挖掘“數學廣角”中的數學思想方法

一、背景

新課標強調數學教學的內容要能反映現實需要，凸顯數學學科特點。“數學廣角”中涉及的數學知識，與學生前幾個單元所學的數學內容緊密相關，而其中問題解決的方法又蘊含多重數學思想。所以用好數學廣角，重視思想方法挖掘，可促進學生知識理解與思想方法應用融會貫通，是提高數學育人效果的重要一環。

植樹問題作為數學教材中的經典問題，可演化為多種問題形式，其中還蘊含了數形結合、轉化思想、數學建模等多元思維方法。用好數學廣角，將數學知識與思想方法有機結合，是培養學生學習創新意識，推動學生實踐創新，加強學以致用的重要一環。現以植樹問題為例，探索“數學廣角”中蘊含的豐富思想方法，激發學生體會數學與現實之間的緊密關聯性。

二、目標分析

“數學廣角”作為數學教材中的一個特色模塊，不以知識傳授為主要目標，重在啟發學生感悟思想精髓，推進實踐應用。“數學廣角”的內容靈活度高，是需要讓學生自主探究、合作對話、實踐應用有效掌握的特色模塊。植樹問題在生活中的應用非常廣泛，與學生日常生活緊密相關，如花盆的擺放、廣場上插紅旗問題以及路燈問題都屬于植樹問題的一些生活化演變。結合植樹問題，讓學生有效探究，要對棵樹和間隔數建立模型意識。對應每一個問題，都要構建直觀化的數學模型，并應用類比、轉化、數形結合、模型等思想方法，實現問題的針對性解答。學習植樹問題，重在讓學生構建數學模型，在準確理解植樹規律的前提下解決一些實際性問題。

三、教法研究

植樹問題是數學中的經典問題，其中蘊含了豐富的數學思想方法，教師要以問題提出為明線，以數學思想方法探究為暗線，讓學生獲得豐富的學習體驗，把握數學思想方法的精髓。教師可以先帶領學生從簡單的問題入手，通過模型轉化，由易到難實現一些復雜問題的針對性引導，提高教學效率。在問題呈現的同時，教師要引導學生數形結合，突破知識重難點，使學生的思維更加敏捷。同時，教師要引導學生不斷比較，發現其中的相同點和差異點。通過數形互補，助力學生理解數學思維規律。結合一些綜合問題，有效構建模型抽象，提煉求解模型，結果驗證，從而實現對植樹類問題的綜合性解決，助力學生理解數學思維本質，領悟數學思想方法，實現對植樹問題的深度理解。

四、教學過程

植樹問題蘊含的內容豐富多元，要想讓學生深度領悟數學思維本質，教師要在課堂上穿針引線，為學生提供任務指引。還以植樹活動為例，將一些典型問題，讓學生合作探究，參悟其中的精髓。所以，整個教學過程以問題為主導，以學生探究為主線，教師對各個環節整體把控。

◆第一步，情境創設，引出新課

結合教材中出現的植樹插圖，教師可以與學生一起回顧植樹節期間，學校組織的植樹活動，讓學生說一說，自己在植樹節種了幾棵樹，它們是如何排列的，植樹有哪些意義，以討論的方式引出話題，讓學生回顧自己真實的植樹經驗，接著畫面切換展示一個具體問題，讓學生探索應如何用數學的思維方法解答。

問題一：一條全長100米的小路，每隔5米栽一棵樹，兩端都要栽，一共需要多少棵樹苗？

結合這一問題，引導學生先圈畫關鍵信息：“全長100米”“間隔5米”“兩端都要栽”。然后讓學生想一想，這些詞語分別是什么意思？“間隔”應該怎么解釋？“兩端都要栽”是強調的哪個部分？教師可進一步結合“香蕉、蘋果、香蕉、蘋果、香蕉、蘋果”的排列方式，讓學生理解間隔的意義。如果已知有20個水果，讓學生試著說一說香蕉有幾個，蘋果有幾個，進而對間隔排列有更直觀的理解。

在這個部分，還有一個核心詞匯“兩端”。如何理解兩端，還是以“香蕉、蘋果、香蕉、蘋果……香蕉”為例，進一步讓學生觀察，如果兩端都是香蕉，那么香蕉和蘋果的數量之間有什么關系？學生很容易就能發現：香蕉數量=蘋果數量+1。無論這一排有多長，如果兩端都是香蕉，那么香蕉一定比蘋果多1個。

回歸最開始的植樹問題，在這100米長的小路旁邊植樹，如果兩端都栽，那么樹之間間隔的距離就是間距，兩端都栽，就代表這條小路的兩端都要種樹。再讓學生用畫圖的方式呈現植樹后的效果：用線段表示間隔，用小點表示一棵樹，進而找到問題解決的方案：100÷5=20，然后再加1。也就是在這個問題解答的過程中，兩端都栽的數量=間隔數+1。這樣轉化后，植樹問題與前面學生所學的平均分問題比較相似，只需要把握好兩端的處理方式即可。

設計思路：在解答數學問題的過程中，讀題是關鍵的一步。讀題不是簡單的文字閱讀，而是要抓取題目中的關鍵信息，頭腦中還要建立初步的模型意識，找到解決問題的關鍵，并套用已經學習的知識實現問題模型的化繁為簡。教師穿針引線，結合對數與形轉化規律的分析，幫助學生找到答題的切入點，就能實現一些復雜問題的簡單化，學生學習自然事半功倍。

◆第二步，小組合作，規律探索

植樹問題涵蓋的類型多種多樣，教師帶領學生探索一個類型后，就可以將學生分成不同的小組，讓他們套用引導過程中所采用的方法進行各類不同問題模型的提煉，將數學的語言有效分析，整合提煉為直觀模型，進一步探索問題解決的一般規律，并將植樹問題適用范圍有效擴大，讓學生在細致觀察的前提下合作探尋，豐富嘗試，真正通過提煉、思考、碰壁、探究、合作、解答、驗證，深入理解植樹問題的本質，對多種不同形式理性區分。教師將需要探究的問題，通過大屏幕呈現，讓學生對各種不同情況進行有效探究。

問題二：在一條200米的公路一邊植樹，每隔5米栽一棵，如果兩端都不栽，總共需要多少棵樹苗？

問題三：在一條200米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，如果只有一端栽，另一端不栽，需要多少棵樹苗？

問題四：一個湖泊已知周長為100米，在湖的四周栽樹，每隔5米栽一棵，請問需要多少棵樹苗？

問題五：在一條全長100米的小路兩邊植樹，每隔5米栽一棵，兩端都栽，總共需要多少棵樹苗？

這些問題基本囊括了植樹問題的所有案例，教師引導學生以小組為單位，一個一個探究、運用、轉化，結合模型思想總結發現，將自己所得的結果在小組內部進行有效交流，并引導學生抽象出棵數、間隔數與總長度之間的一般化數學模型，為下一步遷移應用奠定良好的基礎。

在小組討論的前提下，教師還要讓各個小組積極匯報自己的學習成果。通過組與組之間的展示交流，發現學生的思維盲點，助力學生對數學模型方法深度掌握。跳出一般的問題性解答，讓學生學會根據問題構建模型，對兩端都栽、一端栽一端不栽、兩端都不栽、兩邊栽、環形栽等多種情況進行深刻理解。通過合作討論，學生對棵數與端數之間的關系真正理解，這樣學生在遇到一些其他問題時，也會理清模型，探索問題解決的一般方法。

設計思路：數學模型的構建，需要學生對問題進行有效提煉，還可以結合圖形的繪制，綜合將直線栽樹、環形栽樹、兩邊栽樹等各種情況進行有效的轉化。通過小組合作，學生對比思考，將一些易錯問題集中呈現，將數與形之間的對應關系深刻理解，也能通過直觀易懂的方式幫助學生突破知識重難點。加上小組競技，分析展示，還能鍛煉學生語言表達能力，讓學生嘗試將自己頭腦中的理解用清晰的語言闡述，防止學生出現理解了，但是不會說、不會用的情況。小組合作，分類探究，尊重學生的主體性價值，可以避免對植樹問題的生硬記憶，也能通過一些變式練習，引導學生舉一反三，方法遷移。

◆第三步，當堂學練，鞏固提升

如果植樹問題只能解決與植樹相關的問題，那么就會讓學生感覺學習過程非常枯燥，為了給學生帶來更多學習挑戰感，提高學生思維的縝密性，在學習植樹問題的過程中，教師還要同步為學生設計一些衍生問題，進一步提高學生思維的靈活性。

練習1：32棵樹平均栽成4行，每行能夠栽幾棵樹？

這個問題雖然也屬于植樹問題，但是它并不屬于前面幾種探究案例，屬于平均分的問題。而且這里不需要考慮一端栽、兩端栽的情況，主要考慮在植樹過程中數量的分配，主要涉及將總的平均分成幾個部分的問題。

練習2：如果將一根木頭鋸成5段，每鋸下一段需要8分鐘，那么鋸完這根木頭總共需要多少分鐘？

這個問題看似和植樹問題毫不相關，但是在這個問題解答的過程中，每次鋸的段數，恰好符合栽樹過程中的間隔問題，而且鋸木頭的過程兩端都不需要鋸，所以這個問題是植樹過程中的兩端都不栽的情況。學生如果能夠結合問題來畫出圖像，就能快速找到這個問題的解答思路。

練習3：在一條總長度為3000米的道路兩旁，需要架設電線桿，已知相鄰兩根電線桿之間的距離為200米。請問這段路總共需要架設多少根電線桿？

這個問題一出現，學生就知道這屬于兩邊都栽的植樹問題，而且為了讓電線兩頭不落地，電線桿架設中也需要兩端都要架，問題解決的難度顯著降低。不過，這里需要考慮兩邊都需要架設電線桿，所以最后的結果還要乘以2。這也是學生容易忽略的一個易錯點。

練習4：元旦期間，需要在一個圓形的廣場周邊裝上路燈照明，已知廣場的周長為280米，如果每隔7米裝一盞路燈，請問廣場周圍需要安裝多少路燈照明？

這個問題屬于植樹問題中的環形封閉植樹問題，結合前期學生所理解的總長度、間隔數和棵數的關系，也能很容易獲得這一問題的答案。

五、教法提煉

植樹問題作為數學綜合實踐過程中的典型問題，與實際問題的關聯非常緊密，而且植樹問題的轉化非常靈活。在教學這部分內容時，教師不宜過度為學生進行模型講解和規律提煉，而是要給予學生充分的探究空間，鼓勵學生在理解主題的前提下動手實踐，在問題轉化中實現有效的模型構建。為了讓學生有輕松、樂觀的學習心態，教師可探索從以下幾個角度增強育人魅力。

首先，引導學生化繁為簡，把握問題內涵。解答植樹問題，先要讓學生進行問題的探究，通過數形結合思想，將復雜的文字轉化為簡單直觀的模型，重點分析這一模型下兩端應該如何處理，把握問題的核心內涵后，再進行模型構建，列式解答，一些煩瑣問題就能迎刃而解。

其次，在動手實踐中，領悟數形結合思想精髓。數學問題的解答不僅需要進行準確的數據運算，還需要構建直觀的數據模型，所以在數學問題解答的過程中，教師需要將數形結合思想貫穿其中，通過數與形的有效融合，促進學生理解數量關系，把握答題切入點。在植樹問題解答過程中，教師要引導學生對每一個問題都繪制直觀圖片，提煉問題模型，對間隔數與兩端情況進行針對性分析。通過直觀圖形的呈現，讓學生在頭腦中構建實物模型，進行植樹模擬，驗證自身結論。

最后，對比觀察，促進學生舉一反三。植樹問題是小學數學的典型問題，植樹問題涵蓋的知識點較多，應用過程中也比較靈活。為了防止學生出現眼高手低的問題，在分析植樹問題的過程中，教師要讓學生進行有效的觀察，通過一一對應，有效比對，找到恰當的數學模型。只有學生真正領悟了植樹問題的模型，掌握了樹苗和間隔之間的對應關系，才能嫻熟應用數學思想方法，靈活應對各類變式。

（作者單位：漳州市龍海區浮宮鎮美山小學）

編輯：溫雪蓮

作者簡介：高惠珠（1977—），女，漢族，福建漳州人，大專，一級教師，研究方向：小學數學。