高中數學k階遞推數列的研究

【摘要】由數列的遞推公式求通項公式是數列學習中的重點和難點，但是遞推數列無法直接求解.在某些情況下，遞推數列的遞推關系可能非常復雜或無法用解析的方式表示，這樣就無法直接求解數列的某一項或整個數列.所以學生通常都喜歡求出通項公式，這樣感覺把整個數列都把握了.本文主要解決由k階遞推數列推導出數列通項公式的問題，并且利用矩陣知識進行證明，解決遞推數列推導出數列通項公式的問題.

【關鍵詞】高中數學；k階遞推數列；通項公式

高中數學學習階段根據數列的遞推公式推導數列的通項公式是一個難點內容.如果我們從一個高觀點下研究就會有全新的思考和認識.本文對中學課本中學生比較難理解的遞推數列進行研究和推廣，希望對學生有所啟迪.

下面以高中引入的矩陣知識為例推導斐波那契數列的通項公式［1］.

斐波那契數列an滿足

an+2=an+1+ana1=1，a2=1n∈N* ，

若遞推公式使用矩陣［1］表示，

則有an+2=11an+1ann∈N*，

于是有an+2an+1=1110an+1ann∈N*，

記A=1110，

則有an+2an+1=Aan+1ann∈N*，

an+2an+1=Aan+1an=A2anan－1=A3an－1an－2=…=Ana2a1=An11n∈N*.

1" 計算an.

An的第2行去乘11 就是an+1，但用乘法求An是非常麻煩的.現在我們用矩陣的特征值理論計算An，現有特征值理論的有關定理如下［2］：

定理1" 屬于矩陣A的不同特征值的特征向量是線性無關的.

定理2" n階方陣A相似于對角矩陣的充要條件是A具有n個線性無關的特征向量.

1.1" 計算A的特征值與其對應的特征向量

由于f（λ）=|A-λE|=1-λ" 11" -λ=λ2-λ-1=0，

得A的特征根為λ1=1+52，λ2=1－52，

當λ=λ1時，

解方程組A－λ1EX=0，

A－λ1E=1－λ111－λ1→1－λ100，

得同解方程組為x1=λ1x2，x1=x2，

所以得A屬于λ1的特征向量為α1=λ1，1T，

同理求得λ2的特征向量為α2=λ2，1T，

因為λ1≠λ2，由定理1可知α1，α2線性無關.

1.2" 求A的相似對角陣

取P=α1，α2=λ1λ211，

則易知P為可逆陣，再計算P-1，

P|E=λ11λ211001 →

1001－1λ2－λ11λ2－λ1λ2λ2－λ1－λ1λ2－λ1，

所以求得P－1=1λ2－λ1－1λ21－λ1

=1515－12－15+12 .

由定理2知，對于矩陣A，有P－1AP=B（1） ，

其中B是A的相似對角陣

B=λ100λ2=1+52001－52 ，

由（1）式易得A=PBP－1，A2=（PBP－1）（PBP－1）=PB2P－1，…，An=PBnP－1

2" 計算An與an

=151+52n+1－1－52n+11+52n－1－52n1+52n－1－52n1+52n－1－1－52n－1.

an：an+2an+1=An11=PBnP－111

=151+52n+1－1－52n+11+52n－1－52n1+52n－1－52n1+52n－1－1－52n－111

=151+52n3+52－1－52n3－521+52n－13+52－1－52n－13－52.

對比兩相等矩陣的對應元素，得數列的通項公式為

an+1=551+52n－13+52－

1－52n－13－52，

an=551+52n－1－52n.

上述利用矩陣特征值理論解決斐波那契數列的通項公式，我們可簡寫為：

此二階循環數列an的特征方程為

x2=x+1，

其解為x1=1+52，x2=1－52.

設an=c1x1n+c2x2n，

解方程組c11+52+c21－52=1，c1（1+52）2+c2（1－52）2=1，

得c1=55，c2=－55，

an=551+52n－1－52n ，

此例若用待定系數法將不勝其煩且技巧性極強，這就是現代數學與中學數學中所遇到的一個特點：在高觀點下解決中學問題將會事半功倍.

本文從矩陣特征值角度研究了2階遞推公式，我們進行階數推廣.

定義1" 對于數列an：a1，a2，…，an，… ，如果存在一個自然數k和k個實數常數λ1，λ2，…，λkλk≠0，能使an+k=λ1an+k－1+λ2an+k－2+…+λkan，對所有正整數n均成立，那么an叫做k階遞推數列［3］.

定義2" 對于k階遞推數列相應的k次方程xk=λ1xk－1+λ2xk－2+…+λk－1x+λkλk≠0 ，叫做k階遞推數列an的特征方程［4］.

K階遞推數列是數列中一類常見的數列.等比數列即為一階遞推數列（顯然an+1=qan ，其中q=λ1≠0 ；等差數列即為二階遞推數列（顯然由an+2－an+1=an+1－an=d ，可得an+2=2an+1－an ）.

我們總結為以下定理：

定理" 如果具有關系式：an+2=λ1an+1+λ2anλ2≠0①的二階遞推數列an的特征方程：x2=λ1x+λ2λ2≠0②有兩個不同的實根x1，x2，那么數列an的通項公式可表示為an=c1xn1+c2xn2③.

其中實系數c1，c2 由方程組：

c1x1+c2x2=a1c1x21+c2x22=a2④唯一確定［5］.