數列與函數及不等式的交匯問題探究

【摘要】數列與函數及不等式的綜合問題，是高考常考內容，這類問題綜合性強，涉及的知識點多，求解過程復雜且對解題技巧要求高，比如放縮法的恰當運用，是很多學生數列知識體系中的薄弱環節.本文以兩道高考模擬題為例，結合放縮法的運用，對數列與函數及不等式的交匯問題進行分析探究，以期幫助學生對這一知識點掌握得更加熟練.

【關鍵詞】高中數學；數列；函數；不等式

例1" （2022·東北聯考）設函數f（x）=lnx－px+1.

（1）求函數f（x）的極值點；

（2）當pgt;0時，若對任意的xgt;0，恒有f（x）≤0，求p的取值范圍；

（3）證明：當n∈N，且n≥2時，有ln2222+ln3232+ln4242+…+lnn2n2lt;2n2－n－12（n+1）.

思路分析"" （1）函數的極值點由函數的單調性決定，先增后減，函數有極大值，先減后增，函數有極小值［1］.因此首先根據函數的特性，找到函數的定義域，然后對函數進行求導，令f′（x）=0，所求坐標為f（x）的極值點；（2）在定義域xgt;0內，求出f（x）max的表達式，令f（x）max=0，則可求出p的取值范圍；（3）不等式的左邊可以看作數列lnxx的前n項和，首先可以想辦法與函數f（x）=lnx－px+1建立聯系，然后結合第（2）問證得的結論，以此為切入點進行化簡推理，是一條可行的思路［2］.另外，在化簡推理的過程中，通常會用到放縮法，進行適當的放縮是證明不等式的關鍵［3］.下面進行詳細講解.

解" （1）根據題意f（x）=lnx－px+1，

所以f（x）的定義域為（0，+∞），

求導得f′（x）=1x－p=1－pxx，

當p≤0時，f′（x）gt;0，此時f（x）在（0，+∞）上無極值點，

當pgt;0時，令f′（x）=0，解得x=1p，

此時，f（x）在0，1p上遞增，在1p，+∞上遞減，

f（x）有唯一極大值點x=1p.

（2）由（1）可知，當pgt;0時，

f（x）在x=1p處取得極大值f1p=ln1p，

根據f（x）的單調性，此極大值也是最大值，因此，要使xgt;0時，f（x）≤0恒成立，

則f1p=ln1p≤0，

解得p≥1，

即p的取值范圍為［1，+∞）.

（3）令p=1，由（2）可知lnx－x+1≤0，

即lnx≤x－1，

同理有lnn2≤n2－1，

則lnn2n2≤n2－1n2=1－1n2，

則有ln2222+ln3232+ln4242+…+lnn2n2≤1－122+1－132+1－142+…+1－1n2，

設a=1－122+1－132+1－142+…+1－1n2，

有a=（n－1）－122+132+…+1n2lt;（n－1）－12×3+13×4+…+1n（n+1）=

（n－1）－12－13+13－14+…+1n－1n+1

=（n－1）－12－1n+1=2n2－n－12（n+1），

即證得ln2222+ln3232+…+lnn2n2lt;2n2－n－12（n+1）.

例2""" （2021·湖南岳陽一模）已知數列an滿足a1=1，且點（an，an+1－2n）在函數f（x）=3x的圖象上.

（1）求an的通項公式，并證明an2n+1是等比數列；

（2）若bn=an+1an，數列bn的前項和為Sn，求證：Sngt;3n+23.

思路分析" （1）an的通項公式難以直接求得，但是可以根據問題中隱含的提示，一旦證得an2n+1是等比數列，求出an2n+1的通項公式，則an的通項公式即可容易求得，因此先根據題目已知條件，構建出an2n+1的表達式，再進行化簡，即可求出an2n+1的通項公式；（2）構建an+1an，列出其前幾項和為Sn，然后進行推理化簡，配合放縮法的運用，即可證得不等式，下面進行詳細講解.

解" （1）根據題意，點（an，an+1－2n）在函數f（x）=3x的圖象上，

可得an+1=2n+3an，

則有an+12n=3an2n+1，

即an+12n+1=32·an2n+12，

兩邊加1，有an+12n+1+1=32an2n+1，

由a1=1，得a121+1=32，

即證得an2n+1是以32為首項，32為公比的等比數列，

即an2n+1=32n，

所以an=3n－2n，

（2）由（1）得bn=an+1an=3n+1－2n+13n－2n，上下同時除以2n，化簡得

bn=3×32n－232n－1=3+132n－1gt;

3+132n=3+23n，

Sn=b1+b2+…+bngt;3n+23+232+…+23n=3n+231－2n3n1－23=3n+2－2×23n≥3n+2－2×23=3n+23，

即證得Sngt;3n+23.

結語

數列與函數的綜合問題一般是以函數作為背景，給出數列所滿足的條件，解決這類問題的關鍵是利用函數知識，將條件進行準確轉化，然后結合等差數列、等比數列的特性，以及不等式證明的方法（如放縮法等），即可解答問題.此類問題多考查函數思想及性質（多為單調性），需注意題中的限制條件，如定義域等.

參考文獻：

［1］莊志剛.一類函數與數列不等式問題的探究與思考［J］.中小學數學（高中版），2021（Z2）：79-82.

［2］武增明.巧用函數不等式lnx≤x-1簡證一類數列不等式［J］.數理化解題研究，2020（31）：6-9.

［3］陳華安.例析賦值放縮法證明與函數有關的數列不等式［J］.中學數學雜志，2014（03）：43-45.