一道圓錐曲線壓軸題的探究與推廣

張家港市鳳凰高級中學(215000) 姜之聰

南京航空航天大學蘇州附屬中學(215000) 李文博

探索性問題歷來倍受高考青睞,它有利于考察學生的思維品質和學習潛能;有利于培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力和創新意識.一個探索性問題,往往蘊含豐富的數學知識、性質,常是學習者探求一類問題的“窗口”.本文以一道某地高三模考中的圓錐曲線壓軸題為例,探究推廣出該類問題的一般性結論,希望能帶給讀者些許收獲.

1 試題呈現,探究問題本質

題目已知A,B分別是橢圓=1 的左右頂點,過C的右焦點的直線l交C于D,E兩點,過點D作直線:x=4 的垂線,垂足為F,直線lEF與C的另一個交點為G.

(1)直線lEF是否過定點? 若是,則求出該定點;若否,則請說明理由;

(2)求直線lAE與直線lBG交點的橫坐標.

2 縱向推廣,歸納一般結論

上述試題研究的是橢圓的一種特殊性質,根據由特殊到一般的數學思想,可得下述兩條結論:

圖1

圖2

圖3

圖4

3 試題演練,熟練解題技巧

(1)求雙曲線C的標準方程;

(2)經過點F2的直線l與雙曲線C交于A,B兩點,過點A作直線x=2 的垂線,垂足為D,過原點O作OM⊥BD,垂足為M.則在x軸上是否存在定點N,使得|MN|為定值? 若存在,求出點N坐標;若不存在,請說明理由.