例談二項展開式中系數與二項式系數的關系

【摘要】二項式定理作為計數原理模塊中的一個重要知識點，也是高考命題中的一個基本知識點．本文主要正確辨析二項展開式中的系數與二項式系數這兩個不同的概念，結合相關的應用問題加以正確理解與掌握，形成思維習慣，引領并指導數學教學與解題研究．

【關鍵詞】高中數學；二項式定理；二項式系數

二項式定理是高中數學基礎知識中較為獨特的一部分，在數學教學與學習過程中，應認真做好基礎知識與基本方法的梳理工作，精心配置相應的例題和習題，進行數學知識、思想方法和技巧策略的訓練，才能真正理解并掌握二項式定理及其相關知識．特別關于二項展開式的系數與二項式系數這兩個不同概念的辨析，對概念理解、思維發展、能力培養和核心素養的提升起著關鍵的作用．

1" 二項展開式的系數問題

二項式（a+b）n展開式的通項公式Tr+1=Crnan－rbr（其中0≤r≤n，r∈N，n∈N*）中，二項展開式的系數指的是對應展開式中除字母以外的系數部分．這里的系數主要是指常數部分，與相關的變量字母是相對應的．

例1" 二項式x2+2x8的展開式中x4的系數是（" ）

（A）16."" （B）70." "（C）560."" （D）1120.

分析" 根據題設條件，結合二項式定理的通項公式，根據題目中要求的相關項的指數來構建對應的方程，通過求解相應的參數r的值，代入二項式定理的通項公式來分析并求解對應的系數即可．

解" 在二項式中，設含x4的項為第r+1項，

則有Tr+1=Cr8×（x2）8－r×（2x）r=Cr8×2r×x16－3r，

令16－3r=4，

解得r=4，

則對應展開式中x4的系數為：C48×24=1120，

故選擇答案（D）．

點評" 這是應用二項式定理的通項公式的典型問題，通過二項式定理的通項公式熟練寫出所需的一般項，而結合題設條件，具體的解題思路實質是利用方程思想，根據條件列出方程，解出參數r的值，結合二項展開式的系數解出對應項的系數即可．

2" 二項展開式的二項式系數問題

二項式（a+b）n展開式的通項公式Tr+1=Crnan－rbr（其中0≤r≤n，r∈N，n∈N*）中，二項展開式的二項式系數指的是對應展開式中Crn的值．這里的二項式系數是獨立存在的，與其他常數和變量字母之間沒有聯系．

例2" 已知二項式x+13xn的展開式中偶數項的二項式系數的和比（a+b）2n展開式中奇數項的二項式系數的和小120，則第一個展開式中的第三項為．

分析" 根據題設條件，注意分析二項式系數的和、奇數項的二項式系數的和、偶數項的二項式系數的和這三者所對應的值，根據題意結合相應的關系式加以求解冪指數n的值，再求解相應的問題．

解" 由于（a+b）2n展開式中奇數項的二項式系數的和為22n－1，x+13xn的展開式中偶數項的二項式系數的和為2n－1，

依題意可得22n－1－2n－1=120，

即22n－2n－240=0，

解得2n=16或2n=－15（舍去），

則有n=4，

所以，第一個展開式中的第三項為：

T3=C24×x2×13x2=63x，

故填答案：63x．

點評" 二項式系數的性質是研究二項式定理的重要內容之一，主要考查展開式中某項的二項式系數與系數的區別和聯系，展開式中的最大的二項式系數或系數，以及通過賦值法求解某些特殊項的二項式系數或系數的和等問題．求二項式所有項的系數和，經常采用賦值法求解；求系數最大值或最小值時要區分冪指數n是偶數還是奇數．

3" 二項展開式的系數與二項式系數的應用問題

在正確辨析二項展開式的系數與二項式系數這兩個不同概念的基礎上，結合相關的應用加以綜合與應用，特別是新高考中的多項選擇題這種形式的命題，可以很好地融入二項式定理中的相關知識與不同概念．

例3" （2023屆浙江省寧波市九校高三（上）期末數學試卷）（多選題）若二項式x+2xn的展開式中二項式系數之和為64，則下列結論中正確的是（" ）

（A）二項展開式中各項系數之和為35.

（B）二項展開式中二項式系數最大的項為160x32.

（C）二項展開式中無常數項.

（D）二項展開式中系數最大的項為240.

分析" 根據題設條件，先由二項式系數和求得參數n的值，令x=1可求得各項系數之和來判斷選項（A），由二項式系數的性質可得二項式系數最大的項來判斷選項（B），由展開式的通項中x的指數確定有無常數項來判斷選項（C），列不等式組求得系數最大的項來判斷選項（D），從而得以綜合應用．

解" 因為二項式x+2xn的展開式中二項式系數之和為64，

所以2n=64，

解得n=6，

所以二項式為x+2x6，

則二項式展開式的通項公式：

Tr+1=Cr6×x6－r×2xr=Cr6×2r×x6－32r，

對于選項（A），令x=1，可得二項展開式中各項系數之和為36，錯誤；

對于選項（B），第四項的二項式系數最大，此時r=3，則二項展開式中二項式系數最大的項為T4=160x32，正確；

對于選項（C），令6－32r=0，可得r=4，所以二項展開式中的常數項為T5=240，錯誤；

對于選項（D），令第r+1項的系數最大，則Cr6×2r≥Cr－16×2r－1Cr6×2r≥Cr+16×2r+1，解得113≤r≤143，

因為r∈N，所以r=4，則二項展開式中系數最大的項為T5=240，正確；

綜上分析，結論中正確的是選項（B）（D）．

點評" 此類題型涉及二項展開式的系數與二項式系數的應用問題，巧妙地借助多選題，合理地將二項展開式的系數與二項式系數這兩個不同的概念融合其中，通過合理的場景創設以及概念辨析，加強對二項式定理的理解與應用．

4" 結語

正確辨析二項展開式的系數與二項式系數這兩個不同概念及其相關的應用，合理構建準確的知識與能力結構，從而在解題過程中正確應用，避免產生混淆而導致錯誤，讓學生形成良好的思維習慣，構建完善的知識架構與創新應用．