基于分類討論思想的高中數學解題教學研究

【摘要】解題教學作為高中數學教學的一大組成部分，不僅是鍛煉學生思維、促進學生邏輯能力提高的有效舉措，也是高中數學開展的應然目的之一.分類討論思想作為一種事項劃分的解題思路，在高中數學解題教學中的應用具有簡化問題的價值.本文首先明確高中數學解題教學分類討論的標準與原則，進而提出分類討論思想在高中數學解題教學中的應用，旨在為提高高中數學解題教學質量提供助力.

【關鍵詞】分類討論；高中數學；解題教學

1" 高中數學解題教學分類討論的原則

其一，不遺漏原則.經分類討論所得的所有的外延總和，應與被分類的概念外延相一致.

其二，不重復原則.經分類討論所得的問題各事項不能一致，應互相排斥.

其三，統一標準原則.經分類討論所得的集合分類或概念應具有多層次性.因此問題事項分類可以分別進行，但每一次劃分必須要遵循統一標準.從數學語言角度出發進行表示：若全域為集合A，則分類成子集Ai1≤i≤n，則Ai應滿足以下兩個條件：（1）A1∪A2∪A3∪…∪An=A；（2）Ai∪Aj=，i≠j，1≤i≤n，1≤j≤n.

即將分類討論對象劃分為若干類別，其并集為全集，兩兩的交集為空集.

2" 分類討論思想在高中數學解題教學中的應用

2.1" 幾何解題中的分類討論思想

例1" 如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，△ABC內有一點O，且∠AOBgt;∠AOC，求證：OBlt;OC.

圖1

證明" 設∠AOB=a1，∠AOC=a2，

∠ABO=β，∠ACO=γ.

則由正弦定理得：

ABsina1=AOsinβ，ACsina2=AOsinγ.

因為AB=AC，

所以sina1sinβ=sina2sinγ.

又因為∠AOBgt;∠AOC，

即a1gt;a2，且a1+a2gt;180°，

得90°lt;a1lt;180°，0°lt;a2lt;180°.

在此區間sina2是非單調函數，因此展開分類討論.

①當a2≥90°時，

因為a1≥90°，且a1gt;a2，

則sina1lt;sina2，

所以sinβlt;sinγ，且γ，βlt;90°，

則γgt;β.

②當a2lt;90°時，

因為a1gt;90°，

則180°－a1lt;90°，

又a1+a2gt;180°，

得a2gt;180°－a1，

則sina1=sin180°－a1lt;sina2，

所以sinβlt;sinγ，且γ，βlt;90°，則γgt;β.

綜上，∠ABC=∠ACB，∠OBC=∠OCB，

所以OBlt;OC.

2.2" 由數學概念來明確分類標準

按照數學基本概念與定義對問題事項進行邏輯劃分，在解決問題時循序漸進進行分類討論.比如，分段函數概念，絕對值的定義：

a=aagt;00a=0-aalt;0.

例2" 函數fx=2x－1－2lnx的最小值為［3］.

解" 由題意知函數fx的定義域為（0，+∞），所以

當0lt;x≤12時，fx=1－2x－2lnx，此時fx單調遞減；

當xgt;12時，fx=2x－1－2lnx，

由f′x=2－2x，

得12lt;x≤1時，f′x≤0，此時fx單調遞減，

xgt;1時，f′xgt;0，此時fx單調遞增，又函數fx的圖象不間斷.

綜上，fx在0，1上單調遞減；在1，+∞上單調遞增，因此fxgt;f1=1，所以所求函數最小值為1.

2.3" 根據數學運算的需要確定分類標準

如偶次根式的被開方數為非負數，在整體求解時需要考慮到不等式兩邊同乘實數對不等號方向的影響，尋找解題規律.

例3" 正項數列an的前n項和為Sn，an+12=4Sn，

記bn=Sn·sinnπ2+Sn+1·sinn+1π2，若數列bn前n項和為Tn，則T100的值為（" ）

（A）-400." （B）-200." （C）200." （D）400.

解" 解得an=2n－1，Sn=n2，

那么bn=n2·sinnπ2+n+12sinn+1π2，

（1）當n=4k，k∈N時，

b4k=S4k·sin2kπ+S4k+1·sin（4k+1）π2=4k+12；

（2）當n=4k－1，k∈N時，

b4k－1=S4k－1·sin（4k－1）π2+S4k·sin4kπ2=－4k－12；

（3）當n=4k－2，k∈N時，

b4k－2=S4k－2·sin4k－22π+S4k－1·sin（4k－1）π2=－4k－12；

（4）當n=4k－3，k∈N時，

b4k－3=S4k－3·sin4（k－3）π2+S4k－2·sin（4k－2）π2=4k－32.

則b4k+b4k－1+b4k－2+b4k－3=4k+12－24k－12+4k－32=8，

所以T100=b1+b2+b3+b4+…+（b97+b98+b99+b100）=25×8=200，

故選（C）［4］.

解題評注由sinnπ2，n∈N周期性取值，將問題劃分為四類并進行分別求解，得出問題的內在規律后解決問題.

2.4" 不等式中的分類討論思想

例4" 設k∈N，求滿足不等式m+nlt;k的整數解組的m，n解集.

解" 學生在解題時幾乎無法對答案進行最直接求解.為了解決這一問題，就需要將k視為參數，并將與k相關的整數解的組數，設為gk.從特殊情況著手并得出其中的解題規律，提出猜想后求證.

當k=1時，

則有解0，0，即g1=1；

當k=2時，

則有解0，0，0，±1，±1，0，

即g2=1+4=5；

當k=3時，

則有解0，0，0，±1，0，±2，±1，0，±1，±1，±2，0，

即g3=1+4+4×2=13；

當k=4時，則有解0，0，0，±1，0，±2，0，±3，±1，0，±1，±1，±2，0，±3，0，±1，±2，±2，±1，

即g4=1+4+4×2+4×3=25.

猜想" gk=1+4×1+4×2+…+4k－1=1+2kk－1.

由此可得遞推式gk=gk－1+4k－1.

參考文獻：

［1］程斌斌.找準目標切入，問題巧妙突破——分類討論思想的應用［J］.數學之友，2023，37（08）：71-73.

［2］高利軍.分類討論思想解初中數學問題的不同情形應用分析［J］.數理天地（初中版），2023（15）：6-7.

［3］鄔吉利.注重數學思想 提升核心素養——以“中考專題復習課之分類討論思想”教學設計為例［J］.數學教學通訊，2022（35）：12-13+18.

［4］董文峰.分類討論思想在數學解題中的應用——以二次函數中的圖形存在性問題為例［J］.數學之友，2023，37（05）：28-30+34.