主線視角下探析雙曲線漸近線的相關優美性質

廣東省惠州仲愷中學(516229) 陳偉流

自“三新”(新課標,新教材,新高考)背景的課程改革推進實施以來,高考命題已悄然從能力立意轉向以為素養導向,表現為試題深入考查基礎知識和基本能力,彰顯了國家人才選拔和支持“雙減”落地的顯著特點,對學生的數學運算,邏輯推理,數學抽象,直觀想象等核心素養的考查既深入又全面,凸顯了數學學科強大的基礎性作用.具體到解析幾何模塊中,以雙曲線為載體背景的試題已多次現身于高考真題或模擬試題中,有效地打破了以往常規的命題套路,其中以漸近線為核心考點的試題涵蓋了與距離,中點,面積等關聯的定值定點問題,既傳承經典,又常考常新,凸顯了雙曲線區別于橢圓及拋物線的獨特魅力,充分考查了學生問題解決的思維品質和思維過程.為此,筆者以雙曲線的漸近線為關聯主線,通過探析相關典型的優美性質,旨在厘清知識的來龍去脈,明晰其底層邏輯,提升學生的解題認知能力和應用能力.

1 性質探析

圖1

性質2已知不過原點的直線交雙曲線=1(a,b ＞0)于A,B兩點,交兩條漸近線于C,D兩點,其中A,C恒在同一象限,則恒有|AC|=|BD|.

圖2

設lAB的方程為x=my+t.因lAB與雙曲線相切,故由①式知

圖3

圖4

圖5

注若兩雙曲線有相同的漸近線且焦點位置相同,因離心率相同,稱二者是相似雙曲線,性質5 及性質6 則是從本質上揭示了相似雙曲線間的一組優美性質.

性質7已知直線l1,l2是雙曲線=1(a,b ＞0)的兩條漸近線,動直線交l1,l2于A,B兩點,過AB的中點M作l1,l2的平行線交雙曲線于C,D兩點,則AB//CD.

綜上,AB//CD.

注通過性質7 的探索知: 直線AB截雙曲線漸近線所得弦長的中點是決定平行關系的關鍵因素,與直線AB是否過定點并無關聯.

2 應用提升

以雙曲線漸近線為核心考點的解析幾何試題涵蓋長度,面積等度量問題及點線關系等位置問題,綜合考查學生的運算求解,空間想象等關鍵能力,對數學運算,邏輯推理,直觀想象等核心素養有較高的導向要求.為此,筆者列舉幾道經典模擬試題,供讀者參考借鑒,以期為高考備考提供一定的借鑒.

題1(2023 年湖南岳陽統考三模試題)已知點(1,2)在雙曲線E:=1 (a ＞0,b ＞0) 的漸近線上,點A(-3,2)在E上,直線l交E于B,C兩點,直線AB與直線AC的斜率之和為0.

(1)求直線l的斜率;

(2) 若M為雙曲線E上任意一點,過點M作雙曲線的兩條漸近線的平行線,分別與兩條漸近線交于點P,Q,求ΔMPQ的面積.

答案(1)直線l的斜率為6;(2)ΔMPQ的面積為4,過程略.

(1)求雙曲線C的標準方程;

(2) 設直線l是曲線C在點P(x0,y0) 處的切線,且l分別交兩條漸近線l1,l2于M,N兩點,O為坐標原點,求ΔMON的面積.

(1)當k變化時,求點M的軌跡方程;

(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C,D兩點,問: 是否存在實數k,使得A,B是線段CD的兩個三等分點? 若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.

圖6

3 結束語

《普通高中數學課程標準》(2017 年版2020 年修訂)》在教學內容的設計上強調了三個關注理念: 即關注同一主線內容的邏輯關系,關注不同主線內容間的邏輯關系,關注不同數學知識所蘊含的通性通法,數學思想[2].以雙曲線漸近線的主線思想為例,其內容涵蓋了與長度、面積關聯的定值定點內容及平行,垂直,相切等位置關系問題,考查了直曲聯立法,點差法等解析幾何通性通法思想.在漸近線主線視角的光芒下,凝聚其優美性質的知識寶庫可謂是博大精深,包羅萬象,所以在一線教學中,教師要以知識主線統領的視角審視教學內容,厘清不同知識在底層邏輯的區別與聯系,如此才能為學生帶來層次分明,亮出突出,聯系緊密的課堂內容,以培養數學抽象的高階思維和整體認知的數學觀,促進高考備考的提質增效[2].