借助逆向思維，解答數(shù)學(xué)難題

【摘要】高中數(shù)學(xué)的習(xí)題類型比較多，部分題目的難度比較大，利用常規(guī)方法難以解題，利用逆向思維可以降低解題難度，提高解題效率.因此，在高中數(shù)學(xué)解題中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維，有效解答數(shù)學(xué)難題，提高學(xué)生逆向思維應(yīng)用意識(shí)與能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；逆向思維；解題技巧

高中數(shù)學(xué)解題中，利用逆向思維，能夠提高學(xué)生解題效率，樹立學(xué)生解題自信，提高學(xué)生解題能力，提升學(xué)生解題水平.因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，引入相應(yīng)的例題，講解逆向思維的有效應(yīng)用.本文結(jié)合例題分析逆向思維在數(shù)學(xué)難題解題中的應(yīng)用.

1" 利用逆向思維，優(yōu)化解題過程

例1" 若函數(shù)f（x）=lnx+ax2－2在區(qū)間12，2內(nèi)有單調(diào)遞增區(qū)間，求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解" 因?yàn)閒（x）=lnx+ax2－2，

所以f′（x）=1x+2ax=2ax2+1x，

若f（x）在區(qū)間12，2內(nèi)有單調(diào)遞增區(qū)間，

則f′（x）＞0在x∈12，2有解，

所以a＞（－12x2）min，

因?yàn)間（x）=－12x2在12，2遞增，

所以g（x）＞g（12）=－2，

所以a＞－2.

2" 借助逆向思維，利用數(shù)學(xué)定理

例2" 已知m，n是兩個(gè)非零向量，且|m|=1，|m+2n|=3，則|m+n|+|n|的最大值是.

解" 根據(jù)（a+b）2≤2（a2+b2）的定理，

得出（|m+n|+|n|）2≤2（|m+n|2+|n|2），

因?yàn)閨m+n|2+|n|2=m2+2m·n+2n2，

|m|=1，

所以|m+n|2+|n|2=1+2m·n+2n2，

因?yàn)閨m+2n|=3，

所以|m+2n|2=9，

則|m+2n|2=m2+4m·n+4n2=9，

所以2m·n+2n2=4，

所以|m+n|2+|n|2=5，

則（|m+n|+|n|）2≤10，

則|m+n|+|n|≤10，當(dāng)且僅當(dāng)|m+n|=|n|時(shí)取等號(hào)，

所以|m+n|=|n|的最大值是10.

3" 利用逆向思維，發(fā)掘隱含條件

例3" 函數(shù)f（x）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都存在f（x+2）－f（x）=2f（1），如果y=f（x－1）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，f（0）=2，則f（2017）+f（2018）的值是.

解" 因?yàn)閥=f（x－1）關(guān)于x=1對(duì)稱，

所以y=f（x）的圖象關(guān)于x=0，

所以f（x）為偶函數(shù)，

因?yàn)閒（x+2）－f（x）=2f（1），

所以f（－1+2）－f（－1）=2f（1），

所以f（1）=0，

所以f（x+2）=f（x），

所以f（2017）=f（1）=0，f（2018）=f（0）=2，

所以f（2017）+f（2018）=2.

4" 利用逆向思維，明確解題思路

例4" 已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）.當(dāng)x≥0時(shí)，恒有x2f′（x）+f（－x）≤0，如果g（x）=x2f（x），則不等式g（x）＜g（1－2x）的解集是.

解" 因?yàn)閒（x）是定義在R上的偶函數(shù)，

所以f（－x）=f（x），

當(dāng)x≥0時(shí)，恒有x2f′（x）+f（－x）≤0，兩邊同時(shí)乘以2x，

所以x2f′（x）+2xf（x）≤0，

因?yàn)間（x）=x2f（x），

所以g′（x）=x2f（x），

所以g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）≤0，

所以g（x）在［0，+∞）上為減函數(shù)，

因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，

所以g（x）為偶函數(shù)，

因?yàn)間（x）＜g（1－2x），

所以|x|＞|1－2x|，

所以x2＞（1－2x）2，

所以3x2－4x+1＜0，

解得13＜x＜1.

5" 借助逆向思維，快速解決數(shù)學(xué)難題

例5" 假如實(shí)數(shù)a，b，c滿足

a2－bc－8a+7=0，b2+c2+bc－6a+6=0，

那么a的取值范圍是（" ）

（A）－∞，+∞.

（B）－∞，1∪9，+∞.

（C）0，7.

（D）1，9.

解" 因?yàn)?2是（A）（B）（C）三個(gè)選項(xiàng)中共有的元素，

所以當(dāng)a=12時(shí)，

b2+c2+bc－6a+6=b2+c2+bc－6×12+6=（b+c2）2+34c2+3＞0，

和題設(shè)中的方程不相符，

所以a≠12，通過排除法，正確答案是選項(xiàng)（D）.

6" 結(jié)語

逆向思維是數(shù)學(xué)問題分析和解答時(shí)的重要思維方式之一，能幫助學(xué)生快速找到解題思路，提高學(xué)生解題能力.因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)將逆向思維培養(yǎng)融入課堂教學(xué)，樹立學(xué)生逆向思維應(yīng)用意識(shí)，結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)題目，豐富學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生逆向思維應(yīng)用水平.

參考文獻(xiàn)：

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