條件概率問題的破解“四法”

【摘要】條件概率作為概率與統(tǒng)計模塊的一個基本知識點，隨著新高考的實施與深入，在高考中的考查熱度與“曝光點”得以很大的提升，經(jīng)常以現(xiàn)實生活創(chuàng)新場景的應用形式出現(xiàn)．理解并掌握條件概率的定義、計算公式以及相關的解題方法至關重要.本文結合實例，就條件概率問題的常見破解技巧方法加以剖析，指導師生的數(shù)學教學與學習．

【關鍵詞】條件概率；高中數(shù)學；解題技巧

條件概率問題是現(xiàn)實生活中經(jīng)常用到的一個實際應用問題，也是概率模塊知識中的重點與難點．本文結合實例，就求解條件概率問題的四種常見解題技巧方法加以剖析，歸納解題規(guī)律與策略，拋磚引玉．

1" 定義法

利用條件概率的定義，回歸問題本質(zhì)，先求P（A）P（A）gt;0和P（AB），再由條件概率的計算公式P（BA）=P（AB）P（A），即可求解相應的條件概率P（BA）的值．定義法是解決條件概率問題的根本．

例1" （2022年高考數(shù)學天津卷·13）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為．

解析" 由題意，設第一次抽到A的事件為M，第二次抽到A的事件為N，

則P（M）=452=113，

P（MN）=452×351=1221，

利用條件概率的定義，可得

P（NM）=P（MN）P（M）=1221113=117，

故填答案1221；117．

點評" 定義法解決條件概率問題是破解此類問題中最常用的一種技巧方法．在實際解決條件概率問題時，有時條件概率的特征不是直接在題中展示出來，要結合題目條件的內(nèi)涵與實質(zhì)的挖掘，回歸條件概率的定義，進而結合定義法，利用條件概率的計算公式來分析與處理．

例2" 把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A，“第二次出現(xiàn)反面”為事件B，則P（B|A）等于（" ）

（A）12." （B）14.

（C）16." （D）18.

解析" 由古典概型知P（A）=12，P（AB）=14，則由條件概率知

P（BA）=P（AB）P（A）=1412=12，

故選擇答案（A）.

點評" 要解決條件概率問題，要具體分清事件A、B及其條件的構成，要理清相關的定義與對應的計算公式，結合對應的概率的計算公式加以分析與處理．解決條件概率問題時，關鍵是抓住條件概率的定義，把問題加以轉化再分析與處理．

2" 基本事件法

基本事件法是用來解決一些與古典概型相關的條件概率問題，巧妙利用古典概型的概率公式，分別求解事件A包含的基本事件個數(shù)n（A），以及在事件A發(fā)生的條件下事件B包含的基本事件個數(shù)n（AB），可得P（BA）=n（AB）n（A）．

例3" （2022年甘肅省酒泉市高考數(shù)學聯(lián)考數(shù)學試卷（5月份））同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記兩枚骰子正面向上的點數(shù)分別為x，y，則在2x+y=12的條件下，x與y不相等的概率是（" ）

（A）112."" （B）16."" （C）13."" （D）23.

解析" 由題意，設“2x+y=12”為事件A，“x與y不相等”為事件B，那么事件A中涉及的基本事件為：（3，6），（4，4），（5，2），

則知n（A） = 3，

事件AB中涉及的基本事件為：（3，6），（5，2），

則知n（AB）=2，

所以P（B|A）=n（AB）n（A）=23，

故選擇答案（D）．

點評" 基本事件法是解決古典概型背景下條件概率問題中比較常用的一種技巧方法．通過古典概型的基本性質(zhì)，結合相關基本事件的列舉法或排列組合法等來計算并確定相應的個數(shù)，進而通過古典概型的概率公式來分析與解決一些對應的條件概率問題．

3" 縮樣法

縮樣法的本質(zhì)就是縮減樣本空間，是一種縮小基本事件集合的方法．縮樣法通過去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，合理縮減樣本空間，進而利用古典概型的概率公式求解，可以很好地化繁為簡，優(yōu)化條件概率的求解過程．

例4" （2022年江西省南昌市高考數(shù)學二模數(shù)學試卷）從裝有4個紅球和3個藍球（除顏色外完全相同）的盒子中任取兩個球，則在選到的兩個球顏色相同的條件下，都是紅球的概率為．

解析" 依題意，已知選到的兩個球顏色相同，采用縮樣法來處理，而選到的兩個球顏色相同的基本事件個數(shù)有C24+C23=6+3=9種，選到的兩個球都是紅球的基本事件個數(shù)有C24=6種，所以在選到的兩個球顏色相同的條件下，都是紅球的概率P=69=23，故填答案23．

點評" 縮樣法的本質(zhì)就是在某一確定事件A發(fā)生的前提條件之下，合理確定事件B的縮減樣本空間

SymbolWA@ A=

SymbolWA@ ∩A，縮小范圍，從而在

SymbolWA@ A中計算事件B發(fā)生的概率，進而得到條件概率P（B|A）．通過縮樣法，可以通過列舉法或排列組合法來確定對應事件的基本事件個數(shù)，從而更加快捷有效地來破解條件概率問題．

4" 性質(zhì)法

結合條件概率和對立事件的定義，可得條件概率的基本性質(zhì)：（1）若事件B，C互斥，則P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）；（2）P（B|A）=1－P（B|A）等．利用以上相關的條件概率的基本性質(zhì)，可以非常有效地解決一些相關的條件概率問題．

例5" 在一個袋子中裝有10個球（除顏色外完全相同），其中紅球、黃球、黑球、白球分別有1個、2個、3個、4個，從中依次摸出2個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率為．

解析" 設“摸出第一個球為紅球”為事件A，“摸出第二個球為黃球”為事件B，“摸出第二個球為黑球”為事件C，

則有P（A）=110，

P（AB）=110×29=145，

P（AC）=110×39=130，

利用條件概率公式有：

P（B|A）=P（AB）P（A）=145110=29，

P（C|A）=P（AC）P（A）=130110=13，

由于事件B，C互斥，結合條件概率的性質(zhì)有

P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）

=29+13=59，

所以所求的條件概率為59，故填答案59．

點評" 利用條件概率的基本性質(zhì)P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）可使一些條件概率問題的計算較為簡單，但應注意這個性質(zhì)的使用前提是“事件B與C互斥”．特別在解決一些復雜事件的概率問題時，可以把復雜事件分為兩個及更多個的互斥事件，先求解這些互斥事件所對應簡單事件的概率，再利用條件概率的性質(zhì)來分析求解．

5" 結語

條件概率問題及其綜合問題，是近年新課標高考數(shù)學命題中的一個新考點，也是考查的一個創(chuàng)新點．隨著問題情境與設置方式的創(chuàng)新，以及試題難度的變化，往往在各類題型（選擇題、填空題或解答題）中都可以巧妙出現(xiàn)，很好地考查了基本知識點與技巧方法．而通過以上條件概率問題的破解“四法”，熟練掌握基本解題技巧與方法，結合問題類型與實際情況，采用合理有效可行的技巧方法來分析與解決問題，實現(xiàn)解題目標．