高中立體幾何問題解法探究

【摘要】立體幾何是高中數學中的一個重要內容，也是學生們常常感到困惑和難以理解的部分.本文通過對高中立體幾何問題解法進行探究，總結一些常見問題的解題思路和方法，旨在幫助學生更好地理解和掌握立體幾何知識.

【關鍵詞】高中數學；幾何性質法；向量法；空間坐標軸

1" 引言

高中立體幾何常見的內容包括：通過平面圖、視圖等方式來表示和描述立體圖形；研究直線與平面的相交、平行和垂直關系以及空間中點、線、面之間的距離和角度關系；計算多面體、圓柱、圓錐、球體等立體圖形的表面積和、體積和平移、旋轉、鏡像、錯切等幾何變換在立體圖形中的應用.本文針對常見的立體幾何問題介紹利用幾何性質法與向量法綜合運用的解題技巧來解決立體幾何問題，并通過實例說明具體的解題過程.

2" 幾何性質法與向量法綜合運用

例1" 如圖1所示，在正方體ABCD－EFGH中，P是邊EF的中點，Q是邊FG的中點，R是邊BC的中點，S是邊AB的中點.求證：四邊形PQRS是一個矩形.

圖1

圖2

解析" 首先，需要理解正方體的幾何性質.正方體是一個立方體，其六個面都是正方形，邊長相等且相互垂直，且兩兩相互平行.在正方體中，需要判斷四邊形PQRS是一個矩形.

建立空間坐標軸，如圖2所示.

設正方體每邊長為a，因為P，Q，R，S分別為邊EF、邊FG、邊BC和邊AB的中點，

所以各自坐標分別為Pa2，0，a，

Qa，a2，a，

Ra，a2，0，Sa2，0，0.

PQ=a2，a2，0，QR=（0，0，－a），

RS=－a2，－a2，0，SP=（0，0，a）.

PQ·QR=a2×0+a2×0+0×（－a）=0，

所以∠PQC=90°.

PQ·SP=a2×0+a2×0+0×a=0，

所以∠SPQ=90°.

RS·SP=－a2×0－a2×0+0×a=0，

所以∠RSP=90°.

根據矩形判定方法：有三個角是直角的四邊形是矩形，所以四邊形PQRS是一個矩形.

評析" 我們可以看到如何利用正方體的幾何性質以及向量法推導并證明四邊形PQRS是一個矩形.在解決立體幾何問題時，觀察圖形的特點，利用幾何性質來推導結論是非常有幫助的.這種方法可以使我們更好地理解立體幾何問題，并提供解決問題的線索.

例2" 如圖3，有一正三棱柱ABC－DEF，幾何體的所有棱長均為a，在棱FC上尋找一點G使得DB⊥平面AEG.

圖3

圖4

解析" 正三棱柱有上下底面為全等的兩個正三角形，側面由矩形構成，側棱平行且相等，且上下底面的中心連線垂直于底面，即側面與底面垂直的棱柱.

根據題意以及正三棱柱性質建立空間坐標軸如圖4所示，

設G坐標為0，－a2，x，

D點坐標為0，a2，a，

B點坐標為3a2，0，0，

A點坐標為0，a2，0，

E點坐標為3a2，0，a.

DB=3a2，－a2，－a，

AE=3a2，－a2，a，

AG=（0，－a，x），

根據線段垂直平面條件，得DB⊥平面AEG的條件為DB·AE=0和DB·AG=0.

所以可以得到DB·AG=－a22+ax=0，

得到x=a2，

所以G坐標為0，－a2，a2，

所以G為棱FC的中點.

評析" 該例題首先要了解正三棱柱的特點和性質，在此基礎上，建立合適的三維坐標系，利用向量以及線面垂直性質，建立方程求解，從而得到G點位置.

3" 結語

通過對高中立體幾何問題解法的探究，可以總結一些常見問題的解題思路和方法.在解決立體幾何問題時，通過觀察圖形的特點，可以利用幾何體的幾何性質，通過建立坐標系和運用向量法來推導結論.另外，對于確定點的位置或平面的條件，可以通過建立合適的三維坐標系，利用向量和線面垂直等幾何性質來求解方程，從而得到所需的點或平面的位置.綜上所述，通過運用幾何性質法與向量法的綜合運用，可以更好地解決高中立體幾何問題，提高對立體幾何知識的理解和掌握能力.

參考文獻：

［1］石守娟.高中數學立體幾何的解題技巧［J］.數理天地（高中版），2023（13）：28-29.

［2］徐福安.高中數學立體幾何的解題技巧和方法［J］.數理化解題研究，2023（12）：47-49.

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