合理構建坐標系，方程間轉化應用

【摘要】本文結合實例，以參數方程、極坐標方程和普通方程之間的互化為基礎，探尋并研究高考坐標系與參數方程部分的考查形式與方向，總結類型，形成框架，構建體系，引領高中數學教學與高考復習備考．

【關鍵詞】高中數學；參數方程；坐標系

作為高考選考題之一，“坐標系與參數方程”模塊的考查方式以解答題為主，往往通過兩小題來設置，解答此類問題的關鍵是能夠初步理解直角坐標系與極坐標系等相關概念以及坐標系的構建，還有對應點的位置的表示，理解并掌握參數方程、極坐標方程與直角坐標方程的相關意義，以及不同方程之間的轉化與應用，并能用來解決一些簡單的數學問題等．

1" 不同方程間的轉化問題

坐標系與參數方程中，基本知識與應用都離不開極坐標系、參數坐標系、平面直角坐標系這三個基本坐標系，對應極坐標方程、參數方程與普通方程這三個基本方程，以及兩兩之間的聯系與等價轉化．

例1" （2022年高考數學全國甲卷·22）在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為x=2+t6y=t（t為參數），曲線C2的參數方程為x=－2+s6y=－s（s為參數）．

（1）寫出C1的普通方程；

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C3的極坐標方程為2cosθ－sinθ=0，求C3與C1交點的直角坐標，及C3與C2交點的直角坐標．

分析" （1）根據曲線C1的參數方程，消去參數t，結合關系式的變形與化簡，通過整理求得對應的普通方程；（2）根據條件，將曲線C2所對應的參數方程、曲線C3所對應的極坐標方程轉化為相應的普通方程，通過聯立方程組求解對應的解，進而確定相關曲線交點的直角坐標．

解" （1）由C1：x=2+t6y=t（t為參數），

消去t得x=2+y26，

所以C1的普通方程為y2=6x－2（y≥0）；

（2）由C2：x=－2+s6y=－s（s為參數），消去s得C2的普通方程為

y2=－6x－2（y≤0），

由C3：2cosθ－sinθ=0，

可得2ρcosθ－ρsinθ=0，

則2x－y=0，

由y2=6x－2，2x－y=0，

解得x=12，y=1，或x=1，y=2，

所以C3與C1交點的直角坐標為12，1和（1，2）；

由y2=－6x－2，2x－y=0，，

解得x=－12，y=－1，或x=－1，y=－2，

所以C3與C2交點的直角坐標為

－12，－1和－1，－2．

點評 "此類問題以直線、圓或圓錐曲線為問題背景，借助不同的坐標系背景并加以融合，體會在極坐標系、參數坐標系、平面直角坐標系中刻畫點、曲線等的位置、聯系與區別，解答此類問題的關鍵是理解與掌握極坐標方程、參數坐標方程、直角坐標方程的互化與應用，主要考查數學運算等核心素養以及化歸與轉化的數學思想等．

2" 參數方程及應用問題

參數方程有著相應的基本概念與對應的幾何意義，特別是點、直線、圓以及圓錐曲線，借助參數的幾何意義，進一步加以簡單的綜合與應用．

例2" （創新題）在極坐標系中，圓C：ρ=4cosθ．以極坐標系中的極點O為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系xOy，過點M（－1，－33）的直線l的傾斜角為α．

（1）試求直線l的參數方程，以及圓C的直角坐標方程；

（2）已知直線l與圓C交于A，B兩點，且A為線段MB的中點，求α的大小．

分析" （1）根據題設條件，由過定點的直線所對應的傾斜角直接確定對應直線的參數方程；結合圓的極坐標方程的等價轉化與應用，通過轉化公式來確定圓C的直角坐標方程；（2）通過對應點的參數的設置，將直線l的參數方程代入相應圓C的方程中去，消參得到相應的二次方程，結合參數的幾何意義來綜合與應用，實現問題的解決．

解" （1）依題可得直線l的參數方程為

x=－1+tcosαy=－33+tsinα（t為參數，0≤αlt;π）.

由圓C：ρ=4cosθ，

可得ρ2=4ρcosθ，

利用公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，

所以x2+y2=4x，

即（x－2）2+y2=4，

可得圓C的直角坐標方程為（x－2）2+y2=4；

（2）設A，B對應的參數分別為tA，tB，

將直線l的參數方程中相關的坐標參數代入圓C的直角坐標方程中，

并化簡整理可得t2－6t（3sinα+cosα）+32=0，

判別式Δ=363sinα+cosα2－4×32gt;0①，

所以tA+tB=6（3sinα+cosα）=12sin（α+π6），

tAtB=32，

又A為MB的中點，

所以tB=2tA，

代入tA+tB=12sinα+π6

有tA=4sinα+π6，

可得tAtB=2tA2=32sin2α+π6=32，

即sin2α+π6=1，

因為0≤αlt;π，

所以π6≤α+π6lt;7π6，

從而α+π6=π2，

解得α=π3，

又α=π3滿足①式，所以所求α=π3．

點評" 涉及參數的幾何意義的構建與應用，往往是考查中的一個重點與難點．抓住直線、圓錐曲線中參數方程所對應的參數的幾何意義，可以使相應的數學問題得以快速解決．

結語

“坐標系與參數方程”模塊的考查，主要考查的是極坐標方程坐標、參數以及直角坐標方程這三類方程之間的轉化與應用，合理融入函數與方程、不等式、三角函數以及解析幾何等相關知識．試題難度中等，重在邏輯推理以及數學運算等方面核心素養的考查，以及對應數學思想方法與技巧的應用等．