多元函數最值問題中“元”的處理技巧

【摘要】多元函數的一類最值問題是困擾很多學生的“噩夢”，但只要掌握了多元函數問題中對多個變量的處理方式，即處理“元”的策略和思路，就能順利求解這類型的最值問題.處理多元函數中的“元”有很多方法和策略，題型不同涉及的方法策略也不同，本文主要介紹放縮消元、三角換元和差值換元策略，并通過典型的例題幫助學生深刻理解，正確運用上述策略解答多元函數最值問題.

【關鍵詞】高中數學；多元函數；解題技巧

多元函數最值問題是一個既繁復又有趣的主題.放縮消元、三角換元和差值換元可以將復雜問題轉化為可以接觸到的基礎問題.每一種處理技巧都擁有其獨特的優勢和適用場景，而理解和掌握這些技巧，能使學生在面對多元函數最值問題時更有信心，從而提高求解的效率和準確性.

1" 放縮消元

已知兩個或多個變量之間的關系時，求解對應最值時可以考慮運用放縮思路消去其中的變量，使問題轉化為更簡單的最值問題，繼而解答.放縮消元思路的運用，主要根據求最值的解析式結構特點和變量之間的關系放大或縮小，如通過放大分母從而縮小分式求最大值.具體解題步驟為：①根據已知的變量之間不等關系，所求最值的結構特點，考慮放大或縮小方向；②用不等關系式替代其中變量消元，得到放大或縮小的不等式，求放縮后解析式的最值；③利用不等式的傳遞性，求出滿足題意的最值.

例1" 假設x，ygt;0，已知xy≥1，求2x+2+1y+1的最大值.

分析" 已知x，y之間的不等關系式以及所求解析式屬于分式形式，則考慮根據不等關系式替代變量，如用y≥1x替換所求解析式中的變量y，得到放大后的單變量不等式，化簡并利用基本不等式求出最大值.根據不等式傳遞性，放大后所求的最大值一定是所求解析式的最大值.

解" 因為xy≥1，

所以y≥1x，

所以 2x+2+1y+1≤2x+2+11x+1=2x+2+xx+1=x2+4x+2x2+3x+2，

分離變量可得

2x+2+1y+1≤1+xx2+3x+2

=1+1x+2x+3.

因為x+2x≥2x·2x=22，

所以1+1x+2x+3≤4－22，

當且僅當x=2、y=22時，等號成立.

故2x+2+1y+1的最大值為4－22.

2" 三角換元

三角換元求解多元函數的最值問題，主要思路在于用三角函數代替所求解析式中的“元”，進而利用三角函數的關系式求出最值.具體解題思路為：①分析問題中已知關系等式的結構特點，結合三角函數的恒等公式等，例如sin2θ+cos2θ=1，將變量替換成三角函數，如已知x2+2y2=1可替換為x=cosθ、2y=sinθ；②將替換后的三角函數與所求解析式結合，借助輔助角公式等對其化簡；③最后在三角函數的范圍內，求得解析式的最值.

例2" 已知實數x，y滿足x+y2+3y2=－x－4y，則x+2y的最大值是.

分析" 由于已知條件給出關于x，y的具體等式，可考慮根據等式情況運用三角函數對變量進行替換，使問題所求轉化為單一的只含有變量θ的解析式，從而借助三角函數的有界性求最值，即對應問題所求最大值.

解" 由題意可得x+y2+3y2=－x－4y，

可變形為x+2y+122+3y+122=1，

令x+y+12=cosθ3y+12=sinθ，

可得x=cosθ－33sinθ，y=33sinθ－12，

將其代入x+2y中，可得

x+2y=cos θ+33sin θ－1=233sinθ+π3－1，

因為 233sinθ+π3－1≤233－1（當θ+π3=π2+2kπ，“k∈z”即θ=π6+2kπ等號成立），

所以x+2y≤233－1，

故x+2y的最大值為233－1.

3" 差值換元

當已知條件是多變量之和，可以運用差值換元對問題所求最值的解析式進行簡化，從而進一步解答.差值換元是指將多個變量看做與均值的相差式，如已知a+b=S可看做a=S2－t，b=S2+t（t是參數），此時解析式可統一轉化為用參數t表示的求最值問題，使問題求解更直接.具體解題思路為：①根據已知條件等式，假設參數，并用均值和參數表示各個變量；②將表達式代入所求解析式，得到只含參數的表達式；③根據具體結構特點，運用基本不等式求出最值，即對應問題答案.

例3" 已知a，bgt;0，且a+b=2，求11+a2+11+b2的最大值.

分析" 已知變量a+b的和求相關解析式的最大值，可以考慮運用差值換元思路解答問題，引入參數使a，b都有對應表達式，并將其代入所求最值的解析式中，可以得到關于t的表達式，運用基本不等式求最大值，可對問題做出解答.

解析" 由題意可得0lt;a≤b，a+b2=1，

令a=1－t，b=1+t（t≥0），

所以11+a2+11+b2=11+1－t2+

11+1+t2=2t2+2t2+22－4t2=ft，

令t2+2=m≥2，

則有y=2m－4m－2m=2m+8m－4≤

242－4，

當且僅當m=22時，等號成立.

故11+a2+11+b2的最大值為2+12.

4" 結語

本文所介紹的三種處理多元函數最值問題中“元”的處理策略中，都是將其轉化為一元函數進行求解，但不管是消去得到“新元”還是“換元”后得到的“新元”，學生都應注意變量的取值范圍，結合實際范圍，求解等價轉化后的一元函數最值問題，就能得到多元函數的具體最值大小.

參考文獻：

［1］王小國，李敏.多元最值中“元”的處理技巧［J］.數理天地（高中版），2021（06）：18-20+47.

［2］洪恩鋒.例談多元函數最值問題的五種解題意識［J］.河北理科教學研究，2016（03）：25-27.

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