初中階段發展學生空間觀念的五種路徑

何曉華

項目信息：廣東省教育科研“十三五”規劃2019年度教育科研一般項目“初中生數學核心素養測評研究”，課題批準號為2019YQJK349；中山市教育科研2020年度重點立項課題“‘至簡數學的理論與實踐研究”，課題編號為A2020019.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出“空間觀念”主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識.具體包括：（1）能夠根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；（2）想象并表達出物體的空間方位和相互之間的位置關系；（3）感知并描述圖形的運動和變化規律.概括地說，空間觀念就是在實際物體、幾何圖形與特征描述之間建立起可逆的聯系.理解空間觀念的內涵及其主要表現，對于培養和發展學生的空間觀念具有重要的指導意義.

圖形與幾何內容是發展學生空間觀念的主要載體，但是在課程實施的過程中，發展學生的空間觀念，往往處于一種無意識的狀態，主要表現在素養導向不強、學情診斷不明、學科育人的價值沒有得到充分的體現等方面.下面結合教學實踐，談談發展學生空間觀念的五種主要路徑.

1 “畫”出空間觀念

初中學生畫圖（包括作圖）能力比較薄弱，具體表現為：（1）照著畫，畫不準.比如，照著課本把圖形畫在作業本上，圖形就出現了變化，把直角畫成銳角、銳角畫成鈍角、等腰三角形畫成不等腰三角形；（2）根據語言描述畫圖，有困難.比如，利用三角板畫三角形的高，部分學生不知道三角板怎么擺放；（3）對于有多種位置關系的圖形，畫不全.這些現象的出現，是由學生思維的直觀性決定的，直觀性體現于認識圖形屬性時的選擇性層面.初中階段的學生，對強刺激成分（比如圖形整體的形象）有比較強的感知，對弱刺激成分（比如兩條線相交的角度、兩條邊相等）等細節關注較少，他們很少關注圖形各要素之間的具體關系，很少從“數”的角度去刻畫位置關系.難以根據圖形語言或符號語言建立圖形的直觀表象.

畫圖的過程實際上是對幾何語言深入理解的過程，是對圖形整體和局部的深入感知，以及對圖形各要素關系的思考過程，也是對畫圖步驟的調整過程.畫出圖形后，學生會不自覺地將畫出的圖形與看到或想到的圖形進行比較，在思考“像”與“不像”之間、在修正圖形和反思畫圖原理的過程中，學生的空間觀念得到發展.

教師在思想上要認識到畫圖對培養學生空間觀念的重要性，讓學生感受到圖形作為一種形象直觀的語言對解決問題的輔助作用.教學行為上要做好畫圖示范，加強畫法指導，重視畫圖訓練，包括平時作業時強調學生自己畫圖.

2 “想”出空間觀念

在《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的空間觀念的幾個表現中，提到了抽象和想象，在實際物體與圖形的相互轉換中，充滿觀察、分析、比較、想象、推理等活動，其中想象是主要的思維活動.空間觀念的發展離不開想象，沒有想象，很難談到對現實世界的了解與把握，很難談到發明與創造，因此，在教學中要為學生提供足夠的時間和空間去觀察和想象.

學生對二維圖形和三維圖形的相互轉換是有困難的，困難在于轉換過程中，很難想象圖形的各個要素之間位置關系的變化方式和變化效果.下面兩幅圖是人教版七年級上冊的課本習題：

如圖1，這些圖形都是正方體的展開圖嗎？如果不能確定，折一折，試一試，你還能再畫出一些正方體的展開圖嗎？

如圖2，左面的圖形可能是右面哪些幾何體的展開圖？

（1）

（2）

（3）

這兩道題學生解答有困難，教師也很難講清楚.動手操作、動畫演示可以將圖形的變化過程展現出來，借助動作直觀和視覺直觀展開教學是很好的方式，但不宜單一采用這種方式，否則，學生就失去了想象的機會，不利于其空間觀念的發展.

比較好的做法是：先讓學生觀察、想象，得出初步判斷，然后通過操作或演示得到確認，最后還需要反復觀察操作和演示的過程，體會在圖形轉換過程中，同一條棱、相鄰的面等相關幾何元素在展開與折疊的過程中是如何變化的，讓圖形的變化過程在頭腦中形成清晰的動態畫面，從而總結規律、積累經驗，發展空間觀念.

簡單幾何體的展開與折疊只是發展學生空間觀念的載體，而學生今后面對的是變化萬千的圖形，教師應該摒棄直奔結果的“口訣式”教學，著眼于學生核心素養的發展.

3 “說”出空間觀念

語言是思維的載體.描述圖形的位置和變化、依據語言的描述畫出圖形是空間觀念發展的重要標志.在日常生活中，我們經常需要向別人描述某個圖形或者根據別人的描述建立空間形象，能否準確地描述或者準確地構圖就很重要.描述與畫圖實際上是進行文字語言、符號語言與圖形語言的相互轉換，這種互譯轉換的過程包含了大腦對圖形關系進行分析與操作的過程.學生在頭腦中是否感知了圖形的位置與變化，以及感知的程度如何，是看不見、摸不著的.語言描述可以將思維內容顯現出來，同時，語言描述和畫圖對思維的內容具有修正、定型的作用，會使大腦對圖形的感知更加明晰.

描述圖形的位置和變化，包括描述圖形特征、敘述變換過程、表示圖形關系、用坐標表示位置等多個方面.規范的幾何語言可以幫助學生準確理解圖形位置及其關系，在教學過程中，教師要重視學生幾何語言的表述，糾正不規范、不準確的語言，不失時機地讓學生使用清晰準確的語言描述圖形的位置、特征與變化.比如，在證明三角形全等之后，讓學生描述兩個三角形經過怎樣的變換后互相重合，這樣可以幫助學生準確地理解全等三角形的對應關系，發展學生的空間觀念.

4 “算”出空間觀念

對圖形的認識是一個從定性描述到定量刻畫的過程，學生往往更多關注圖形的形狀和位置，而對圖形各元素之間的數量關系不敏感.比如，在數軸上表示不等式組的解集，需要在數軸上描出兩個點，而這兩個點到原點的距離往往被學生忽視；在畫三視圖時，視圖的長寬比例往往不協調；在研究圖形性質時，學生很難體會圖形各元素之間位置關系與數量關系的互相制約，數形結合的思想比較淡漠.圖形與幾何中有大量內容是關于幾何計算的，長度、角度、面積、體積從“定量”的角度刻畫了圖形的大小，對各種幾何量的計算是發展學生空間觀念的有效途徑.

5 “證”出空間觀念

小學生對圖形的形狀、大小及其相互位置關系的認識主要依賴直觀表象和實驗操作，對圖形特征的描述也多采用生活化語言.到了初一年級，學生對圖形的識別仍然帶有明顯的“想當然”成分，缺乏利用概念去判斷、用推理去思考圖形特征的經驗.在學習了邏輯證明之后，學生對圖形的感知能力逐漸加入了理性的成分，他們逐步學會利用圖形的概念和性質對圖形各要素及其關系進行識別和確認.隨著學習的深入，學生的邏輯推理能力和空間觀念相互促進，相得益彰.

例1? 如圖3，在正方形網格中，A，B，C是格點，求∠ABC的度數.

例2? 如圖4，A，B，C是正方體的三個頂點，求∠ABC的度數.

如果沒有全等三角形、等腰直角三角形、等邊三角形的邏輯基礎，學生很難確定角度的大小.邏輯推理論證了圖形的性質，圖形的性質為空間觀念的發展提供了直觀基礎，從這個意義上可以說邏輯推理為空間觀念的發展插上了理性的翅膀.反過來，空間觀念的發展為邏輯推理能力的提高提供了直觀表象.

空間觀念的發展是有章可循、有法可教的.充分思考、審視教學內容對發展學生空間觀念的作用，把握學生空間觀念發展的階段性特征，從學生的直觀體驗出發，讓學生在觀察、比較、操作、想象、計算、描述、推理等活動中積累經驗，是發展學生空間觀念的有效途徑.