指向學生“思維進階”的學習力提升

丁萍

［摘 ?要］ 發展學生的數學高階思維關鍵是要讓學生的數學思維“有理”“有序”“有向”。“提純”能讓學生數學思維由表及里，“轉換”能讓學生數學思維由此及彼，“蓄力”能讓學生數學思維去偽存真，“構體”能讓學生數學思維由點到面。教學中，教師要積極培養學生質疑問難的習慣、品質，引導學生數學學習“再發現”“再創造”，進而不斷提升學生數學學習力，發展學生數學核心素養。

［關鍵詞］ 小學數學；學習力提升；思維進階

發展學生的數學思維是數學學科教學的核心。在數學學科學習過程中，學生的思維是逐漸進階的，從低階走向高階。為了促進學生的數學思維進階，教師在數學教學中要有意識地提升學生的數學學習力。指向學生思維發展的學習力提升，要求教師在教學中要引導學生進行自主建構，要引導學生進行數學學習“提純”，為學生的數學學習“蓄力”“賦能”。在數學學科教學中，學生的“學習力提升”與“思維進階”是相輔相成、相得益彰的。提升學習力有助于學生的思維進階，學生的思維進階反過來能促進學習力的提升。

一、提純：讓學生數學思維由表及里

學生的高階思維發展是一個由淺入深、由表及里的過程。在數學學科教學中，教師應當在數學學科知識的重點、難點、核心、關鍵處發力。一般來說，數學學科知識的本質往往隱藏在知識之中，尤其是隱藏在核心知識（比如數學基本原理、定義、定理、規律等）之中。教師要引導學生經歷將生活經驗數學化過程，這個過程就是對學生的生活經驗進行提純的過程。所謂“提純”就是學生數學學習“數學化”“公理化”“形式化”的過程［１］。通過對數學學科知識提純，學生的數學思維能超越知識表象、表層，進入知識的本質、關聯的深處。

在提純的過程中，教師一方面要引導學生從生活經驗過渡到數學學科知識，另一方面要對數學學科知識進行探究，這是“橫向數學化”和“縱向數學化”的過程。以“2、5的倍數的特征”這一部分內容的教學為例，部分教師在教學這部分內容時，常常會列舉出一些2、5的倍數，然后讓學生觀察它們的特征。通過教師的書寫整齊地排列，學生或許能產生一種數學性的發現。比如，2的倍數的特征是個位上的數是“0、2、4、6、8”，5的倍數的特征是個位上的數是“0、5”等。這樣的教學，只能讓學生停留在對知識的表層認知上，使學生“知其然而不知其所以然”。為了發展學生的數學思維，讓學生對數學知識的認知“由表及里”，教學中教師可以試探性地提問：“為什么2、5的倍數的特征只需要我們關注個位數？”這樣的一種試探性的提問，能激發學生的多種猜想。比如，筆者在教學中采用這樣的一種“探問”方式，讓學生猜想“一個數是否是2的倍數可能與這個數前面的數無關”。圍繞學生的這種大膽猜想，筆者引導學生開展深度探索：將任何一個數分為個位上的數和整十數，結果發現整十數都是2的倍數。由此，學生深刻地認識到“判定一個數是否是2的倍數，主要是看個位上的數”的道理。

“提純”不僅要求教師要深入研究數學學科知識，更要研究學生的具體學情。教師要更新教學理念，變革教學方式、教學方法，通過引導學生不斷探究，發展學生的高階思維。在教學中，教師要對數學學科知識追本溯源，同時要引導學生對數學學科知識本質進行追問。正如美國數學家赫斯所說：“問題不在于教學的最好方式是什么，而在于數學是什么。”［２］

二、轉換：讓學生數學思維由此及彼

在數學學科教學中，教師不僅要引導學生對數學學科知識進行“提純”，更要引導學生對數學學科知識進行“轉換”。提純讓學生的數學思維由淺入深、由表及里，轉換則讓學生的數學思維由此及彼。通過轉換，培育學生的數學思維的靈活性，讓學生的思維能在不同的數學表征之間轉換。通過思維轉換，能有效培育學生靈活解決相關的實際數學問題的能力。同時，思維轉換不是讓學生的思維囿于一隅，而是能學會變通。

在數學學科知識教學中，教師要賦予學生一種“使熟悉的事物陌生化”的洞察力，賦予學生一種“視角轉換的想象力”。比如，教學“三角形的穩定性”時，學生受到了經驗負遷移的影響，認為三角形的穩定性就是三角形比較穩固、三角形的穩定性就是三角形搖不動等。這些是學生基于經驗性認知而形成的一種根深蒂固的觀念，會對學生的數學學習產生“負遷移”，嚴重影響學生建構正確的數學知識和形成正確的數學觀念。

如何讓學生轉變數學迷思概念？筆者在教學中借助小組合作操作，引導學生進行思維轉換。比如，筆者給學生分發若干根小棒，讓學生用這些小棒圍成三角形、平行四邊形。在同組學生用三根小棒圍三角形、平行四邊形之后，筆者讓學生彼此之間將圍成的三角形、平行四邊形等進行比較。結果學生發現，如果所用的小棒的規格相同，所圍成的三角形的大小、形狀就完全相同，圍成的平行四邊形的形狀、大小卻不盡相同。學生這樣的思維轉換，不是教師強制、逼迫下的轉換，而是教師啟發、引導下的轉換，是一種積極主動的轉換。通過這樣的轉換，讓學生能深刻理解數學學科知識的本質，即“數學意義上的三角形的穩定性不是指三角形拉不動，而是指三角形的三條邊的長度確定了，這個三角形的大小、形狀也就確定了”。引導學生進行思維轉換，能讓學生在數學知識的最本質的地方有所把握，有助于促進學生對數學學科知識的意義建構。

思維轉換主要著眼于學生的數學思維視角、方向等，思維轉換能促進學生的數學思維的有效發展。通過數學思維轉換，有助于學生在數學學習中靈活變通。在數學教學中，教師要引導學生進行積極主動的探尋、比較，要讓學生從數學學科意義上考量。教師通過恰當的引導、組織，能讓學生突破自我的思維局限、思維桎梏、思維定式，讓學生走出自我的迷思。

三、蓄力：讓學生數學思維去偽存真

發展學生的高階思維需要借助一定的“勢能”來助力。在數學學科知識教學中，教師要始終關注數學學科核心知識、關鍵知識。要立足于“高觀點”“大視野”，聚焦于數學學科中的抽象性、概括性、包容性、解釋性強的知識，這就是“上位知識”［３］。數學學科的“上位知識”具有一種生成性、生發性的特點。“蓄力”能讓學生的數學學習聚焦、聚力于數學學科的上位知識，只有聚焦于數學學科的上位知識，才能讓學生的數學學習綱舉目張。在數學學科知識教學中，聚力于數學學科的上位知識，其他相關的數學知識就能被提起來。

比如教學“異分母分數加減法”這一部分內容時，筆者提出發散學生思維的問題：“異分母分數相加減怎樣計算？”由此引導學生用“畫圖法”“化小數法”“通分法”等進行探索，打通學生的思維、經驗等。在教學中，教師不僅要引導學生學會計算異分母分數加減法，更要放眼于整個的“加減法”知識，將“整數加減法”“小數加減法”等融入其中，將學生放置于一個更大的知識體系和思維場域之中，引發學生高階思維、高階認知的發生。

（1）知識回顧：“整數加減法”的法則是怎樣的？“小數加減法”的法則又是怎樣的？

（2）求同比較：“整數加減法”“小數加減法”和“異分母分數加減法”的法則有怎樣的共同點？

（3）高階思維：無論是整數加減法、小數加減法還是分數加減法，都是將不同計數單位的數轉化成相同計數單位的數，即“只有計數單位相同才能直接相加減”。

這樣重要的“加減法”的內在性算理，就是“整數加減法法則”“小數加減法法則”以及“異分母分數加減法法則”的上位概念。當學生在數學學習中借助高階思維建構了這樣的“大概念”，學生就能積極主動地用“大概念”來解釋數的加減法和指導數的加減法的學習實踐。這樣的學習過程就是一種不斷“去偽存真”的過程。

蓄力是為了發力。在數學學科知識教學中，教師要找準“發力點”，在核心知識、上位知識等處發力，讓學生積極主動地應用核心知識、上位知識指引自我的數學學習。借用生物學的術語，“上位知識”就是數學學科知識的“DNA”，是學生學習的最小單位。這些上位知識是具有活性和繁衍能力的一種知識，也是其他相關數學學科知識得以生發、依附的主根。

四、構體：讓學生數學思維由點及體

美國學者杜威曾經說，學生的思維一般來說有兩種運動：一是著眼于發現的歸納性運動，二是用來檢驗的演繹性運動［４］。在數學學科教學中，教師一方面要催生學生的數學發現，另一方面要引導學生積極地建構、創造。在這個過程中，教師不僅要引導學生把握數學學科知識的本質，更要引導學生把握數學學科知識的關聯。因此，教師必須引導學生將數學學科知識串接起來，連點成線、連線成面、構面成體。通過勾連知識，讓學生的數學思維也能勾連起來，讓學生的數學思維能由點及線、由線及面、由面及體。

在數學學科學習中，學生的數學思維往往是“點狀”的。教師就要引導學生的思維實現進階，由“點狀”提升至“線狀”、由“線狀”發展為“體狀”。“體狀”的思維就是一種整體性、立體性、結構性、系統性的思維。比如教學“梯形的面積”這一部分內容時，在學生應用“割補法”推導出“梯形的面積”之后，筆者適時追問：“我們已經學習了哪些平面圖形的面積？推導這些平面圖形我們分別用了哪些方法？其中蘊含著怎樣的數學思想？這些平面圖形的面積公式之間有怎樣的關系？”

這樣的問題能活化學生的數學思維，催生學生的數學想象。當學生的數學思維阻滯時，筆者引入多媒體課件，向學生動態展示梯形演變成三角形的過程。學生驚異地發現，原來當梯形的上底變成一個點時，梯形的面積就演變成了三角形的面積。由此，學生進行相似性聯想：“平行四邊形是否可以看成上下底相等的梯形的面積公式？長方形是否可以看成是上下底相等、并且斜邊垂直于上下底的梯形的面積公式？正方形是否可以看成是上下底和高都相等的梯形的面積公式？”在相似性聯想的過程中，學生深刻地感受、體驗到諸多的數學知識之間的聯系。

在此基礎上，筆者追問：“既然梯形的面積公式可以表征所有的多邊形的面積公式，為什么我們在計算多邊形的面積時不采用梯形的面積公式，而是靈活地采用各個多邊形自身的面積公式呢？”通過這樣的追問，引導學生進行辯證性思維，讓學生深刻認識到知識的普遍性與特殊性、共性與個性、復雜性與簡潔性的關系。學生的思維由此實現點的串接、線的串通、面的勾連、體的形成，其數學思維呈現出一種生長的態勢。

提升學生的數學思維，發展學生的高階思維，關鍵是要讓學生的數學思維“有理”“有序”“有向”。教學中，教師要開拓學生的思維空間，賦予學生思維的權利，引導學生積極主動地思維。教師要積極地培育學生的質疑問難的習慣、品質，引導學生的數學學習“再發現”“再創造”，進而提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

數學是思維的體操。教師要提升學生的高階思維，高階思維的發展是學生數學學習力提升的重要標識。教師要積極探尋學生數學思維的發展的起點、生長的關鍵節點，引導學生的數學思維由此及彼、由表及里、去偽存真、由點到體等，促進學生的數學思維不斷發展、進階，促進學生的數學學習力不斷提升。

參考文獻：

［１］ 李光樹. 小學數學學習論［Ｍ］. 北京：人民教育出版社，２０１５.

［２］ 汪繩祖. 小學數學教育學［Ｍ］. 北京：高等教育出版社，１９９７.

［３］ 張興華. 兒童學習心理與小學數學教學［Ｍ］. 南京：江蘇教育出版社，２０１１.

［４］ 陳曦. 借助直觀表征培養數學思維能力［Ｊ］. 小學數學教育，２０１６（１７）：３－６.