指向核心素養(yǎng)提升的聾校高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)

【摘要】 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于教學(xué)活動的全過程。在聾校高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合聽障學(xué)生認(rèn)知特點和發(fā)展規(guī)律，設(shè)計探究性問題、啟發(fā)性問題、挑戰(zhàn)性問題等，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】 聾校；高中；數(shù)學(xué)概念；核心素養(yǎng)

【中圖分類號】 G762

【作者簡介】 宋曉杰，江蘇省南京市聾人學(xué)校（南京，210007）。

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成與發(fā)展的。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn)）要求“將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動的全過程”［1］。概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要陣地。由于聽力受損，聽障學(xué)生的語言與思維發(fā)展落后于健聽學(xué)生。在聾校高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合聽障學(xué)生認(rèn)知特點和發(fā)展規(guī)律，著眼學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展，探索核心素養(yǎng)的孕育點、生長點。本文以“平面解析幾何”單元中“直線的傾斜角與斜率”概念教學(xué)為例，探討如何在教學(xué)過程中幫助聽障學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

一、借助探究性問題，培養(yǎng)直觀想象能力

數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)設(shè)計需遵循“以問題結(jié)構(gòu)推進(jìn)教學(xué)”的原理，樹立“教學(xué)生學(xué)會思考”的教學(xué)觀念，提升概念學(xué)習(xí)與理解的質(zhì)量［2］。直觀想象能力是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的能力。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師可通過探究性問題，引導(dǎo)聽障學(xué)生借助圖表、圖形、模型等輔助手段，在觀察、操作、思考中強(qiáng)化直觀感受，培養(yǎng)直觀想象能力。

“直線的傾斜角與斜率”是平面解析幾何的入門課。它向前承接立體幾何、平面向量、三角函數(shù)，向后銜接導(dǎo)數(shù)和圓錐曲線等，起著開啟全章、奠定基礎(chǔ)的作用。本節(jié)課要回答一個核心問題：“在平面直角坐標(biāo)系中，如何表示直線？”教師可通過探究性問題，引導(dǎo)學(xué)生思考“確定一條直線的幾何要素是什么”。

【問題】直線不討論大小、形狀，最重要的是確定直線的位置及位置關(guān)系。怎樣來確定一條直線呢？

“兩點確定一條直線”是初中學(xué)習(xí)過的內(nèi)容，學(xué)生對此非常熟悉，容易作答。該問題的提出讓學(xué)生有了明確的探究方向，知道從點入手研究直線。

【問題】兩點可以確定一條直線，一點可不可以呢？

條件從兩點降為一點，以退為進(jìn)，開拓思路。在教學(xué)中，為了培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，往往需要讓學(xué)生動手操作來促進(jìn)思考。基于這個問題，教師設(shè)計操作題：過定點（1，0）作一條直線。學(xué)生必須先畫直角坐標(biāo)系，這樣就自然地將直線放在了直角坐標(biāo)系中。通過思考—操作—對比，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)問題：一點不能確定一條直線。

【問題】同學(xué)們過同一點作出的直線是不同的，不同在哪里？如果請你添加一個條件來確定直線，可以添加什么條件呢？

教師拿出圓規(guī)，固定一條邊，改變張口大小。學(xué)生通過觀察和直觀想象，將實物演示轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)，用“角的大小”來描述傾斜程度，進(jìn)而明確可用一點和一個方向來確定直線。

【對比觀察】一幅圖為過一個點的直線系，另一幅圖為方向相同的平行線系，這兩幅圖都無法確定一條直線。

學(xué)生通過對比認(rèn)識到：已知直線上一個點或已知直線的方向，都不能刻畫一條位置確定的直線。通過觀察后可直觀地想象到將兩者結(jié)合，確定“一個點”和“一個方向”就可以刻畫一條位置確定的直線。再思考：“在直角坐標(biāo)系中，方向用什么來表示？”這就自然引入了傾斜角的概念。

【動手操作】畫出大小不同的兩個正方形的對角線。工具：等腰直角三角尺。

畫小正方形對角線時，等腰直角三角尺的斜邊足夠長，對齊后將對角線上兩端點一連就形成直線；畫大正方形對角線時，三角尺斜邊不夠長，需要將三角尺的一條直角邊和正方形水平邊對齊，并將銳角頂點與正方形的一個頂點重合，畫好一段后向右上方平移再畫一段。教師引導(dǎo)學(xué)生思考得出這兩種畫對角線的方法，即刻畫直線的兩種方法：“兩點確定一條直線”和“一點、一方向確定一條直線”。在此基礎(chǔ)上引出傾斜角的定義。

通過創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，教師引導(dǎo)聽障學(xué)生在主動觀察、操作、思考中建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路，增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識。

二、采用啟發(fā)性問題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力

數(shù)學(xué)抽象能力是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性和特征的能力。教師在概念教學(xué)中可采用啟發(fā)性問題，引導(dǎo)聽障學(xué)生從圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)語言予以表征，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。這樣不僅可以讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)語言描述、解決問題，還有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

【問題】直線相對于x軸的傾斜程度與傾斜角有什么關(guān)系呢？在日常生活中，有沒有表示傾斜程度的量？比如，我們出游爬山時，如果坡較陡，就會感覺比較累，那么坡的陡緩程度，可以用什么來表示呢？

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過坡度，坡度用坡比來描述：坡比＝垂直高度/水平寬度。這個過渡問題采用學(xué)生熟悉的問題情境，讓學(xué)生回想起坡度與坡比的概念，為探索傾斜角與斜率的關(guān)系做好鋪墊。

【問題】我們知道兩點可以確定一條直線，已知直線上有兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），那么直線的傾斜角α與這兩點的坐標(biāo)有怎樣的聯(lián)系呢？

這是一個關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生通過類比，抽象出數(shù)量關(guān)系，建立概念間的聯(lián)系。角是一個幾何概念，而坐標(biāo)是一個代數(shù)概念，如何建立聯(lián)系呢？

【問題】我們能否找到一個既具有幾何的直觀性，又具有代數(shù)的可運(yùn)算性的工具呢？

學(xué)生前面學(xué)習(xí)了向量的知識，易想到向量這個數(shù)形結(jié)合的統(tǒng)一體。教師指導(dǎo)學(xué)生嘗試用向量來推導(dǎo)關(guān)系。由于向量可自由平移，總可以找到一個點P（x2-x1，y2-y1），將[P1P2]轉(zhuǎn)化為[OP]，那么直線的方向向量就可以借助直線OP的傾斜角α來表示，而tanα=[y2-y1x2-x1]。這個式子讓傾斜角這個幾何概念與點的坐標(biāo)建立了聯(lián)系。根據(jù)直線的斜率k=tanα（α≠90°），進(jìn)而得到過兩點的直線的斜率公式k=[y2-y1x2-x1]，建立k與其方向向量（1，k）或（x，y）（k=y/x）之間的關(guān)系。直線的傾斜角和斜率都描述了直線的傾斜程度，傾斜角以形刻畫，斜率用數(shù)表達(dá)，二者的聯(lián)系橋梁則是正切函數(shù)值。

【問題】在三角函數(shù)里有沒有可以將傾斜角和斜率建立聯(lián)系的工具呢？

教師在電子白板中斜率定義的原圖上閃現(xiàn)一個單位圓，以醒目的形式給學(xué)生以視覺刺激，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)有向線段AP就是傾斜角α的正切線。正切線AP的值可正、可負(fù)、可為零，恰好可以對應(yīng)點P（1，k）的縱坐標(biāo)k。因此，可以直接用正切線來呈現(xiàn)傾斜角與斜率之間的關(guān)系，即k=tanα。直線的斜率k隨著傾斜角α的大小變化而變化的過程，也可以直觀地用信息技術(shù)輔助工具來動態(tài)顯示。

教師通過一系列啟發(fā)性問題，將爬坡的實際問題轉(zhuǎn)化為傾斜角與斜率的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生通過建立數(shù)學(xué)模型，采用數(shù)形結(jié)合工具，找到了概念間的關(guān)系，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象能力。

三、設(shè)計挑戰(zhàn)性問題，提升邏輯推理能力

作業(yè)是幫助學(xué)生鞏固、理解所學(xué)知識的重要工具。課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要豐富作業(yè)的形式，提高作業(yè)的質(zhì)量。聽障學(xué)生的個體差異較大，作業(yè)設(shè)計既要面向全體，又要滿足不同層次學(xué)生的發(fā)展需要。教師一方面要為全體學(xué)生提供基礎(chǔ)的鞏固練習(xí)，另一方面也要為學(xué)有余力的學(xué)生提供具有挑戰(zhàn)性的問題，使學(xué)生學(xué)會有邏輯地思考問題，在分析問題、解決問題的過程中發(fā)展邏輯推理能力。

【問題】一位魔術(shù)師找地毯匠把一塊邊長為1.3m的正方形地毯改成0.8m寬、2.1m長的矩形。地毯匠說：“正方形的面積是1.69m2，而矩形的面積只有1.68m2，兩者不相等啊。”魔術(shù)師說：“你先按照圖1剪成4塊，再按照圖2拼在一起縫好就行了。”地毯匠照做了，果然是寬0.8m、長2.1m。魔術(shù)師拿著地毯滿意地走了。地毯匠還在納悶：那0.01m2的地毯哪里去了？你能幫他解開這個謎嗎？

這是一道經(jīng)典的具有挑戰(zhàn)性的斜率問題，需要學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決這一問題。教師要求學(xué)有余力的學(xué)生嘗試自主解決這一問題，從問題情境中把握“斜率”這一關(guān)鍵因素，通過一步步的推理探索破解難題。對于其他學(xué)生，教師不作硬性要求，并為其提供參考思路，方便其探索。

考慮到學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能會產(chǎn)生這樣的疑問：“其他的三角函數(shù)也可以表達(dá)傾斜程度，為什么教材選擇正切來表示呢？”教師要求學(xué)有余力的學(xué)生以一篇小論文的形式，討論“能否用傾斜角的余弦來表示直線的斜率”，比較選用余弦與選用正切這兩種表示方法的優(yōu)劣。這一問題需要學(xué)生自主查閱資料，結(jié)合已學(xué)知識，通過邏輯推理得到數(shù)學(xué)結(jié)論。其他學(xué)生也可以查閱資料來探索這一問題，但不要求總結(jié)形成小論文。學(xué)生基于自身能力對挑戰(zhàn)性問題進(jìn)行探索，既鞏固了已學(xué)知識，又提升了邏輯推理能力。

數(shù)學(xué)概念是高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的核心。在聾校高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)精心設(shè)計教學(xué)活動、提煉問題，調(diào)動聽障學(xué)生主動探究的興趣，讓學(xué)生在分析和解決問題的過程中深化對數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計原理的構(gòu)建——教學(xué)生學(xué)會思考［M］.北京：科學(xué)出版社，2018：6.

（責(zé)任編輯：黃春露）