一道雙中點幾何題的多角度解答

高亮榮

【摘要】添加輔助線是解答幾何題的一個基本策略，要求對題目的重要條件作分析，對基本圖形進行理解與聯(lián)系，運用圖形之間的關(guān)聯(lián)探索思考問題.下面以一道雙中點問題作解題分析．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；輔助線；解題技巧

例題 如圖1，已知在△ABC中，AB=AC，CE是AB邊上的中線，延長AB至點D，使BD=AB．求證：CD＝2CE．

解析1 因為CE是中線，如圖2.

延長CE至點F，使EF=EC，這樣出現(xiàn)CF＝2CE，只要證明CF＝CD即可，連接BF，聯(lián)系已知條件，圖形中有全等三角形.

易得△EAC≌△EBF（SAS）．

則BF=AC=AB =BD，∠EBF=∠A．

又∠ABC=∠ACB，

所以∠FBC=∠FBE+∠EBC=∠A+∠ACB=∠DBC，

所以△FBC≌△DBC（SAS），

即CD=CF=2CE．

點評 上述輔助線是典型的“中線倍長”法．由中點的條件，將中線延長一倍，證明△EAC≌△EBF，并利用全等的結(jié)論，證明△FBC≌△DBC.

同樣的方法，延長CE到點F，使得EF= CE，連接AF，證明△AEF≌BEC，△CAF≌△DBC．

解析2 因為CE是中線，則點E是AB的中點，如圖3.

可以在BC的延長線上截取CF=CB，構(gòu)成三角形的中位線，得到AF＝2CE，只需求證AF＝CD.

AF與CD分別在△FCA和△CBD中，

易得FC=CB，AC=AB =DB，

由鄰補角得∠FCA =180°-∠ACB，

∠CBD=180°-∠ABC，

又AB=AC，則∠ACB=∠ABC．

所以△FCA≌△BCD（SAS）．

點評 上述的輔助線立足于“點E是AB的中點”，延長三角形的另一邊，構(gòu)成三角形的中位線，并證明△FCA≌△BCD.

同樣的方法，如圖4.

延長AC至點F，使CF=AC．連接BF，DF．

所以AF=2AC=2AB=AD．

因為AC=AB，∠A=∠A，AD=AF，

所以△ABF≌△ACD（SAS）．

所以BF=CD．

因為CE是△ABF的中位線．

所以CE=1/2BF=1/2CD．

所以CD=2CE．

結(jié)語

對一個陌生問題，認真審題是解題的基礎(chǔ)，可以由已知向結(jié)論推理，或由結(jié)論向已知推證；或者從兩邊向中間追尋，尋找已知與結(jié)論之間的橋梁．由題目的已知條件能夠挖掘出什么重要結(jié)論？由條件能聯(lián)想到什么？由結(jié)果還能聯(lián)想到什么？如本題重要的條件只有兩個：（1）等長線段AB=AC；（2）在同條線段上的兩個中點.從不同角度去思考，會產(chǎn)生不同的思考途徑，所用的基礎(chǔ)知識和方法也就不同，如解析一是基于“E是AB邊中點”，采取“中線倍長”法，證明兩個三角形全等進行解答，方法經(jīng)典且適用.解析2，利用“E是AB中點”，將三角形的另一邊倍長，使CE為新三角形的中位線.解析3，利用“點B為AD中點”的條件，通過作三角形另一邊中點，構(gòu)成三角形的中位線.后面幾種輔助線的視角獨特，運用中點的條件構(gòu)造三角形中位線，獨辟蹊徑，體現(xiàn)了創(chuàng)新思維的運用，也培養(yǎng)了學(xué)生理性思考的能力.