高中數學解題教學中證明題的解題方法及應用探討

【摘要】在高中數學人教A版（2019）教材中，證明題題型相對較多，是教材中最具有代表性的題型之一，也是解題難點之一.在求解這一類題型時，教師必須創新，教授學生多種解題方法，并確保學生能夠學以致用.本文以高中數學解題教學中的證明題類型為基本背景，探討解題方法及其應用的基本思路，并結合實際例題展開教學實踐應用，豐富學生數學解題思維，提高學生數學解題能力水平，提升數學核心素養.

【關鍵詞】證明題；高中數學；解題教學

高中數學解題方法的傳授旨在由教師培養學生縝密的邏輯思維，同時提高學生的理論推理論證能力與解題能力.特別是在證明題解題過程中，學生經常面臨各種解題障礙，所以教師必須為學生明確證明題的解題流程，并為學生傳授不同解題方法，幫助學生順利求解證明題.

1" 高中數學解題教學中證明題的解題思路

高中數學證明題的關鍵在于題干和條件，然后就是推理方法以及書寫，這些都是學生在解決證明題時必須關注的焦點和必須掌握的能力.為此，下文將逐一展開論述.

1.1" 把握題干信息，提高解題準確率

高中數學證明題所給出的信息量通常較大，所以容易在最開始就讓學生望而卻步，解題過程也就無從談起.為此，教師應當指導學生正確梳理并總結歸納證明題題干中的關鍵信息，根據題干中所給出的條件與結論尋找新條件，以為結論成立奠定基礎.所以，題干中的所有信息都為條件和結論服務，學生需要證明這些條件，并在已知條件基礎上再提出新解題思路，最后形成完整的解題流程.當然，學生運用逆向思維解題也是可行的，學生需要提取題干中有效信息，并且同時將某些無效或者干擾信息排除，這些對于求解證明題也是非常重要的，如此可以提高學生的證明題解題效率［1］.

1.2" 結合核心條件，選擇合理解題方法

學生在求解證明題過程中必須把握核心條件，選擇正確合理的解題方法.比如，學生可以從證明的結果方向分析題目，主要利用題目中的某些已知條件證明題目，爭取建立所有問題之間的聯系.在這里，順推或者逆推兩種解題方法都能使用，兩種解題方法必須做到相輔相成，圍繞問題題干核心條件解題，綜合分析題目中隱藏的某些未知條件.在高中數學的幾何證明題中，已知條件是平鋪直敘于題面之上的，如要證明“面面垂直”這一條件，教師要求學生能夠快速聯想到“線面垂直”或者“線線垂直”等多種復雜情況，然后通過正推或者逆推兩種方法解題.在整個解題過程中，學生要圍繞核心條件明確解題思路，操作解題方法，只有這樣才能完整分析條件，最終正確解題［2］.

1.3" 合理運用推理解題方法，正確書寫解題過程

證明題的推理解題方法很多，其中歸納推理和類比推理方法都非常有用.歸納推理方法主要由點及面，是比較常用的推理解題方法.在歸納過程中，學生需要從局部出發，適當轉化證明題內已知條件，找出不同已知條件中的關聯，最后得出結論順利解題.類比推理方法則是一種特殊解題方法，它主要從不同但類似的已知條件出發解決問題，甚至還能衍生出類比演繹推理方法，在明確解題大前提、小前提基礎上完成推理解題過程.這里涉及證明題題目的具體情境，通過情境促進學生理解題目內容，最后快速準確得出結果.

當然，學生也需要正確書寫解題過程，認真分析、思考題目已知條件，并適當加入空間想象求解問題.書寫完成證明題解題過程后，學生還需要認真檢查解題過程，明確解題支撐結論，確保整個證明流程都準確無誤.養成良好的書寫習慣，學生在面對多種類型證明題時都能做到游刃有余、輕車熟路［3］.

2" 高中數學解題教學中證明題的解題方法實踐應用

高中數學解題教學中，教師會向學生傳授多種解題方法，特別是針對某些證明題的求解過程，能夠使用的解題方法非常豐富.

2.1" 綜合法的證明題解題實踐應用方法

證明題在高中數學中也屬于綜合題型，它所涉獵的知識內容非常廣泛.在解題過程中，學生必須掌握大量知識，如此才能駕馭綜合法解決證明題.教師首先要指導學生運用綜合法分析題目中所提供的已知條件，展開順向推理過程，最終推導得出結論，初步證明結論真實性.

例如" 在高中數學人教A版（2019）必修一的“不等式”一課中，教師就給出如下例題：

如果x，y，z是3個完全不同的實數，則證明x4+y4+z4＞xyzx+y+z.

這一題目中，學生要運用不等式基本定理來求解問題，結合上述不等式來分析不等式成立條件，即：因為x2y2+y2z2≥2xy2z，所以最終證明題目中不等式成立.

在綜合法分析過程中，分別運用了實數知識以及不等式定理知識，即通過各種知識來綜合分析得出證明題解題結論，幫助學生順利解題［4］.

2.2" 分析法的證明題解題實踐應用方法

分析法也能夠助力學生解題，它屬于一種典型的逆證法，要求學生具有較強的邏輯思維能力.換言之，學生采用分析法應該首先分析證明題題目中的關鍵條件與假設，初步證明結論正確.然后，再進行推理保證結論充分成立且結果正確.學生所得出結論必然是某些已知定理.

例如" 已知b＞0，請證明b2+1b2－2≥b+1b－2.

在求解這一證明題時，教師需要首先為學生推理證明不等式：b2+1b2+22≥b+1b+22.

在推理這一不等式成立以后，則需要化簡不等式，進一步觀察得出以下不等式：b2+1b2≥2.如此就能證明上述不等式是成立的.

在運用分析法解決不等式證明題過程中，教師需要為學生建立縝密的邏輯思維，幫助學生一步步思考并解決問題，最后形成閉環邏輯思維，學會運用開放條件解題［5］.

2.3" 歸納法的證明題解題實踐應用方法

歸納法在證明正整數n相關知識點證明題方面最為常用，該類證明題的解題流程往往是固定的，學生可以輕松掌握解題過程.就高中數學證明題解題實踐過程，教師會與學生共同采用歸納法解題，讓學生清晰意識并驗證正整數n求解的全過程，構建一套完整的推理模式.在推理過程中，學生還能準確找到其中隱藏的遞進推理關系，如此對于最終得出有價值結論幫助更大.

例如" 在求證（3n+1）×7n-1（n為正整數）這一式子能夠被9整除這一證明題時，教師為學生采用歸納法總結多種解題方案.首先假設n=1時，就能最終求解出（3×1+1）×7=27，27÷9=3.求解結果表示式子能夠被9整除，命題成立［6］.

其次假設n=k，則最終可以歸納假設（3k+1）×7k-1可以被9所整除，此時可進一步推理出如果n=k+1時，該命題也是成立的.

歸納法求解證明題的好處在于師生可以考量并羅列不同條件，如此對于求解某些關鍵證明題隱藏條件更為有效，證明題的難度也會因此而降低，更有利于推動學生解題過程，幫助學生形成良好的多元化解題思維，并讓學生懂得在日常學習過程中收集各種信息數據，做到學以致用［7］.

2.4" 函數法的證明題解題實踐應用方法

函數是高中數學人教A版（2019）中的重要知識內容，應用函數法就是利用函數知識求解數學問題，特別是在求解數學證明題方面，對于題目中隱藏的函數關系、概念、性質、規律甚至是圖象解讀都非常深入，能夠做到對數學問題的有效轉化，最終得出證明題結論.為此，教師需要帶領學生認真細致閱讀證明題題目信息，在這一過程中真正做到把握題干，進而從中得出正確的函數關系.這就是應用函數法的基本操作流程，學生能夠通過這一方法轉化原題題干部分，證明函數問題.

例如" 在證明函數最小值過程中，教師有必要將證明題目轉變為求解函數最小值的問題，并適當給出假設，轉化形成二次函數結果，且保證二次函數的取值范圍在0～1之間，在取值范圍內求解.教學中，教師也要為學生細致講解二次函數的基本性質以及數形結合思想，最終求解得出函數最小值，順利完成證明題求解過程［8］.

2.5" 反證法的證明題解題實踐應用方法

反證法求解數學證明題也是可行的.反證法不同于上述解題方法，它采用的是逆向思維，專門用于求解某些特殊證明題.反證法的解題過程相對復雜，操作難度較高，需要通過大量的問題假設推導結論.即推導某些已知條件之間相互重疊，如此才能間接證明結論最終能否成立.

例如" 如果0＜a＜1，0" b" 1，得到1-a＞0，要求利用不等式結論證明以下式子：1－a+b2≥1－ab＞14=12.

在這一題目中，需要將式子相加得到32＞32，這一結果是矛盾的，所以能夠證明原命題成立［9］.

3" 結語

在高中數學各種題型中，證明題題型比較常見，但是其求解過程可以相當多樣，如此才能克服證明題求解難度較高這一現實困境.本文中圍繞證明題提出不同數學解題思路方法，其目的就是要求教師幫助學生穩固夯實數學知識基礎.在日常解題學習過程中深入學習各種解題思路與方法，確保在證明題求解過程中能夠學以致用，靈活自由求解證明題題目，如綜合法、歸納法、反證法等，它們的解題流程思路不同，但都能合理解決數學證明題，這對于學生數學核心素養水平的提高大有幫助，值得在高中數學教學中廣泛推廣應用.

參考文獻：

［1］張金彪.淺談幾類重要的高中數學思維方法［J］.新課程導學，2023（20）：4-7.

［2］吳武亭.數學思想在高中數學教學中的有效滲透［J］.教育藝術，2022（04）：29-30.

［3］張金軍.淺析高中數學解題教學中變式訓練的重要性［J］.新課程，2022（16）：122-123.

［4］張春曉.基于高考題探究高中數學解題教學研究——以不等式為例［J］.數理天地（高中版），2023（19）：41-43.

［5］胡奇云，陳文靜.不同版本教材\"誘導公式證明\"的比較研究［J］.中學數學，2022（15）：11-12.

［6］趙林.合理運用放縮法有效破解證明不等式難題［J］.數理化解題研究，2021（19）：36-37.

［7］陶世元.如何建立條件和結論之間的聯系——構造函數法解證不等式的實踐性探索［J］.青海教育，2020（09）：65-66.

［8］張景中，趙維坤.把數學變容易——張景中院士訪談錄［J］.教育研究與評論，2022（09）：4-11.

［9］徐生孝.高中數學課堂教學中學生解題能力培養［J］.數理天地（高中版），2022（20）：52-53.