高中數(shù)學(xué)探究活動課“圓的切線與切點弦”教學(xué)設(shè)計

編者按：課堂是教學(xué)的主陣地。優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計能為教師提供經(jīng)驗與啟示，幫助教師提高教學(xué)質(zhì)量。為此，2024年，本刊開設(shè)專欄《典型課例》。在該欄目中，我們以“教學(xué)設(shè)計+點評”的形式，呈現(xiàn)一線教師學(xué)習(xí)、理解新課標(biāo)，深化素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂教學(xué)改革和育人方式轉(zhuǎn)變的實踐與思考。我們主要呈現(xiàn)2023年江蘇省優(yōu)質(zhì)課評比一等獎的教學(xué)設(shè)計，希望通過這些典型課例，引領(lǐng)教師關(guān)注教學(xué)細(xì)節(jié)，激發(fā)教學(xué)靈感，在實踐中探索、總結(jié)和創(chuàng)新，不斷提升教學(xué)質(zhì)量。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)探究；教學(xué)設(shè)計；圓的切線與切點弦

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A ?【文章編號】1005-6009（2024）03-0043-04

【作者簡介】劉銀，江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)（江蘇鎮(zhèn)江，212016）教師，數(shù)學(xué)學(xué)科中心教研組長，高級教師，鎮(zhèn)江市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）指出：數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程。［1］這種活動是運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的綜合實踐活動，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和能力的重要途徑。

本節(jié)課的內(nèi)容選自蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（選擇性必修第一冊）第2章《圓與方程》章末“問題與探究”，是本章知識的延伸和拓展，也是后續(xù)圓錐曲線相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)的起點和基礎(chǔ)。本節(jié)課旨在引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等多種思想方法，深化學(xué)生對“代數(shù)方法解決幾何問題”的理解和認(rèn)識。本節(jié)課是通過研究點與直線的“對應(yīng)組”和圓之間的位置關(guān)系，讓學(xué)生深入體會點在圓上、點在圓外、點在圓內(nèi)三種情況及三者之間相互遞推的邏輯關(guān)聯(lián)。在類比聯(lián)想、分類整合等過程中，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的簡潔、統(tǒng)一、和諧、理性之美。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

1.經(jīng)歷直觀想象、畫圖試驗、觀察類比、猜想驗證等探究過程，掌握過圓上一點的圓的切線方程的證明方法。

2.體會探究解析幾何問題的基本方法，發(fā)現(xiàn)點不在圓上時方程“x0x + y0y = r2”的幾何意義。

3.在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題、再發(fā)現(xiàn)新問題的螺旋式上升的探究過程中，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的興趣與意識，積累活動經(jīng)驗，培育創(chuàng)新精神。

三、學(xué)情分析

1.學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)

本節(jié)課的授課對象是江蘇省四星級高中高二學(xué)生，他們能從代數(shù)角度研究點、直線、圓之間的關(guān)系，初步具備研究解析幾何的直接經(jīng)驗，具有一定的圖形識別、問題發(fā)現(xiàn)以及探究推理能力。

2.達(dá)成目標(biāo)所需的認(rèn)知基礎(chǔ)

圓的切線與切點弦中，點、線、圓的關(guān)系復(fù)雜且深刻，數(shù)形轉(zhuǎn)化與融合程度要求較高，需要學(xué)生有良好的直觀想象、邏輯推理能力和獨立思考、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣。

四、教學(xué)過程設(shè)計

1.單元回顧，升華認(rèn)識

師：數(shù)學(xué)用“符號”將世界抽象為形與數(shù)。前面我們學(xué)習(xí)了“圓與方程”，其中圓是“形”，方程是“數(shù)”。

【問題1】在《圓與方程》這一章我們研究過哪些知識？

【設(shè)計意圖】通過問題，教師引導(dǎo)學(xué)生自主回顧單元知識，這一章主要研究了圓的代數(shù)表示以及點、線、圓的位置關(guān)系，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步升華認(rèn)識：單個圖形主要研究它的方程及自身的結(jié)構(gòu)特征；組合圖形主要研究它們的位置關(guān)系。這為后續(xù)研究圓的切線與切點弦及獲得探究路徑作鋪墊。

2.溫故知新，方法引領(lǐng)

【問題2】已知點P（x0，y0）是圓O：x2 + y2 = r2上一點，請畫出過點P的圓O的切線，并求切線方程。

學(xué)生活動：由于直線與圓相切，且P為切點，觀察到切線與OP垂直，先求直線OP的斜率，再根據(jù)斜率乘積為-1，得切線斜率，進(jìn)而利用點斜式表示直線，但要單獨考慮斜率不存在或者為0的情形；同樣通過垂直，設(shè)切線上任意一點Q（x，y），借助向量，有[OP]·[OQ] = r 2，整理得解；觀察到圓心到切線的距離等于半徑，設(shè)直線方程，利用點到直線距離公式求解；觀察切線與圓有唯一公共點，聯(lián)立方程，根據(jù)方程根的判別式求解。

【設(shè)計意圖】問題2是教材習(xí)題原題，求解方法較多，有代數(shù)、幾何、向量三個視角，但總體來看都是在“形”上抓“垂直”。通過本題的探究，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧求解方法和圖形觀察角度，助推學(xué)生總結(jié)直線與點、直線與圓位置關(guān)系的判斷方法，引領(lǐng)后續(xù)探究。

【問題2.1】對于向量數(shù)量積與方程x0x0 + y0y0 = r2的結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，你還有新發(fā)現(xiàn)嗎？

【問題2.2】從“數(shù)”的角度看，點、線、圓三者之間又有什么聯(lián)系？

從“形”的角度看，P點在圓上，從“數(shù)”的角度方程上有x02 + y02 = r2，則點的坐標(biāo)（x0，y0）滿足方程x0x + y0y = r2。學(xué)生猜想：此直線是切線；事實上，可以進(jìn)一步驗證d = [r2x20+y20] = r，因此方程確實表示圓的切線。由此得到命題1。

命題1：當(dāng)點P（x0，y0）在圓O：x2 + y2 = r2上時，方程x0x + y0y = r2表示圓的切線。

【設(shè)計意圖】從數(shù)到形，以形助數(shù)，幫助學(xué)生獲得方程背后的幾何意義。上述探究過程緊扣教材，并將數(shù)學(xué)思想方法在課堂中落實。在分析解決問題的過程中，為后面“點不在圓上”情況的探究作鋪墊，積累探究經(jīng)驗。

3.合作探究，形成路徑

【問題3】數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“解題就像采蘑菇，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個蘑菇時，它的周圍可能還有其他蘑菇。”你還想探究什么問題呢？

【設(shè)計意圖】從點在圓上到點不在圓上，即從點的坐標(biāo)滿足圓的方程，到點的坐標(biāo)不滿足圓的方程，進(jìn)而探究點在圓外和點在圓內(nèi)。這里從相等到不等，從特殊到一般，引出課題，同時滲透了數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)文化。

【問題3.1】當(dāng)點P（x0，y0）在圓外時，方程x0x+y0y=r2表示怎樣的直線？

【問題3.2】你能在練習(xí)紙上畫出這條直線嗎？

【問題3.3】如圖1，你能判斷直線x0x + y0y = r2與點P（x0，y0），與圓x2 + y2 = r2的位置關(guān)系嗎？如何判斷？

【設(shè)計意圖】通過問題鏈的方式，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“點在圓上”的探究方法，交流、討論，通過合作探究解決新問題。

教師補充定義：切點弦是一條特殊的弦，是過圓外一點引圓的兩條切線連接兩切點得到的。

學(xué)生活動：

（代數(shù)法）記直線與圓交于A，B兩點，與OP交于點H，連接OA，OB，PA，PB。首先由直線斜率可判斷OP與AB垂直，其次計算圓心到直線距離d=[r2x20+y20]，其中OP=[x20+y20]，所以O(shè)H·OP=r2，即OH·OP=OA2，所以△OAH ∽△OPA，則OA⊥PA。OA是半徑，所以PA是切線，同理，PB是切線，方程x0x+y0y=r2表示切點弦。正向證明，由數(shù)想形，方程表示兩切點所在直線。

（幾何法）過點P作圓的切線PA，PB，則PA⊥OA，PB⊥OB，借助幾何關(guān)系，有O，A，P，B在以O(shè)P為直徑的圓上。該圓方程為x2 + y2 - x0x - y0y=0，AB為兩圓相交弦，將兩圓作差即可。這里的公共弦就是切點弦，與該直線方程x0x + y0y = r2一致。

（向量法）過點P作圓的切線PA，PB，記OP與AB的交點為H，設(shè)直線AB上任意一點，則通過向量知識有[OP]·[OQ] = OH·OP，此時OH·OP = r2，所以[OP]·[OQ] = r 2，即得直線方程x0x+y0y = r2。

【問題3.4】利用剛剛所得的“切線結(jié)論”（命題1），能推導(dǎo)出切點弦所在的直線方程嗎？

學(xué)生活動：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），切線PA的方程為x1x + y1y = r2，切線PB的方程為x2x + y2y = r2。它們均過點P，有x1x0 + y1y0 = r2，x2x0 + y2y0 = r2。x1x0 + y1y0 = r2與x2x0 + y2y0 = r2結(jié)構(gòu)相同，兩點確定一直線，即x0x + y0y = r2就是直線AB的方程。設(shè)而不求，將點在圓外化歸到點在圓上，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想。由此得到命題2。

命題2：當(dāng)點P（x0，y0）在圓O： x2+y2=r2外時，方程x0x+y0y=r2表示圓的切點弦所在的直線。

【設(shè)計意圖】上述教學(xué)從數(shù)出發(fā)，探究方程背后所蘊含的幾何特征，由數(shù)想形，以形助數(shù)。與“圓的切線”情形一致，仍在形上抓“垂直”，在數(shù)上看“結(jié)構(gòu)”，代數(shù)、幾何、向量三種視角前后貫通。在猜想與求證中，學(xué)生判斷出直線不經(jīng)過該點、直線與圓相交，逐步精準(zhǔn)定位，得出方程x0x + y0y = r2表示切點弦所在的直線。

4.自主探究，形成體系

【問題4】當(dāng)點P（x0，y0）在圓內(nèi)時（P異于O），方程x0x + y0y = r2表示怎樣的直線？

學(xué)生活動：過P點作直線，與圓O交于A，B兩點，分別過A，B兩點作圓O的切線，設(shè)兩切線的交點Q（m，n），則直線AB可表示為xm+yn=r2。點P在AB上，則x0m+y0n=r2，所以Q點的軌跡方程為x0x+y0y=r2。這個過程就是剛剛“切點弦”逆過來，體現(xiàn)了化歸思想。由此得到命題3。

命題3：當(dāng)點P（x0，y0）在圓O： x2+y2=r2內(nèi)時，方程x0x+y0y=r2表示圓的弦切線交點的軌跡。

【設(shè)計意圖】“點在圓上”師生共研，感悟探究方法；“點在圓外”生生合作，形成探究路徑；“點在圓內(nèi)”充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，教師從引導(dǎo)者轉(zhuǎn)變?yōu)椤芭杂^者”、合作者，幫助學(xué)生從“學(xué)會”到“會學(xué)”。

【問題4.1】點在圓上、點在圓外、點在圓內(nèi)，它們之間有怎樣的聯(lián)系？

教師借助GeoGebra軟件動態(tài)演示，讓學(xué)生從幾何直觀和理性層面體會三種情況下的變與不變。（如圖2）三個問題彼此關(guān)聯(lián)（直線始終與OP垂直），又層層遞進(jìn)。過程中，學(xué)生感悟到轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即“點在圓外”可以轉(zhuǎn)化到“點在圓上”求解，而“點在圓內(nèi)”又可以轉(zhuǎn)化到“點在圓外”求解。教學(xué)中，教師還借用了笛卡爾的名言：“我解決過的每一個問題都成為日后用以解決其他問題的法則。”滲透了數(shù)學(xué)文化。

5.總結(jié)回顧，探究繼續(xù)

【問題5】請同學(xué)們從知識、方法、思想幾方面回顧本節(jié)課的收獲。

學(xué)生活動：學(xué)生結(jié)合板書分別從知識、方法、思想等層面總結(jié)。知識層面上，點P（x0，y0）在圓O： x2 + y2 = r2上時，直線x0x+y0y=r2表示圓的切線；點P（x0，y0）在圓O： x2 + y2 = r2外時，直線x0x +y0y = r2表示圓的切點弦所在直線；點P（x0，y0）在圓O： x2 + y2 = r2內(nèi)時直線x0x + y0y = r2表示圓的弦切線交點的軌跡。探究方法上，有類比、聯(lián)想、實驗、猜想等。在數(shù)學(xué)思想上，學(xué)生體會了數(shù)形結(jié)合、特殊到一般、轉(zhuǎn)化與化歸。探究中借助了代數(shù)、幾何、向量三個視角，其中學(xué)生特別體會了代數(shù)法在解析幾何中的應(yīng)用魅力。

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會尋找研究方法、付諸實踐，學(xué)會反思學(xué)習(xí)過程，提煉研究成果。

6.課后作業(yè)，深化鞏固

【思考運用】當(dāng)“圓心不在原點”時，如何研究圓的切線與切點弦？

【探究拓展】運用今天的研究方法，你還能進(jìn)行其他探究嗎？

【設(shè)計意圖】滿足不同層次學(xué)生的需求，將探究意識從課內(nèi)延伸到課外，激發(fā)學(xué)生后續(xù)的研究興趣，為學(xué)生構(gòu)建“前后一致、邏輯連貫”的學(xué)習(xí)過程。

【參考文獻(xiàn)】

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：35.

［2］單墫，李善良.普通高中數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（選擇性必修第一冊）［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2021：72.