優化運算策略 培養運算能力

周玉寶 潘竹樹

課題信息：教育部福建師范大學基礎教育課程研究中心2023年度開放課題“新課程背景下初中數學課前教學質量評價研究”，課題編號為KCA2023340；福建省教育科學“十四五”規劃2022年度課題“新課程背景下初中數學課堂教學質量評價研究”，課題編號為FJJKZX22-439.

摘要：挖掘圖形特征是解幾何題的關鍵，選擇合理的運算策略，能夠促進學生幾何直觀、抽象能力和推理能力的發展，是培養學生數學關鍵能力的重要途徑.

關鍵詞：運算能力；推理能力；關鍵能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：運算能力的內涵包括能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題，能夠通過運算促進數學推理能力的發展［1］.數形結合優化解題策略，是培養學生運算求解能力這一數學關鍵能力的重要途徑.

章建躍博士指出，用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及有關幾何關系，再用代數的語言來表達，在代數運算中時刻注意利用它們來簡化運算，這就是解析幾何運算的特點，是幾何背景下的代數運算［2］.初中階段數學雖然沒有達到解析幾何的高度，但是要為學生將來學習解析幾何奠定基礎.本文中以優化運算策略為例，闡述如何培養學生的數學關鍵能力.

1 典型幾何案例

如圖1，已知點A的坐標為（0，4），點B的坐標為（4，1），直線BC平行于x軸交y軸于點C，點D在線段BC上，點B關于直線AD的對稱點在y軸上，求點D的坐標.

對于此題，根據題意，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=AO－CO=3，BC=4，由勾股定理得，AB=32+42=5.

2 數形結合，優化運算策略求解幾何問題

2.1 出現直角三角形，運用勾股定理

算法是一種經過壓縮的一般化的解題程序；算法是有目標指向的，而且是高效的［3］.圖形中出現直角三角形，利用勾股定理能解決問題.

如圖2，設CD=a，點B關于直線AD的對稱點為E，則DE=DB=4－a.因為CD2+CE2=DE2，即a2+22=（4－a）2，解得a=32，所以D32，1.

2.2 發現軸對稱特征，運用相似三角形

軸對稱圖形中對稱點的連線段被對稱軸垂直平分，利用這一特征能夠換一種思路解決問題.

如圖3，連接BE，則BE⊥AD.因為∠1=∠2=90°，所以∠3=∠4，則∠3=∠5.因為△ACD∽△BCE，所以CDCE=ACBC，即CD2=34，

解得CD=32，故D32，1.

2.3 發現圖形中的等角，利用三角函數

觀察圖形，發現在兩個直角三角形中，存在相等的角.

如圖3，在Rt△ACD和Rt△BCE中，因為∠3=∠4，tan∠3=CDAC，tan∠4=CEBC=24，所以CD3=24，即CD=32.故D32，1.

2.4 發現圖形中存在高線，利用面積法

CD可以看作是Rt△ACD的高，從而聯想到利用面積法解決問題.

如圖4，易得∠1=∠2，即AD平分∠BAC.過點D作DG⊥AB于點G，則DG=CD.利用面積法，設CD=a，由S△ACD+S△ABD=S△ABC，得12×3a+12×5a=12×3×4，解得a=32.故D32，1.

通過運用不同的視角探索解題的途徑、優化運算的過程來提升和發展學生的運算素養是我們在教學中需要著力解決的問題［2］.審視如上幾何題，從多個角度進行運算，能夠實現一題多解、多解歸一，從中概括解決幾何運算的一般路徑，掌握幾何運算的基本方法，通過挖掘圖形的特征，優化解題策略.

3 優化運算策略，培養關鍵能力的幾點思考

幾何運算是一種工具，更是一種思維.運算是解決幾何問題的基本工具.運算求解過程中，要求學生根據圖形特征，挖掘圖形中線段、角等元素之間的特殊關系，再通過這些元素之間特殊的位置、數量關系解決數學問題，從而提高分析問題、解決問題的能力.

3.1 用幾何的眼光審視圖形特征，優化運算策略

如果不注重數形結合，就很難讓學生通過理解知識的本質去分析問題和解決問題［4］.

用幾何的眼光審視數學問題，結合圖形特征通常能優化運算策略.重視數形結合，從中識別出基本圖形、基本模型，運用基本原理，實現一題多解、多題一解.作輔助線等方法，為解決更復雜的問題提供了思維的通道與路徑.初中階段，幾何運算常用的方法包括勾股定理、相似三角形、三角函數和面積法，數形結合能幫助學生優化運算策略.

3.2 用幾何的眼光審視幾何直觀，培養抽象能力

幾何直觀和抽象能力相互依托，幾何直觀本質上是依托圖形展開想象的抽象思維.學生以幾何圖形為介質，“學會”分析與綜合、關系推理和質疑，提升了批判性思維；“學會”聯系遷移、類比化歸，搭建起從直觀到抽象的橋梁，提升了創造性思維；“學會”主動反醒，優化策略，提升了元認識能力［5］.

數學思想方法的靈活運用，離不開學生熟練掌握數學基本知識與基本技能，實現數與形的轉化，能夠幫助學生積累數學基本活動經驗.抽象能力的形成，離不開數學思想方法的滲透，如化歸思想、分類討論思想、整體思想和數形結合思想等.學生數學思想方法一旦形成，就意味學生的抽象能力得到了提升.

3.3 用幾何的眼光審視運算求解，培養推理能力

數學運算的本質是數學推理，是“算”與“思”的有機統一.

推理能力的形成是一個螺旋上升的過程，為幾何的運算求解提供了良好的媒介.靜態幾何學習，需要學生根據圖形的特征，找出已知條件的聯系進行解題，從而提升推理能力.動態幾何的基本運動包括平移、軸對稱和旋轉，這些基本運動的特征比較復雜，需要學生從中挖掘出對應線段、對應角和對應點所連線段的特征，并準確應用這些特征解決問題，從而培養學生的推理能力.運算求解過程，有助于學生更深刻地理解幾何的本質，拓展思維，在運算能力提升的同時實現思維品質的飛躍，學生的推理意識、推理能力日益得到發展.

4 結語

在初中數學教學過程中，培養學生的運算能力是評估教學質量的關鍵要素之一.為了提升這一能力，教師需將運算教學與課程內容深度融合，確保學生能夠熟練掌握并應用基本的數學運算策略.通過優化運算策略，可以顯著增強學生的數學運算能力，進而提升整體的數學教學效果.因此，教師應重視運算教學，不斷關注和評估學生運算能力的發展，以優化教學方法，為學生營造一個更加高效和有利于數學學習的環境.

通過對幾何元素的深入剖析，引導學生理解運算的對象和意義.通過對圖形特征的挖掘，多角度分析問題，選擇合理的運算策略解決問題.優化運算策略有利于學生理解數學學科本質，發展幾何直觀、抽象能力和推理能力，從而培養數學關鍵能力.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］劉國祥.用幾何眼光觀察問題 有效提升運算素養［J］.數學通報，2019（11）：52-55.

［3］鮑建生，章建躍.數學核心素養在初中階段的主要表現之二：運算能力［J］.中國數學教育，2022（11）：3-8.

［4］丁杭纓.給學生一個立體的“數學”——例談“數形結合”［J］.人民教育，2010（7）：39-42.

［5］潘竹樹.借助幾何直觀 培養關鍵能力——以2022年中考幾何直觀試題為例［J］.中學數學月刊，2023（4）：66-69.