在想象、探究和運用中發(fā)展空間觀念

【摘 要】為了幫助學生理解射線和直線是“無限長的”，以及理解“因為角的兩邊是射線，所以角的大小與邊畫得長或短無關(guān)”，進而實現(xiàn)認知的進階和思維的提升，教師可組織學生進行想象游戲、變魔術(shù)游戲和比劃游戲，引導他們在游戲過程中尋找線段、射線、直線的異同點及其聯(lián)系，并在闖關(guān)游戲中學以致用，發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律美與簡約美，逐步建構(gòu)起關(guān)于射線、直線、角的清晰表象與系統(tǒng)認知，進而培養(yǎng)他們的空間觀念、初步的幾何直觀等核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學；空間觀念；《射線、直線和角》

【中圖分類號】G623.5 "【文獻標志碼】A "【文章編號】1005-6009（2024）01-0077-06

【作者簡介】馮桂群，江蘇省南通師范學校第一附屬小學（江蘇南通，226010）教師，南通師范高等?？茖W校小教研究所研究員，正高級教師，江蘇省數(shù)學特級教師，全國優(yōu)秀教師。

《認識射線、直線和角》安排在蘇教版數(shù)學教材四年級上冊，是在學生已經(jīng)初步認識了線段和角的基礎(chǔ)上展開教學的，也是學生進一步學習角的分類、認識垂線和平行線的基礎(chǔ)。本課的教學難點，是如何借助燈射出的光線和從線段“變出”射線、直線的過程，引導學生深刻理解數(shù)學世界的射線和直線是“無限長的”，初步建立無限長的概念，并由此深度感悟——“因為角的兩邊是射線，所以角的大小與邊畫得長或短無關(guān)”，實現(xiàn)思維進階和認知迭代。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出：在教學中要重視對教學內(nèi)容的整體分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)、對未來學習有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識體系。一方面了解數(shù)學知識的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價值與意義，了解課程內(nèi)容和教學內(nèi)容的安排意圖； 另一方面強化對數(shù)學本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學概念的現(xiàn)實背景，引導學生從數(shù)學概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識結(jié)構(gòu)。為了落實新課標理念，有效突破教學難點，筆者組織學生一起玩想象游戲和比劃游戲，引導他們在游戲過程中尋找線段、射線、直線的異同點和密切聯(lián)系，促使他們逐步建構(gòu)起關(guān)于線段、射線、直線、角的清晰表象與系統(tǒng)認知，從而有效培養(yǎng)空間觀念和初步的幾何直觀等核心素養(yǎng)。

一、想象中導入，激趣生疑

師：孩子們，物理學家愛因斯坦曾說過——（多媒體同步顯示相關(guān)圖片和文字）

生（齊）：想象力比知識更重要。

師：下面，我們就來玩一個想象游戲——請看，老師手機的手電筒里射出了一束神奇的光線，它能穿透一切障礙，筆直地射向無邊無際的宇宙……（同步進行實物演示并呈現(xiàn)例題中的光線圖片，促進學生大膽展開想象）如果把此刻射出光線的軌跡畫下來，就會得到什么圖形？

生：射線！

師：恭喜你，猜對了?。ò鍟荷渚€）

師：繼續(xù)想象，老師手里還有一個更神奇的光源，它能左右開弓，向兩邊同時射出筆直的光線，這根光線同樣能穿透一切障礙，直直地射向無邊無際的宇宙……（雙手握拳，之后雙手分開并將手臂向兩側(cè)平舉，引導學生更大膽地展開想象）如果把此刻射出光線的軌跡畫下來，會得到另一種圖形——

生：直線！

師：真了不起，又猜對了?。ò鍟褐本€）射線跟我們之前認識的角還有著密切的聯(lián)系呢?。ㄍ晟瓢鍟赫J識射線、直線和角）關(guān)于射線、直線和角，你想研究哪些問題呢？

…………

師：孩子們真善于提問！讓我們帶著這些問題，一起走進有趣的圖形世界！

愛因斯坦在《論科學》一文中指出：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉?！笔聦嵶C明，借助想象游戲，能極大激活學生想象的潛能，有效點燃他們認知的好奇心。在上述教學中，教師引導學生想象世界上能筆直地穿透一切障礙的兩種“光線”，不僅無痕地喚醒了學生的生活經(jīng)驗，拓展了他們的想象空間，還激發(fā)了他們的問題意識，促使他們在引趣生疑中自然步入新知的探究歷程，從而實現(xiàn)了知識的進化與迭代。

二、對比中探究，內(nèi)化概念

師（多媒體出示三條長短不一的線段）：要研究射線和直線，還得從我們的老朋友——線段入手！瞧，這三條線段有什么共同點呢？跟同桌說一說！哪一組同桌來跟大家分享一下？

生1：線段是直直的，有兩個端點。

生2：它們有長有短。

師：可見，線段是有限長的。

師：注意看，線段要變魔術(shù)啦！把線段的一端無限延長，就得到了我們在想象游戲中提及的一條——射線。（多媒體同步動態(tài)演示）請注意！這條神奇的射線可以向無邊無際的遠方筆直地延伸。所以，相對于線段的有限長和兩個端點來說，射線——

生：無限長，只有一個端點。（板書：無限長，一個端點）

師：既然射線是無限長的，可以向一端無限延伸，那在畫它的時候，無論畫得長或短，它都是——

生：無限長的！

師：這就是數(shù)學世界的簡約之美——可以用有限長的線條來表示無限長的射線！

師：繼續(xù)變魔術(shù)！把線段的兩端無限延長，就得到了我們在想象游戲中提及的另一條線——直線。（多媒體同步動態(tài)演示）直線的神奇之處就在于，它可以同時向兩端無限延伸。所以，相對于線段的有限長和兩個端點來說，直線——

生：無限長，沒有端點。（板書：無限長，沒有端點）

師：同樣，無論把它畫得長還是短，它都是——

生：無限長的！

師：用有限來表達無限，有限之中藏著無限，這就是數(shù)學世界的神奇與美妙之處。

師：仔細觀察線段、射線和直線，它們有什么異同點呢？先獨立思考，再在四人小組里交流……哪個小組上臺來分享？

生1：我們小組來匯報！線段、射線和直線的共同點是，它們都是直直的。

生2：它們的不同點是，線段有兩個端點，有限長。

生3：射線有一個端點，無限長。

生4：直線沒有端點，無限長。謝謝大家的聆聽！

師：真善于合作與分享！掌聲送給這個小組。我們還可以借助手勢游戲來展示它們的異同點呢。瞧，手臂平舉、雙手握拳，可以表示有兩個端點、有限長的——

生：線段！

師：手臂平舉，一只手握拳而另一只手五指并攏伸直，可以表示有一個端點、無限長的——

生：射線！

師：手臂平舉，雙手五指并攏伸直，可以表示沒有端點、無限長的——

生：直線！

師（出示“練一練”第1題）：這里的7個圖形中，哪些是線段？哪些是射線？哪些是直線？請一組同學開火車回答，其余同學做小判官。

…………

師：為什么第2幅圖不是線段，第3幅圖不是直線？

生：因為線段和直線都必須是直直的。

師：真會活學活用！

課始想象游戲中的光線模型，已經(jīng)讓抽象的射線和直線變得極其形象和親切；本環(huán)節(jié)中的變魔術(shù)游戲，由舊知線段自然“變出”新知射線和直線，不僅使學生在勾連和對比中順暢地建立了“無限長”的概念，還使他們在新舊知交融中生成了結(jié)構(gòu)化的認知圖式，實現(xiàn)了認知的遷移與順應。在動態(tài)演示、細心觀察、精準表達和師生互動中，學生由線段的有限長自然建構(gòu)出射線、直線的無限長，加上手勢游戲的直觀表征，認知難點不攻自破；在線條畫長或畫短的變化中，用“有限來表示無限”的簡約之美也展露無遺。

師（出示例1中A、B兩點間的連線）：連接A、B兩點的三條線，哪一條最短？

生：中間那條紅色的線最短。

師：根據(jù)它的特征判斷一下，它是線段、射線還是直線？

生：它有兩個端點，直直的，是線段。

師：由此可見，兩點之間，什么最短？誰能邊比劃手勢邊說？

…………

師：像這樣，連接兩點的線段的長度叫作這兩點間的距離。請邊比劃手勢邊跟同桌說一說。

…………

師：上圖中，A、B兩點之間的距離是多少毫米呢？請打開課本第77頁，量一量、寫一寫，再舉手匯報。

生：A、B兩點之間的距離是35毫米。

師：請在“試一試”下面任意畫兩個點，量出它們之間的距離，再舉手匯報。

…………

師：孩子們的作圖能力真強！下面，我們來玩一個關(guān)于畫圖的搶答游戲，聽好——現(xiàn)在只給你一個點，以此點為端點引出兩條射線，可以組成什么圖形？

生：角。

師（板演畫角的過程）：可見，從一點引出兩條什么線可以組成角？

生：從一點引出兩條射線可以組成角。

師：誰上臺來指一指這個角的頂點和兩條邊？

生（邊指邊說）：這個端點就是角的頂點，這兩條射線就是角的邊。

師：畫邊時，把邊畫長點或畫短點，會改變這個角的大小嗎？為什么？

生1：不會改變，角的大小只跟兩邊張開的大小有關(guān)！

生2：不管我們把邊畫得長還是短，都表示角的兩邊是無限長的射線，不會改變角的大小。

師：真善于思考！角通常用符號“∠”表示。黑板上的這個角可以記作∠1，∠1讀作角一。角的符號“∠”跟我們之前學習的什么符號非常相似？書寫時要注意什么？

生：它跟小于號“l(fā)t;”特別像，不過它下面的一短橫是水平的，不是傾斜的。

師：觀察得特別仔細?。ǔ鍪尽熬氁痪殹钡?題）下面，我們來比一比，看誰是畫角高手。請完成“練一練”第3題，并把這3個角分別記作∠1、∠2、∠3，同時標出角一的頂點和邊，寫出∠3的讀法。

利用實物投影展示學生作品，并組織點評。

師：你覺得，畫角時要注意什么？

…………

借助線段來認識兩點間的距離，從射線的視角來重新認識角，這對學生來說不是難點，但要真正內(nèi)化新知，直接“告知”肯定不行，必須引領(lǐng)學生經(jīng)歷真實的探究過程。為此，筆者組織學生通過看一看、比一比、量一量、畫一畫、說一說等活動，全面感受、深刻體驗什么是兩點間的距離；借助搶答、觀察、比較、操作、反思等活動，讓學生對角有了嶄新而完整的認識，實現(xiàn)了認知圖式的更新與認知過程的飛躍。

三、運用中提升，發(fā)展空間觀念

師（出示如圖1所示的“數(shù)一數(shù)”闖關(guān)練習）：研究了射線、直線和角，下面我們來玩一玩闖關(guān)游戲，看誰是運用知識的闖關(guān)達人。

生1：左圖中有3條射線、3個角。

生2：右圖中有4條射線、6個角。

師：右圖中的角如何數(shù)，能保證不重復、不遺漏呢？

生3：先數(shù)出較小的3個角，再數(shù)出由相鄰的2個小角拼成的2個較大的角，最后數(shù)出由3個小角拼成的最大角，算式是3+2+1=6（個）。

生4：也可以先把射線從上到下編號為1—4，射線1可以跟它下面的3條射線分別組成3個角，射線2可以跟它下面的2條射線分別組成2個角，射線3可以跟它下面的1條射線組成1個角，角的個數(shù)也是3+2+1=6（個）。

師：真善于運用求異思維！雖然數(shù)法不同，但算法都是一樣的。恭喜大家成功闖過第一關(guān)?。ǔ鍪救缦马搱D2所示的“判一判”闖關(guān)練習）這里有三道判斷題，請用手勢比劃“√”或“×”來進行判斷。

…………

師：大家都認為第三題是對的？乍一看，好像沒問題，但表述精準嗎？角的兩條邊能量出長短嗎？是有限長的線段嗎？

生1：不是，角的兩條邊是無限長的射線，沒有長短。

生2：不管畫得長或短，角的兩條邊都是無限長的射線。

生3：我覺得應該改為——角的大小跟兩邊畫得長或短無關(guān)。二年級時老師帶我們一起編角的兒歌，就強調(diào)過——兩邊畫得長或短，角的大小永不變。

師：為大家的精彩表現(xiàn)點贊！數(shù)學的語言是極其縝密的，這里應該把“兩邊的長短”改為“兩邊畫得長或短”。恭喜大家成功闖過第二關(guān)！（出示如圖3所示的“數(shù)一數(shù)”闖關(guān)練習）如果在一條直線上畫出兩個點，你能從中數(shù)出幾條線段？幾條射線？

生：能數(shù)出1條線段和4條射線。

師：從直線中，我們既能找到線段，又能找到射線，可見線段和射線都是直線的——

生：一部分！

師：真善于概括?。ǔ鍪尽皵?shù)一數(shù)”變式練習）如果在一條直線上畫出5、6、7、8個點，你能從中分別數(shù)出或算出有幾條線段和射線嗎？能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？這組題有難度，請在四人小組里研究研究，并做好上臺展示的準備。

指名小組上臺展示研究成果。（如圖4）

師：觀察求射線條數(shù)的算式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？求線段呢？

生1：從一個點可以向左右同時引出2條射線。所以，有幾個點，射線條數(shù)就是幾乘2。

生2：跟之前數(shù)角的個數(shù)一樣，可以用連加的方法求出線段的總條數(shù)。

生3：連加計算比較煩瑣，可以通過移多補少求出加數(shù)的平均數(shù)，再乘加數(shù)的個數(shù)就能求出總和了。

生4：加數(shù)的平均數(shù)可以用首數(shù)加末數(shù)的和除以2求得，這里就是點子數(shù)除以2，而加數(shù)的個數(shù)就是點子數(shù)減1，所以求線段條數(shù)的方法是——點子數(shù)×（點子數(shù)-1）÷2。

師：在合作互動中，大家不僅發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，還找到了巧算的方法，真是太厲害了！

通過有趣的闖關(guān)游戲，先讓學生在有序數(shù)角的過程中感悟射線條數(shù)與角個數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為后面有序地數(shù)線段埋下伏筆，同時培養(yǎng)了學生有序思考和求異思維的意識與習慣；之后的判斷練習，進一步鞏固了“無限長”的概念，提升了學生嚴謹表達的能力；最后的數(shù)射線和線段練習，不僅讓學生認識到線段和射線是直線的一部分，還使他們在分工合作和頭腦風暴中發(fā)現(xiàn)了其中的計算規(guī)律，找到了簡約的計算方法，提升了問題解決能力，培養(yǎng)了空間觀念，感悟到了推理、建模、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想。

四、變式中延伸，拓寬思維視野

師：通過今天的學習，你有哪些新收獲呢？

…………

師：剛才的幾個點都在同一條直線上，如果給出的點中最多只有2個點在同一條直線上，每兩個點之間最多可以畫幾條線段或直線呢？其中又會藏著什么規(guī)律呢？大家課后可以繼續(xù)探究。

引導學生及時回顧與反思，讓他們對全課的學習有一個整體印象，有利于他們形成結(jié)構(gòu)化的認知，增強元認知能力和會學數(shù)學的信心。之后的拓展練習，既在變式中展現(xiàn)了問題情境的變化美，開闊了學生思維的視野，又給他們留下了無限的懸念，讓他們帶著新問題走出課堂，走向“永無止境”的新征程，從而為其后續(xù)的學習注入無窮的動力。

【參考文獻】

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［4］張新.在數(shù)學游戲中發(fā)展學生的空間觀念——“創(chuàng)造與想象”教學設(shè)計與思考［J］.小學教學：數(shù)學版，2022（12）：63-65.

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