重視知識本質，鍛煉思維過程

章鳳

【摘要】數學教育的主要任務是促進學生思維的發展，即通過具體數學知識與技能的學習幫助學生逐步鍛煉思維，特別是努力提升思維的品質.所以作為教師，要貫穿知識點，深入研究知識，錘煉學生思維.

【關鍵詞】初中數學；解題技巧；角平分線

1 試題呈現

（2023南京九下）“關聯”是解決數學問題的重要思維方式．角平分線的有關聯想就有很多……

1.1 問題提出

如圖1，PC是△PAB的角平分線，

求證PA/PB=AC/BC.

小明思路：關聯“平行線、等腰三角形”，利用“三角形相似”．

小紅思路：關聯“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，利用“等面積法”．

請根據小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明．

1.2 作圖應用

如圖2，AB是⊙O的弦，在⊙O上作出點P，使得PA/PB＝3．

要求：（1）用直尺和圓規作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．

1.3 深度思考

如圖3，PC是△PAB的角平分線，若AC＝3，BC＝1，則△PAB的面積最大值是．

2 特色解讀

2.1 立足教材，梯度設問，簡約而不凡

本題考查角平分線在相似中的應用，而角平分線貫穿了整個初中幾何教學.分別是定義、性質、判定及尺規作圖的學習，并且在平行線、等腰三角形、特殊四邊形、圓等幾何圖形中都有添加角平分線進行再探究.本題將角平分線放到三角形中用相似進行性質的再探究，學生要在有限的時間完成三個問題，而這三問是三個方向，難度逐層增加，對學生而言還是比較困難的，所以對解題能力的要求比較高.問題立足教材，但高于教材，呈現方式為得出結論，畫出結論，找到極端情況，這種梯度設問，重在數學核心素養和綜合能力的考查，又發揮對初中數學的導向作用，簡約而不凡.

2.2 關注思維路徑，滲透數學思想

本題設置三小問，關注幾何推理的思考過程，層次分明.思維路徑層層疊進，第（1）問是角平分線性質的證明，給了解題思路，這兩種思路也是在平時教學中要滲透的數學思想，不同的選擇也體現了思維層次的不同.第（2）問是尺規作圖，讓學生用第1問的結論作圖，而用第1問的結論對中等學生不難，但要用相似圓來做難度較大.第（3）問要把固定的點看運動的點，找到極端值，這要比第2問更難，但第（2）問如能用圓來畫，那么第3問就不難了.一個相似的題要用圓來解決，這種數學思想的關聯、滲透，讓不同能力水平的學生展示不同的探究過程，體現試題的難度和效度，彰顯試題的選拔功能，也同時逼著教師探究、思考，業務能力也有很大提高.

2.3 思維遞進，凸顯素養，深遠而雋永

數學思想是數學的根本與精髓.從知識層面看，本題主要考查相似、面積法、尺規作圖、動點、圓等知識.從能力層面看，本題體現對學生邏輯推理、幾何直觀等綜合能力的考查.這些知識和能力相輔相成，著意于考查學生的思維和數學核心素養.本題從“形”（三角形角平分線）的角度研究“數”（比例），借助幾何直觀構建基本圖形，實現“數”與“形”的轉化.

3 解法挖掘

第（1）問根據小明的思路，其實在平時的教學中也滲透了用相似、平行得到比例線段，而相似可以用平行得到，所以就有了過點C作AP的平行線交PB于點M，因為平行得到BC/AC=BM/PM，又因為PC是△PAB的角平分線，CM∥AP，所以PM=CM，即BC/AC=BM/CM，由△CBM∽△ABP得到BM/CM=BP/AP，通過等量代換得到PA/PB=AC/BC.

根據小紅思路，將△ACP的面積分別用AP，AC為底表示，同樣△PCB的面積分別用PB，BC為底表示，因為高相等可得比例式成立.

第（2）問尺規作圖的方法多樣，旨在讓不同層次的學生都能學有所得，學有所會，有所發展.要在⊙O上作出點P，使得PA/PB=3，那就要用第（1）問的知識，聯想到做∠P的角平分線將線段AB分成3∶1.

思路1：用尺規作線段AB的垂直平分線將AB分成4等份.

思路2：用尺規通過作平行線將線段AB分成3∶1.

思路3：用尺規作以AB為邊的三角形，使另外兩邊的比為3∶1.

思路4：發現了點P的軌跡，找到與⊙O的交點.這比較難，但不會漏掉點C.延長AP，作∠APB外角角平分線得∠CPD=90°.

由第1問可延伸出外角角平分線也BD/AD=PB/AP=1/3，BD/AD=PB/AP=1/3，所以CD=AC.所以點P在以CD為直徑的圓上.通過這個分析就能挖掘出思路4的做法.

第（3）問若用代數方法做，即作高，用勾股定理加二次函數來求最值.對學生能力要求太高而且時間花費多，所以用幾何方法是最好的，于是在圖4的基礎上做了研究.如下.

研究1 延長AP，做∠APB外角角平分線得∠CPD=90°（初一內容）.

由第1問可延伸出外角角平分線也有BD∶AD =PB∶AP =1∶3，

由AC＝3，BC＝1得BD=2，所以CD=3.所以點P在以CD為直徑的圓.這樣就能確定△PAB的面積最大值.

研究2 構造∠DPB=∠A，

得△PAD∽△BPD，BD∶PD=BP∶PA=1∶3.

因為∠PCA=∠A+∠APC，∠DPC=∠DPB+∠CPB，

所以PD=CD，所以點P在以CD為半徑的圓上.

這樣就能確定△PAB的面積最大值.

通過以上兩種研究再去思考第2問的作圖，

思路4就是發現點C是AD的中點，圓心是CD的中點.

因此也想到思路5：出AD∶BD=3∶1，線段CD的垂直平分線交AB的延長線于點O，以點O為圓心，OC為半徑作圓，即為點P的軌跡.

4 結語

學生對1、2問還能做，但第3問能做出來的就鳳毛麟角了，主要還是沒有想到內外角的角平分線互相垂直，出現了垂直聯想圓還是比較常規的.總之，作為初中數學教師要用三年的時間通過每節數學課的教學，使學生能生成知識、能鍛煉思維，能遷移知識.除了要對課本教學知識的積累，還要努力做到“數學知識的深刻理解”，通過在教學過程中對遇到題目多研究，多與同行交流，多反思，把題目研究透，加深自己對知識的理解.學生的數學學習是一個文化繼承的行為，主要依賴于他們在學校中的系統學習，更離不開教師的直接指導和引領.數學教育的主要任務應是促進學生思維的發展，即通過具體數學知識與技能的學習幫助學生逐步學會思維，特別是努力提升思維的品質.所以作為教師，要貫穿知識點，深入知識研究，對數學學習和教學活動本質進行深入思考，以及有對理想課堂與教師自身價值的深切理解與執著追求.

參考文獻：

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