大學數學課程思政的“道”與“術”

潘璐璐 徐根玖

摘? 要：教書且育人的理念在我國有著深厚的文化基礎，教師依托于課程在落實課程思政的過程中發揮著至關重要的作用。通過探討大學數學課程實施課程思政的立足點和發力點，提出數學課程育人要依托于數學課程自身特點和專業內涵，植根于數學教師的專業知識和專業素養，注重數學史特別是中國數學史的融入，以及數學不同分支知識之間的互通互融，同時也要重視教材建設。

關鍵詞：大學數學；課程思政；數學史；數學思想；數學教材

中圖分類號：G641? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2024）15-0193-04

Abstract：? The concept of teaching and educating has deep cultural deposits in our country. Teachers play a vital role in the process of implementing curriculum ideological and political. By exploring the foothold of the implementation of curriculum ideology and politics in college mathematics curriculum， this paper proposes that mathematics curriculum education should rely on the characteristics and professional connotation of mathematics curriculum， take root in the professional knowledge and professional quality of mathematics teachers， pay attention to the mathematics history， especially the history of Chinese mathematics， focus on the mutual integration of different branches of mathematics knowledge， and also pay attention to the construction of teaching materials.

Keywords： college mathematics; curriculum ideological and political; history of mathematics; mathematical thought; mathematics textbook

為人師者，信守師道，鑄就師德，是中華優秀傳統文化。課堂教學是教師傳道、弘道的主陣地。在課程思政理念被系統提出之前，廣大教師都或多或少、有意無意在課程教學中踐行育人職責，但多呈碎片化形式，缺乏系統性、整體性設計。教育部印發的《高等學校課程思政建設指導綱要》指出，要明確課程思政建設目標要求和內容重點，結合學科專業特點分類推進課程思政建設。這對新時代各門課程的育人工作提出了更具體、更高的要求。

理科課程的內容主要是事物運行的自然規律和發展規律，具有很強的客觀性，價值屬性卻不明顯，這與人文社科類課程有很大不同。因此，相比于人文社科類課程，理科課程踐行課程思政理念存在諸多困難和挑戰。特別是數學課程，其主要關注“對現實世界的數量關系、空間形式和變化規律進行抽象，通過概念和符號進行運算與邏輯推理[1]”，幾乎不涉及意識形態問題。這對數學課程授課教師提出了新的挑戰。近年來針對大學數學課程思政工作，不少教師在總體目標規劃、思政元素挖掘途徑、思政元素融入教學的方法等方面都做了一些有益的探索[2-3]。

筆者認為，要落實數學課程的育人價值，應運用好數學教師自身具有的專業知識和專業素養，更加專注于數學課程的特點和內涵，以避免“表面化”“硬融入”等問題，避免讓學生產生“油溶于水”的感覺，真正讓數學課程思政入理入情入味、入耳入腦入心。以下對大學數學課程落實課程思政的方法和途徑進行逐一探討。

一? 大學數學課程踐行課程思政的立足點與發力點

課程思政是落實立德樹人的戰略舉措，是以課程為載體，將價值觀塑造融入知識傳授和能力培養的全過程，其目標是培養有用之才、創新之才。對于大學數學課程思政之術，筆者認為，結合數學課程的特點，可以從以下四個方面來理解與落實。

（一）? 在課程中融入數學史，再現數學發現過程，促進科學思維形成

數學史是跨越時空的數學智慧，關于數學的故事跨越了幾千年，至今仍有新的篇章在加入。正如數學家陳省身先生所言：“數學是一種‘活的學問，它的內容不斷在變化，在進展。”數學的發展是活生生的，有血有肉的。它不斷為人們提供新概念、新方法，促進著人類思想的解放與不斷前行。

以高等數學（微積分）課程為例，微積分的思想在公元前就已經開始萌芽。古希臘數學家阿基米德使用分割的方法解決計算面積、體積等實際問題。公元一世紀左右成書的《九章算術》中方田和商功二章也記錄了我國古代數學家計算面積和體積的方法。但由于分割方法及分割程度的問題未能解決，面積和體積的計算一直是不夠精確的，數學家們歷經漫長的歲月也沒有取得實質性的進展。直到17世紀，牛頓和萊布尼茲依托于前人的工作分別創立了微分法和積分法，并且發現這兩種方法實際上是對立統一的（具體體現在微積分基本定理中，也稱為牛頓-萊布尼茲公式）。但由于早期的微積分缺乏嚴格的理論基礎，很快就陷入了重重危機，并引發了歷史上第二次數學危機。在隨后的兩個世紀，眾多數學家如柯西、黎曼、劉維爾和魏爾斯特拉斯建立了嚴格的極限、連續、導數的定義，微積分才具有了嚴格性和精確性。然而，隨著微積分在各個領域的深入應用，各種復雜的新的問題接連產生，微積分再次陷入了危機。直到數學家康托爾、沃爾泰拉、貝爾和勒貝格將嚴格性與精確性同集合論與艱深的實數理論結合起來之后，微積分的創建過程才抵達終點[4]。

但大多數高等數學（微積分）課程，一開始先把極限、連續等抽象的概念進行講授，繼而講微分，再講積分。極限定義中的“ε-N”“ε-X”“ε-δ”表述形式不僅讓學生感覺高數抽象難懂，也無法讓學生感受數學知識發展演變的真實歷程，很難感受到數學家們在數學發展歷史長河中炙熱的思考，這使得數學教學從火熱的思考走向了冰冷的美麗，變得越發“形式化”，讓學生對數學的感覺就是從定義到定理再到性質，會計算就可以，不足以提升學生的數學思維和培養創新能力。因此，在高等數學課程教學第一節緒論課中向學生概括性介紹微積分發展歷程，讓學生了解到微積分曲折的發展歷程，感受微積分的發展不是一蹴而就的，激勵學生在課程學習過程中不斷探索，積極思考課程內涵，打好大學數學學習的基礎，是十分必要的。

實際上，同微積分發展歷程一樣，數學歷史中很多學科的建立都不是一帆風順的，大多數成果都是歷經艱難曲折才完成的。如負數和虛數的引入，雖然一開始遇到了極大阻力，但最終為數學提供了更廣泛的工具和觀點，推動了代數、分析等領域的深入發展；又如19世紀非歐幾何的產生引發了數學界的極大震動，但這一挑戰促使數學家重新審視幾何的基礎，并為后來的拓撲學等領域鋪平了道路；20世紀初集合論的引入也曾受到了強烈的爭議，但最終成為現代數學的基礎之一；1931年哥德爾提出的不完備性定理，證明了在任何足夠強大的公理體系中，總存在一些命題是無法被證明真假的，這一發現打破了對數學完備性的幻想，但同時也促使了對形式主義和構造主義等數學哲學觀點的深刻思考，推動了數學基礎的進一步研究。可以看出，正是由于這一次又一次被解決的困難和矛盾，才促使了數學不斷飛躍與深化。縱觀數學發展長河，許多數學家甚至沒有經過系統專業的數學專業訓練，完全是憑借著自己對數學濃厚的興趣與不懈的堅持，在業余時間刻苦鉆研才取得了很多優秀的成果。因此，在數學教學中適當融入數學發展歷程中的故事，再現數學發現過程，可以使學生更好地理解數學的發展脈絡，激發學生對數學學習的興趣，使學生們感受到數學并不是一堆枯燥的公式，而是一個充滿創造性的學科，是學生形成理性的思考能力、進行素質教育的重要途徑。

（二）? 講好中國數學史，弘揚中國數學文化

中國數學史是中國文化史的一部分，也是世界文化史的一部分[5]。雖然西方關于數學史的書籍中較少描述中國數學發展歷史，但這并不能湮滅中國數學取得的輝煌成就。每一位數學教學工作者，都有責任有義務了解并傳播中國數學在世界數學發展過程中的重要貢獻，共同推進我國的數學事業發展。

中國在十進位值制上作出了突出的貢獻[6]。在河南安陽殷墟出土的甲骨文（經碳-14測齡，大約在公元前1 400年前）表明古代中國已經采用了十進制，同樣的符號在周代的青銅器上也有出現。中國在早期的數學研究中不僅使用了十進位制，而且對其進行了深刻的思考和發展。這些概念和方法在后來的數學發展中具有持久的影響，為十進位制在全球的傳播和應用奠定了基礎。《周髀算經》中記載的公元前十世紀左右周公與商高的對話，“勾廣三，股修四，徑隅五”，就已經給出了勾股定理及其證明。西漢時期張蒼編撰的《九章算術》，收集了自公元前1 000年累計下來的官方數學數據，包括了體積、面積、方程式的計算等多種數學問題，并涉及矩陣中的高斯消元法。后世的數學家們，大都是從《九章算術》開始研習數學，很多人曾為它作過注釋，其中劉徽、李淳風等人的注釋和《九章算術》一起流傳至今。《九章算術》對世界數學的發展也作出了卓越的貢獻，不僅在隋唐時期即已傳入朝鮮、日本，還被譯成日、俄、德、法等多國語言，廣泛傳播。劉徽提出的“割圓術”以及祖沖之對圓周率的計算，是我國古代極限思想的杰出代表。我國南北朝時期成書的《孫子算經》中第一次提到了一次方程，并發現了中國定理，這個定理可以說是中國古代數學最富原創性的定理。在宋代，這項研究又推廣至待定線性方程的研究，同時也產生了很多優秀數學家和著作。秦九韶使用楊輝三角形（西方也叫帕斯卡三角形）方法解決了高次方程開方問題。郭守敬推導出現在被稱為牛頓-斯特林公式的三次插值公式。

然而宋代以后中國數學發展逐漸滯后于西方。雖然徐光啟和李善蘭開始了中國數學發展歷史中的西學東漸，但宋代之后的數學家并沒有像漢代宋代那樣取得原創的進展。雖然清代康熙皇帝對數學的發展付出了相當多的努力，中國數學的輝煌歷史仍然沒有得以延續。

經歷了一段時期的低迷之后，中國近代數學開始創新崛起，涌現出一大批卓越的數學家如華羅庚、陳省身等，他們在幾何和現代拓撲、解析數論、多復變分析、偏微分方程和高維數值積分等領域作出了許多開創性的工作。同時兩位先生也培養出了許多才華橫溢的學生如陳景潤、蘇步青、陳建功、熊慶來、吳文俊、馮康和王元等，他們在基礎數學、計算數學、應用數學等領域的研究都大放異彩，對數學的發展作出了重要的貢獻。這段時期中國數學發展既表現為學科廣度的拓展，也表現為在一些前沿領域的深度研究，為中國數學在國際上的地位奠定了堅實基礎。這個時期的數學家們以其深厚的數學功底和創新意識，在全球范圍內取得了顯著的成就。

歷史的進程表明，文化和經濟的發展對數學的進步起著至關重要的作用。一方面，要為中國古代數學取得的輝煌燦爛的成果感到自豪，另一方面，也不回避近代數學發展相對于西方的滯后。雖然我國沒有抓住工業革命的歷史機遇，后又飽經戰亂和列強欺凌，導致我國科技和人才長期落后，但現在我國正處于政治穩定、經濟繁榮、創新活躍的時期，為加快建設世界重要人才中心和創新高地創造了有利條件。通過在數學課程教學過程中融入中國數學的發展歷史，“萬物有所生，而獨知守其根”，鼓勵莘莘學子抓住大好時機，奮發圖強，在守正中尋求創新，為中國數學的發展、科技的發展貢獻力量，不忘本來，開創未來。

（三）? 注重數學思想方法的互通互融，提高創新思維能力

數學思想，是對數學知識和方法經過概括后產生的本質認識[7]。數學思想既體現在類比、歸納、演繹等數學方法中，也體現在數學課程具體知識點中，如極限思想、數形結合思想等，同時也體現在不同數學分支之間的互通互融中。在數學學習中領悟數學思想，是數學學習的要義所在，是大幅度提高數學思維和數學能力、靈活運用數學知識解決科學問題的重要途徑，為學生最終成長為具有深厚科學素養的人才奠定扎實的基礎，同時也是高校培養創新型人才的重要保障。

大學階段的數學是按課程學習的，在學習的過程中，學生往往會把每門課程孤立地進行學習，很少能將課程之間的壁壘打通，將不同分支的數學知識互通互融。以大學階段高等數學和線性代數課程為例，按照數學三大分支（分析、代數、幾何）分類方法，這兩門課程分別屬于分析和代數范疇，在研究對象、研究方法和研究思想上有著明顯的區別。但實際上，高等數學中研究微積分最重要的思想就是局部線性化，也就是我們常說的“以直代曲”，這就將分析中的非線性問題轉化為了線性問題，就可以用線性代數的知識加以詮釋[8-11]。這可以舉出很多例子。比如微積分中判斷多元函數極值的充分條件，在線性代數中就是黑塞矩陣（Hessian Matrix，即目標函數f在點x0處的二階偏導數組成的n×n階對稱矩陣）正定（負定）性的判定；在微積分中的多元函數全微分概念中，全微分的定義是用兩個偏導數的線性組合表示的，即dz=■dx+■dy，而我們也可以利用線性代數中自變量空間的基變換方法，推演出二元函數全微分的兩個方向不平行的方向導數的線性組合表示。這對于學生的學習來說，無疑也是具有啟發性的，對提升學生的學習興趣、提升數學思維能力和創新能力都是大有裨益的。教師通過在數學課程教學過程中將不同數學課程中的知識相互聯系，可以使學生更全面地理解數學的整體結構和應用，提高數學素養和解決實際問題的能力。這也有助于打破課程之間的壁壘，使學生更好地理解數學的整體框架。

此外，數學課程與其他課程之間也有非常多的思想與方法上的互通互融。例如，微積分和線性代數中的思想和方法在物理學和工程學中有著廣泛的應用。微積分被廣泛用于解決質點和剛體的運動方程、計算熱量的傳遞和功的產生、描述電場和磁場的分布、解決電磁感應和電磁場變化、描述流體運動方程等問題，線性代數提供了對位移、速度和力等物理量進行向量表示和運算的方法、描述剛體的旋轉和平移、對信號在不同域進行表示和分析、對線性時不變系統進行建模和分析等。又如離散數學中的思想和方法在計算機科學中具有重要的地位。數值分析中如數值逼近和數值優化，在計算機科學領域中處理大規模數據和優化問題也起到了非常重要的作用。而概率論與統計思想與方法在經濟學中也得到廣泛應用。在數學課程的講述過程中，如能通過簡單的實際應用案例作為引入，最后再用所學的數學知識解決問題形成知識閉環，可以使學生建立起更為統一和深入的數學知識體系，提升學生將數學應用于實際問題的能力。

（四）? 加強教材建設，發揮教材啟發心智的作用

教材是教學過程中非常重要的教學資源，不僅是知識的載體，還是在教學活動中師生之間交流的基本資料。然而數學教材上的數學，經過多次的加工，刀斧的痕跡，清晰可見。正如數學家和數學史家克萊因（M·Kline，1908—1992年）所說，這樣的數學教材會使人覺得數學家們可以理所當然地從定理到定理，數學家們能克服任何困難。對于學生而言，他們在一開始學習數學課程的時候，就被淹沒在成串的定理中。這也造成了在很長一段時間里，實際的數學教育往往偏重于數學理論的灌輸，少有啟發心智的內容，往往使學生感到數學的抽象難懂、遙不可及。打個比方這就好比蓋房子，現有的教材呈現給學生的是一棟完整的、功能齊全的建筑物，學生很難探究房子是如何建造出來的，但實際上在建造房子的過程中要歷經一系列的工序，甚至有可能存在出現問題進行返工的情況。正因為現有的大多數數學教材內容往往都是“定義—定理—計算”的內容安排，會讓學生感覺數學是一門枯燥乏味的學科，很多人對數學學習產生了畏懼心理。

一方面，可以在數學教材中增加數學的發展歷史，這就像在給學生展示房子建造的全過程，讓數學活起來，啟發學生更好地探索數學思想的產生根源，加深對數學本質的認識，進一步幫助學生樹立科學的數學觀和辯證唯物主義的認識觀。另一方面，增加數學教材中的啟發性內容，而非單一地羅列定義、定理、例題。舉個例子，線性代數中特征值特征向量的概念在工程中有著廣泛的應用，但大多數線性代數教材都是直接給出其定義（當Ax=λx，非零向量x是矩陣A的特征向量，λ是非零向量x對應的特征值）。這個定義對于學習過線性代數課程的學生應該是爛熟于心的，可是為什么這么定義？這個簡潔的定義背后有著怎樣的深層次含義？筆者在給學生進行這部分知識講授的時候，會從特征值、特征向量的英文名稱（eigenvalue，eigenvector）進行引入，eigen作為一個德文詞根，它的意思是本征、特征、特有，突出了特征值和特征向量與給定矩陣的內在性質的關聯，強調它們是該矩陣特有的屬性。借助于MATLAB軟件中的eigshow功能，可以很直觀地看到一個確定的二維矩陣A和平面上的所有向量x相乘時，向量Ax的方向有時會與向量x的方向保持一致（當然也不是所有的二維矩陣都具有這個結論，這個問題可以留給學生課后思考），只是長度可能會發生一些改變，這些方向不變的非零向量即為特征向量，可以看作為矩陣的一個固有屬性，因此就有了Ax=λx。然后再引出特征值和特征向量的定義，這樣可以使得學生對定義理解更為直觀，而不是僅僅背住了公式，只是會計算而已。以這種引導式啟發式的方式重新構建我們的數學教材，筆者認為是一種有益的嘗試。

二? 結束語

課程是落實立德樹人的主要載體，教師是課程思政的執行者和實施者，而課程思政的根本目標是人才培養。一方面，教師要主動開闊自己的視野，豐富自己的知識儲備，砥礪德行，身正為范；另一方面，課程思政要因課程而異，數學教師要更多從數學的視角挖掘思政元素，通過數學的具體例子，引導學生進行德育思考，同時作為數學教師也可以更得心應手收放自如，使得育人工作更有成效。我們始終認為，落實課程思政的過程是孕育更多卓越教師的過程，也是切實落實培育人、塑造人的過程。全面、精準地在課程教學中實施課程思政，是實現教育大計的堅實基礎。

參考文獻：

[1] 史寧中.教育與數學教育[M].長春：東北師范大學出版社，2006.

[2] 彭雙階，徐章韜.大學數學課程思政的課堂教學實現[J].中國大學教學，2020（12）：27-30.

[3] 秦厚榮，徐海蓉.大學數學課程思政的“觸點”和教學體系建設[J].中國大學教學，2019（9）：61-64.

[4] WILLIAM D，李伯民.微積分的歷程：從牛頓到勒貝格[M].北京：人民郵電出版社，2010.

[5] 錢寶琮.中國數學史[M].北京：北京科學出版社，1981.

[6] 周向宇.中國古代數學的貢獻[J].數學學報中文版，2022，65（4）：581-598.

[7] 馬保國.數學思想方法與數學分析教學[J].中國大學教學，2006（5）：28-29，39.

[8] 魯自群，李鐵成.微積分教學和線性代數教學的相互借鑒[J].大學數學，2019，35（5）：35-39.

[9] 陳桂東，崔周進.從三屆全國大學生數學競賽看線性代數在高等數學中的應用[J].大學數學，2014，30（4）：113-116.

[10] 米永生.線性代數與微積分學問題與解法的滲透[J].大學數學，2007，23（2）：185-190.

[11] 劉軾波.數學專業多元微積分教學的幾點體會[J].大學數學，2021，37（3）：84-92.