分析不同的數列來找出數列的性質和規律。探討數列性質時，教師應深入解釋數列的定義、其在多個領域的應用，以及如何計算數列的特定項和總和。在此基礎上，學生要學會使用數列描述和推測現實生活中的規律。同時，教師應鼓勵學生探求那些不遵循普遍規律的數列，并嘗試描述它們的模式。

為了幫助學生更深刻地理解數列的知識，教師需要設計具有挑戰性的實踐問題和活動，通過問題啟發學生的思維，引發學生的深入思考，使其自主地掌握數列的性質。這種做法不僅加深了學生對數學概念的理解，還鼓勵他們在現實場景中應用數學工具。另外，教師應當展示數列知識的歷史進程，介紹數學家如何對數列知識作出貢獻，以激起學生對數學學科的熱愛。采用這種教學案例設計，學生不僅能掌握數列的特性，還能更全面地了解數學知識在實際生活中的運用和數學的文化價值。

教師：我們已經了解了數列的基本概念。接下來將進一步探究數列的性質。首先，大家來看一個簡單的等差數列：2，4，6，8，10……。這個數列有什么特點呢？

學生1：每一項比前一項多2。

教師：非常好，這就是等差數列的一大特性——公差。那么，等比數列的特性是什么？

學生2：等比數列的每一項都是前一項乘以同一個數，這個數我們稱為公比。

教師：很好，現在讓我們更深入一點。大家知道等差數列有通項公式an=a1+（n-1）d。請問，為什么需要通項公式？

學生3：有了通項公式，我們可以直接計算出數列中任意一項的值，而不需要逐步地計算每一項。

教師：正確。那么，我們能不能嘗試推導一下等比數列的通項公式？

學生4：等比數列的每一項都是前一項乘以公比q，所以通項公式應該是an=a1·q（n-1）。

教師：很棒！我們通過觀察數列中項與項之間的關系，得出了通項公式。現在大家來看一個具體的問題。假設有一個等差數列：3，7，11，15……。如果我想知道第100項的值，應該怎么做呢？

學生5：首先，要確定公差d，這里d=7-3=4。然后用公差和通項公式an=a1+（n-1）d，這里a1=3，n=100，所以第100項是a100=3+（100-1）×4。

教師：非常正確。大家現在已經開始理解數列的規律了。那么在等比數列中，如果知道第一項a1是2，公比q是3，能計算出第5項嗎？

學生6：可以用通項公式an=a1·q （n-1 ），將a1=2，q=3和n=5代入，得到第5項是a5=2×3? （5-1? ）=2×34。

教師：這個方法對計算任何一項都是有效的。除了通項公式，數列還有其他性質。比如說等差數列的前n項和Sn=■或者Sn=n·a1+■d，它表示了數列前n項的總和。為什么對等差數列來說，求和會這么簡單？

學生7：我想這是因為等差數列中項與項之間的增量是固定的，所以和可以看作是首項和末項平均值的n倍。

教師：非常好。等比數列的前n項和也有一個公式，對于q≠1的等比數列，和為Sn=■。現在我們有了等差數列和等比數列的通項公式和前n項和公式，可以解決許多與數列相關的問題了。

（三）數列的應用

教師在引導學生學習數列的應用時，教學中需將理論與實際相結合，展示數學在生活中的實用性。設計教學內容時，教師應強調數列應用的廣泛性以及其在解決問題時的實際作用。案例可以從簡單數列開始，如探討等差數列在金融事務中的應用，包括存款計息和分期償還。等比數列則可用于解釋生物群落的增長模式或放射性衰減等現象。這些案例可以讓學生直觀感受到數列在日常生活中的應用，激發他們對數列知識的學習興趣。

教師：同學們，大家已經了解了數列的基本概念和一些基本性質。現在，我們一起看看數列是如何在實際問題中被應用的。首先，回憶一下，數列在我們的日常生活中有哪些應用？

學生1：數列可以用來預測人口增長和股市的走勢。

教師：很好，這些都是數列的典型應用。現在我出一個問題。假設大家要為一家公司設計一個儲蓄計劃，每個月存入固定金額的錢，銀行每年給予固定比例的利息。這個問題我們能用數列來解決嗎？

學生2：可以的。每個月存入的金額構成一個等差數列，每年的利息可能會構成一個等比數列。

教師：非常聰明！你已經開始用數列來思考實際問題了。那我們怎樣具體計算呢？

學生3：我們可以列出一個數列來表示每月存款的總額，然后計算出每年的利息收入，最后把它們加起來。

教師：對，通過構造數列并計算可以得到最終的儲蓄總額。這樣的計算對財務規劃非常有用。

通過這些實際問題，學生不僅加深了對數列的理解，還學會了如何將數列應用于解決現實生活中的問題。同時學生也能認識到數學是美麗的，更是實用的，它無處不在，伴隨我們的每個思考過程。教師通過案例設計培養學生的數學思維，并提高其問題分析與解決技能，同時加深學生對數學文化的理解與尊重。

（四）延伸與拓展

在這個階段，教師可以引導學生探索一些更復雜的數列問題，以提高他們解決問題的能力，并加深他們對數列知識的理解。

教師：同學們，經過前面的學習，大家已經對等差數列和等比數列有了深入的理解。現在，讓我們進一步探索更有趣的數列——斐波那契數列。大家知道斐波那契數列是怎樣的數列嗎？

學生1：斐波那契數列中每個數字都是前兩個數字的和，如1，1，2，3，5，8……

教師：沒錯。斐波那契數列的每項都是前兩項之和，這給了我們一個遞歸的數列定義方式。那么，誰能告訴我，斐波那契數列有什么特殊的性質或者它在自然界中有哪些有趣的應用呢？

學生2：我聽說過斐波那契數列與黃金比例有關，還有，好像在許多植物的葉子排列和花瓣的數量中可以看到斐波那契數列。

教師：非常棒的觀察！斐波那契數列與黃金分割有著密切的聯系，而且確實在自然界中有廣泛的應用。比如，在植物的葉序和菊花的花瓣中都能發現斐波那契數列的規律。現在，讓我們深入探索一下數列在數學中的應用。比如，斐波那契數列的每一項與前面所有項的和存在什么關系呢？

學生3：我不確定，我們需要找出規律。

教師：好的。大家可以這樣做：首先寫下前幾項的和，然后尋找這些和與斐波那契數列中相應項之間的關系。

學生1：我發現了一個規律！斐波那契數列的每一項幾乎都等于前面所有項之和加1。

教師：精彩！你發現了一個很重要的性質。事實上，斐波那契數列中第n項幾乎等于前n-1項和加1。這是斐波那契數列中的一個重要性質。這種性質可以幫助我們快速計算數列的部分和。現在，我們進一步延伸，嘗試解決一個更具挑戰性的問題。如果我們需要找到斐波那契數列中第n項是多少，而且不能一個接一個地去計算，你會怎么做？

學生2：這個問題難多了，我們能直接找到第n項的公式嗎？

教師：這就是我們要探索的問題。實際上，斐波那契數列有一個閉合形式的公式，叫做Binet公式，它可以直接計算出數列的第n項。但是，這個公式涉及平方根和黃金比例，所以計算起來比較復雜。我們不需要深入探討這個公式的所有細節，但是了解它的存在對理解數列的深度非常重要。數列不僅可以被遞歸地定義，有時還可以找到直接計算任意一項的方法。希望大家能繼續探索數列，發現更多的數學之美。

三、教學反思

（一）強化問題情境與生活聯系

教師在教學案例中引入的問題需貼近學生實際，但有時可能缺少足夠的挑戰性和生活實際的緊密結合。這可能限制了學生將數列知識與現實世界聯系起來的能力。因此，教師應設計更復雜、與學生日常經驗直接相關的問題，結合與數學知識相關的數學文化，加深學生對數列在現實中應用的理解。

（二）促進數列深度探究與創新思考

教師引入如斐波那契數列等復雜問題以及相關的數學文化能促進學生思維能力的提升，但在激發學生的創新精神和自主研究興趣方面仍有空間。因此，教師應指導學生以小組合作的方式探討數列在多領域的運用，如自然科學、計算機等，以激發學生跨學科的創新思維。教師通過提出開放性問題，可激勵學生主動提問并尋求答案，培養他們的探究精神和解題創新能力。

（作者單位：北京師范大學〈珠海〉附屬高級中學）

編輯：趙文靜