三類不同遞推數(shù)列問題的解題技巧分析

【摘要】遞推數(shù)列是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，在理論研究和實(shí)際問題解決中都具有廣泛的應(yīng)用.然而，由于其特性，解決遞推數(shù)列問題往往需要一定的策略和技巧.本文集中討論三種主要的遞推數(shù)列類型：an+1=Aan+BCan+D，an=an－1－an－2以及an+1=anan－1.對(duì)于每一種類型，深入探索其特性，提供解題技巧，并通過示例詳細(xì)分析.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；遞推數(shù)列；解題技巧

在數(shù)列知識(shí)中，以數(shù)列周期為背景的問題有很多，例如求解某一數(shù)列的第1080個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的值等，求解數(shù)列的周期是解答此類型問題的關(guān)鍵.而求周期的有關(guān)題型中，涉及的數(shù)列類型也有很多，例如分式型數(shù)列等.本文接下來將應(yīng)用幾個(gè)典型的例題，分別介紹三種不同類型的周期數(shù)列問題的求解技巧，幫助學(xué)生更準(zhǔn)確的計(jì)算對(duì)應(yīng)數(shù)列的周期.

1" an+1=Aan+BCan+D

形如an+1=Aan+BCan+D的分式數(shù)列，在數(shù)列an的遞推關(guān)系中，當(dāng)其滿足A+D=0時(shí)，則an為周期數(shù)列，解答這類型數(shù)列的周期問題，主要通過反復(fù)迭代的方式求解.具體求解這類型數(shù)列周期問題的思路為：①由實(shí)際分式數(shù)列出發(fā)，通過反復(fù)迭代得到周期T的值；②利用所求數(shù)列中一個(gè)周期內(nèi)的值求解；③根據(jù)題意利用周期性關(guān)系巧妙求解.

例1" 在數(shù)列an中，已知a1=2，an+1=1+an1－an，令數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Rn，求R2012的值.

分析" 本題首先通過對(duì)an+1=1+an1－an重復(fù)迭代，解得該數(shù)列的周期等于4，繼而解得第一個(gè)周期內(nèi)n=1，2，3，4對(duì)應(yīng)的數(shù)值，并利用4×503=2012解得R2012等于503個(gè)1相乘，解得R2012=1.

解" 由題意可知，an+1=1+an1－an，

所以an+2=1+1+an1－an1－1+an1－an=－1an，

而an+4=－1an+2=an，

所以an是周期T=4的周期數(shù)列，

又因?yàn)閍1=2，

a2=－3，

a3=－12，

a4=13，

a5=2，

a6=－3，

…，

所以R4=a1a2a3a4=1，

而2012÷4=503，

所以R2012=1×1×1×…×1=1503=1.

2" an=an－1－an－2

解答形如an=an－1－an－2的遞推數(shù)列的周期問題，確定其周期規(guī)律是求解的關(guān)鍵，也可以利用迭代的方式直接確定其周期數(shù)列的特征式子求解.具體求解此類型數(shù)列周期問題的思路：①根據(jù)題設(shè)條件，通常分析數(shù)列的前幾項(xiàng)數(shù)值并觀察其規(guī)律或者直接迭代等手段得到其周期式子并確定周期值；②結(jié)合題設(shè)條件，結(jié)合所求數(shù)與周期的關(guān)系確定周期內(nèi)對(duì)應(yīng)數(shù)的值求解.

例2" 整數(shù)數(shù)列an滿足an=an－1－an－2n≥3，若數(shù)列的前1492項(xiàng)的和等于1985，且前1985項(xiàng)和等于1492，則數(shù)列的前2001項(xiàng)的和等于多少？

分析" 本題首先通過迭代的方式確定周期T=6，進(jìn)而計(jì)算出前n項(xiàng)和Sn的值，并結(jié)合“數(shù)列的前1492項(xiàng)的和等于1985，且前1985項(xiàng)和等于1492”解得對(duì)應(yīng)的a2=493，繼而計(jì)算解得S2001=986.

解" 由題意可知，

an=an－1－an－2=an－2－an－3－an－2=－an－3=－an－4－an－5=an－6，

故an+6=an，

所以數(shù)列an是周期等于6的周期數(shù)列，

因?yàn)镾n=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an

=a1+a2+a2-a1+a3-a2+a4-a3+…+an-2-an-3+an-1-an-2

=an－1+a2，

所以Sn=an－1+a2，

所以S1492=a1491+a2=a3+a2=1985，

S1985=a1984+a2=a4+a2=1492，

所以a4－a3=－493，

故a2=493，

因此S2001=a2000+a2=2a2=986

3" an=an－1－an－2

形如an+1=anan－1的遞推數(shù)列，解答這類型數(shù)列的周期問題，可以通過構(gòu)造方程組，利用代數(shù)變形解得周期數(shù)列的特征式求解實(shí)際問題.求解此類型數(shù)列周期問題的具體思路為：（1）利用構(gòu)造方程組等手段解得原數(shù)列的周期數(shù)；（2）根據(jù)題意得到一個(gè)周期內(nèi)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值；（3）利用周期性關(guān)系及周期內(nèi)的相關(guān)數(shù)求解.

例3" 已知正項(xiàng)數(shù)列xn滿足xn+2=xn+1xn，且x1=1，x2=2，求x2012.

剖析" 本題首先利用xn+2=xn+1xn構(gòu)造方程組并解得其周期等于6，然后利用2012=335×6+2，解得x2012=x2=2.

解" xn+2xn=xn+1①，

xn+3xn+1=xn+2②，

①×②，可得xn+3xn=1，

所以xn+6xn+3=1，

即xn+6=xn，

則數(shù)列xn的周期等于6，

因?yàn)?012=335×6+2，

因此x2012=x2=2.

4" 結(jié)語

解答與數(shù)列周期有關(guān)的問題，準(zhǔn)確找到周期是作答的關(guān)鍵.最常用的方法便是觀察數(shù)列每一項(xiàng)的值尋找其規(guī)律，或根據(jù)實(shí)際條件利用迭代等手段解得其周期特征式，只要確定數(shù)列的周期和所求數(shù)與周期的關(guān)系，問題便迎刃而解.

參考文獻(xiàn)：

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