一道高考真題的探究拓廣及其命制背景分析

重慶市渝北中學校(401120) 杜 鵬

1 試題及解法

2.當直線MN斜率不存在時,經驗證同樣滿足題意.

綜上,P在定直線上.

評析解決本問題時,涉及到“非對稱韋達定理”的處理.對于方法一,直線和曲線聯立后,得到一個關于y的方程,此時y1+y2與y1y2的關系比較明顯,可以直接代換出來,問題進而解決.對于方法二,由于聯立時,直線和曲線聯立后,得到一個關于x的方程,此時x1+x2與x1x2的關系就非常不明顯,對于尋找這兩者的關系,一般可以采取湊配或者待定系數的方法.采用湊配的時候可以從不同的角度進行,第一個角度是讓x1+x2與常數m結合,使得x1+x2+m這個式子的分子出現與x1x2分子一樣的結構,即能夠產生一個k2+1 的式子,具體過程如下:;只需令8-m=4m,得:;這就是我們為一個要加一個常數的原因.第二個角度是讓x1x2與常數n結合,使得:x1x2+n這個式子的分子出現與x1+x2分子一樣的結構,即產生一個k2的式子,具體過程如下:;只需令4n-16=0,得:n=4;至此就弄清楚湊配的時候為什么要加常數4.待定系數法,其實就是在湊配方法基礎上的一種提煉,沒有湊配法的思考過程,直接是不容易想得待定系數法的,只有對湊配法有了足夠的思考,才會想到它的本質就是待定系數法.對于法三,利用點在曲線上的性質,將其中一個非對稱的表達式轉化為對稱的表達式,就可以把非對稱結構轉化為對稱的結構,這樣問題就迎刃而解.關于“非對稱韋達定理”更多的處理方式,可以參考文獻[1].

2 探究和拓廣

3 命制背景

本題的命制具有高等幾何的背景,其主要涉及的內容是極點極線的相關知識.雖然作為中學生不需要掌握極點極線的相關知識,這個不屬于高考要求的范圍,但是作為高中數學教師有必要了解極點極線的相關知識,了解掌握相關知識后,對一些圓錐曲線里面的定點和定直線問題將會有一個更深層次的理解,對這些題目為什么這樣命制,這樣命制的原理將會有一個更加清晰和深刻的認識,下面我們來看極點極線的定義.

定義1(幾何定義)如右圖,P是不在圓錐曲線上的點,過P點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,H,連接EG,FH交于M,EH,FG交于N,則直線MN為點P對應的極線.若P為圓錐曲線上的點,則過點P的切線即為極線.

由右圖可知,同理PM為點N對應的極線,PN為點M所對應的極線,三角形MNP稱為自極三角形.若連接MN交圓錐曲線于點A,B,則PA,PB恰為圓錐曲線的兩條切線.

特別地,對于中心在原點的二次曲線mx2+ny2=1(mn0),與點P(x0,y0)對應的極線方程為mx0x+ny0y=1.

關于更多的極點極線相關性質,可以參考文獻[2].

下面具體用幾個高考真題實例,來加以說明這些題目是如何以極點極線為背景命制的.

例1題目見文章開頭題目.

(1)求E的方程;

(2)證明: 直線CD過定點.

例3(2011 年四川高考數學第21 題) 橢圓有兩頂點A(-1,0),B(1,0),過其焦點F(0,1) 的直線l與橢圓交于C,D兩點,并與x軸交于點P,直線AC與直線BD交于點Q.

4 小結反思

《普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》中明確指出:“高中數學課程以學生發展為本,落實立德樹人根本任務,培育科學精神和創新精神,提升數學學科核心素養”[3].在平時的解題教學中,為了達到以上目標,可以通過下面兩個方面來落實.

4.1 重視基礎和通性通法

2023 年新高考II 卷第21 題,滿分12 分,其中第(1)問4分,第(2)問8 分,重慶市194394 位考生的平均分是3.28 分,得分率僅為27.33%.出現這一問題的原因,一方面學生的基礎出了問題,第(1)問就有4 分,肯定有部分學生沒有作答正確;另外一方面,學生對解決解析幾何問題的通性通法掌握不夠,第(2)問的直線設法,有一定數學思維的同學都會選擇x=my-4 這樣來設直線,在后面處理非對稱結構就會輕松許多,得分就比較容易.如果選擇了另外一種設直線的方式,問題的難度將會變大,得分將困難得多.在教學中,一定需要注重學生基礎知識的掌握,同時也需要加強數學通性通法的理解和運用,通性通法不是一句口號,而是教會學生思考數學,運用數學,掌握數學的內在規律和本質.

4.2 適當拔高并探究拓廣

著名數學家波利亞說過:“在你找到第一個蘑菇(或做出第一個發現)后,要環顧四周,因為它們總是成堆生長的”[4].在教學過程中我們發現,很多習題都隱藏著更進一步的一般性的結論,或者具有高等數學的背景.這個時候需要教師引領學生對這些題目進行一題多解,變式研究,類比拓廣,有了對這個題目本質的深刻認識,就可以去查閱相關資料看是否有高等數學的背景,那么此時對這個問題就會有一個全面系統的了解.在探究問題的過程中,可以訓練學生的思維能力,提升他們的核心素養,注重對學生探究意識的培養應該是每一位高中數學教師的必備素養.