正確區(qū)分超幾何分布和二項(xiàng)分布
——從一道高考真題錯(cuò)解談起

河南省平頂山市第一高級(jí)中學(xué)(467000) 米召奎

在新高三的教學(xué)中,讓學(xué)生練習(xí)了2023 年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷第19 題,對(duì)于第一小問(wèn),學(xué)生們給出了三種不同解法,爭(zhēng)論激烈,甚至有同學(xué)拿出某考卷給出的“標(biāo)準(zhǔn)答案”,以此證明自己的解法的正確性.這不由的讓我反思,如何在教學(xué)中讓學(xué)生能正確區(qū)分超幾何分布和二項(xiàng)分布.

1 真題呈現(xiàn)

題目(2023 年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷第19 題)一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下: 選40 只小白鼠,隨機(jī)地將其中20 只分配到實(shí)驗(yàn)組,另外20 只分配到對(duì)照組,實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境,對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境,一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量(單位: g).

(1)設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)略.

本題主要考察了離散型隨機(jī)變量的分布列以及獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題.第二問(wèn)沒(méi)有分歧,下面主要研究第一小問(wèn)的解法.

2 解法賞析

解法1一只小鼠要么分在實(shí)驗(yàn)組,要么分在對(duì)照組,有2 種分配方案,兩只小白鼠總的分配方案為2×2=4 種,其中兩只小白鼠全部分配到試驗(yàn)組有1 種情況,有一只分配到對(duì)照組有2 種情況,全部分配到對(duì)照組的有1 種情況.則X的可能取值為0,1,2.由古典概型的概率計(jì)算公式可得:.所以X的分布列如表1:

表1 隨機(jī)變量的分布列

表2 隨機(jī)變量的分布列

解法3依題意,X的可能取值為0,1,2.則

表3 隨機(jī)變量的分布列

3 尋根求源辨真假

三種做法的期望一樣,但是計(jì)算方法不同,概率分布列也不同,孰對(duì)孰錯(cuò)? 我們不妨回歸教材.

3.1 教材中的定義

二項(xiàng)分布: 一般的,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為表4:

表4 二項(xiàng)分布列

如果隨機(jī)變量的分布列具有上述形式,則稱(chēng)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,記作X～B(n,p).

超幾何分布: 一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則P(X=k)=k=0,1,2,···,m,則X的分布列為表5:

表5 超幾何分布列

其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N ∈N+;

如果隨機(jī)變量的分布列具有上述形式,則稱(chēng)隨機(jī)變量服從超幾何分布,記作X～H(N,M,n).從定義可以看出:

(1)二項(xiàng)分布中的試驗(yàn)是重復(fù)試驗(yàn);超幾何分布中的試驗(yàn)是古典概型的隨機(jī)試驗(yàn).

(2)二項(xiàng)分布中用的是有放回抽樣,所以每次抽取條件不變;超幾何分布中用的是不放回抽樣.

(3)二項(xiàng)分布進(jìn)行的試驗(yàn)無(wú)需知道總體數(shù);超幾何分布在試驗(yàn)過(guò)程中必須給定總體數(shù),而且總體必須由數(shù)目明確的“正品”與“次品”兩類(lèi)構(gòu)成.

(4)二項(xiàng)分布每一次試驗(yàn)只有兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果A或,即事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生;超幾何分布每一次試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)較多,比如在有M件次品的N件產(chǎn)品中任取1 件產(chǎn)品,不同的結(jié)果有種.

(5)二項(xiàng)分布中離散型隨機(jī)變量X表示這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),即成功次數(shù).所以事件X=k表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)了k次,事件出現(xiàn)了n-k次;超幾何分布中離散型隨機(jī)變量X表示抽取出的這n件產(chǎn)品中的次品數(shù).所以事件X=k表示抽取的n件產(chǎn)品中有k件次品,n-k件正品.

二項(xiàng)分布中進(jìn)行的是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),滿(mǎn)足獨(dú)立事件的概率乘法公式,所以事件X=k發(fā)生的概率P(X=k)=,其中k=0,1,2,···,n.

超幾何分布進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)是滿(mǎn)足古典概型的隨機(jī)試驗(yàn),所以事件X=k發(fā)生的概率P(X=k)=其中k=0,1,2,···,m,m=min{M,n}.

(7)二項(xiàng)分布概率計(jì)算會(huì)在題設(shè)中暗示給出或者可求出事件A發(fā)生的概率p.

超幾何分布概率計(jì)算會(huì)在題設(shè)中給出抽樣個(gè)數(shù)n、總體數(shù)N,會(huì)給出或可求出總體中兩類(lèi)產(chǎn)品中的“次品”數(shù)M.

3.2 教材中的問(wèn)題與案例

在現(xiàn)行新教材人教A 版《選擇性必修》第三冊(cè)的7.4.2節(jié),有這樣一個(gè)問(wèn)題: 已知100 件產(chǎn)品中有8 件次品,分別采用有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取4 件,設(shè)抽取的4 件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.這個(gè)問(wèn)題旨在讓學(xué)生通過(guò)具體情景感知,如果采用放回抽樣,那么抽取的4 件產(chǎn)品中次品數(shù)x服從二項(xiàng)分布,如果采用不放回抽樣,雖然每次抽到次品的概率都是0.08,但是每次抽取不是同一個(gè)實(shí)驗(yàn),而且各次抽取的結(jié)果也不獨(dú)立,不符合n重伯努利試驗(yàn)的特征,x服從超幾何分布.也就是說(shuō),有無(wú)放回是區(qū)別二項(xiàng)分布和超幾何分布的重要特征.

在教材的頁(yè)這樣一個(gè)習(xí)題: 一個(gè)車(chē)間有3 臺(tái)車(chē)床,它們各自獨(dú)立工作,設(shè)同時(shí)發(fā)生故障的車(chē)床數(shù)為X,在下列兩種情形下分別求X的分布列

(1)3 臺(tái)車(chē)床型號(hào)相同,它們發(fā)生故障的概率是20%.

(2)3 臺(tái)車(chē)床中有A 型號(hào)2 臺(tái),B 型號(hào)1 臺(tái),A 型號(hào)車(chē)床發(fā)生故障的概率是10%,B 型號(hào)車(chē)床發(fā)生故障的概率是20%.

在這里并沒(méi)有明確的說(shuō)明是“有放回”還是“無(wú)放回”的抽取,但是,(1)中車(chē)床型號(hào)相同,且發(fā)生故障的概率相同,可以理解為在相同試驗(yàn)條件下進(jìn)行3 次獨(dú)立試驗(yàn),滿(mǎn)足n重伯努利試驗(yàn)的條件,所以x服從的是二項(xiàng)分布,而在(2)中車(chē)床分不同的型號(hào),有差異,每種型號(hào)車(chē)床發(fā)生故障的概率有差異,那么發(fā)生故障的概率跟車(chē)床有關(guān),所以服從超幾何分布.

3.3 真假辨析

之所以產(chǎn)生不同的分布列,分歧在于如何隨機(jī)抽取小白鼠.現(xiàn)在回看高考真題的三種解法,就會(huì)發(fā)現(xiàn)思考的視角不同,得到的答案也不同.

解法1 的視角是把研究的對(duì)象放到指定的兩只小白鼠上,指定的兩只小白鼠中每一只被抽到的可能性相等,就像拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,出現(xiàn)正面向上或反面向上的機(jī)會(huì)均等,按照古典概型羅列包含的樣本點(diǎn)空間為Ω={(正正),(正反),(反正),(反反)}四種情況.

解法2 的視角是把研究的對(duì)象放到兩個(gè)組上,即實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組,實(shí)驗(yàn)者首先將小白鼠編好號(hào)碼為01 至40,然后對(duì)每個(gè)號(hào)碼,在實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組中隨機(jī)分組.這是完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn).指定的兩只小白鼠被分配到對(duì)照組之間是獨(dú)立的,抽兩只小白鼠當(dāng)作2 次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn),因此服從二項(xiàng)分布,即

解法3 的視角是把研究對(duì)象放到構(gòu)成對(duì)照組的20 個(gè)個(gè)體上,也就是說(shuō)從40 只小白鼠中抽取20 只分配到對(duì)照組即可,對(duì)于指定的兩只小白鼠被抽到的只數(shù)服從超幾何分布.

由上分析可見(jiàn),三種解法都是正確的.事實(shí)上,三種解法涉及的是一個(gè)貝特朗悖論問(wèn)題,即樣本空間不同,造成不同的計(jì)算方法.那么,為什么視角不同而得到的期望都一樣呢?根據(jù)期望計(jì)算公式,對(duì)于二項(xiàng)分布而言,若X～B(n,p),則E(X)=np;對(duì)于超幾何分布而言,若Y～H(N,M,n),則.事實(shí)上,在二項(xiàng)分布中,,所以這就很容易理解為什么不同算法得到的期望是一樣的.另外有趣的是,對(duì)于不放回抽樣,當(dāng)總體數(shù)目比較大而抽取的樣本數(shù)較少時(shí),每次抽出產(chǎn)品后,次品率近似不變.這樣就可以近似看成抽樣的結(jié)果是相互獨(dú)立的,抽出產(chǎn)品中次品件數(shù)近似服從二項(xiàng)分布.這也往往是很多同學(xué)對(duì)兩種分布容易混淆的地方.

4 正確區(qū)分二項(xiàng)分布與超幾何分布

一般的,我們認(rèn)為辨別隨機(jī)變量的分布列是超幾何分布還是二項(xiàng)分布,有重要的兩點(diǎn),其一是看總體數(shù)大小,其二是有無(wú)放回.當(dāng)總體數(shù)目較大或者沒(méi)有給出時(shí),或者是無(wú)放回抽取時(shí),屬于二項(xiàng)分布,反之,為超幾何分布.

事實(shí)上,很多時(shí)候,學(xué)生面臨的很多試題中,并沒(méi)有明確說(shuō)明是有放回還是無(wú)放回抽取,這就造成很多學(xué)生無(wú)法正確辨別采用什么分布,從而做錯(cuò).究其原因,就是沒(méi)有考慮實(shí)際,忽略了語(yǔ)言的隱含性與暗示,例如當(dāng)試題中出現(xiàn)“從流水線(xiàn)上抽取”或者“每次試驗(yàn)以事件A發(fā)生的頻率近似作為概率等”都是隱含的告知每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率相同.

在實(shí)際的工廠產(chǎn)品檢驗(yàn)中,若N件產(chǎn)品中共有M件次品(N ＞1,M ＞1,N ＞M),則不放回地抽樣中,第一次抽到次品的概率為,而第二次抽到次品的概率與第一次抽到的是否為次品有關(guān).若第一次抽到的是次品,則第二次抽到次品的概率為;若第一次抽到的不是次品,則第二次抽到次品的概率為.在實(shí)際工作中,產(chǎn)品檢驗(yàn)一般都采用不放回抽樣,因此要計(jì)算n次抽取中恰好得到k件次品的概率,應(yīng)采用超幾何分布的概率公式.但是此公式需要知道總體的容量,數(shù)值計(jì)算比較復(fù)雜,不過(guò)當(dāng)N相對(duì)M來(lái)說(shuō)很大時(shí),都可以近似為,此時(shí)不放回抽樣與放回抽樣是差不多的,故超幾何分布近似于二項(xiàng)分布.因此可用二項(xiàng)分布的計(jì)算公式近似,這樣可以大大節(jié)省計(jì)算量,所以當(dāng)一批產(chǎn)品數(shù)量很大的時(shí)候,我們可以把取得某類(lèi)樣本的頻率視作取得這類(lèi)樣本的概率,用二項(xiàng)分布近似代替超幾何分布[1].

因此判斷兩種分布時(shí),不能機(jī)械地以抽樣方法來(lái)判定,對(duì)于總體數(shù)N很大的這種抽取,盡管是無(wú)放回抽樣,但超幾何分布已經(jīng)近似為二項(xiàng)分布了,我們都把它看成是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),按照二項(xiàng)分布來(lái)解題.

5 教學(xué)啟示

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為:“數(shù)學(xué)教學(xué)的第一要?jiǎng)?wù)就是要加強(qiáng)解題訓(xùn)練”,教師通過(guò)例題習(xí)題,可以讓概念具體化,通過(guò)例題習(xí)題及時(shí)糾正學(xué)生對(duì)概念理解的偏差,這就要重視教材,從教材出發(fā),通過(guò)教材中的經(jīng)典案例,剖析超幾何分布和二項(xiàng)分布的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別,例如對(duì)于沒(méi)有明確指明是有放回還是無(wú)放回的流水線(xiàn)上抽取產(chǎn)品,使學(xué)生能準(zhǔn)確辨別“從生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取n件”屬于二項(xiàng)分布,而“從抽取的樣本產(chǎn)品中任取n件”屬于超幾何分布.

讓學(xué)生在具體的情景中抓住關(guān)鍵,從而提高辨識(shí),避免混淆不清.畢竟教材中的例習(xí)題是經(jīng)過(guò)家精心構(gòu)思、反復(fù)推敲后選定的,是教材知識(shí)點(diǎn)的輔助和補(bǔ)充,有利于學(xué)生們把握數(shù)學(xué)概念和內(nèi)涵.所以,在教學(xué)中,尤其是概率統(tǒng)計(jì)這一部分,要精選例題、習(xí)題,從而讓學(xué)生深刻理解不同分布的區(qū)別與聯(lián)系,面對(duì)問(wèn)題的時(shí)候,才有有的放矢提高解決問(wèn)題的準(zhǔn)確性.