新課標理念下小學生數學抽象能力的培養

孫磊

數學抽象是數學學科核心素養的第一要素，是學生形成數學思維的重要基礎和前提。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中提出，數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象得到數學研究對象的素養。在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中也提出：數學源于對現實世界的抽象，通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數學的研究對象及其關系。在小學階段，數學抽象能力主要包括數感、量感、符號意識，這些是進一步培養學生數學思維的基礎。沒有數學抽象，邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析就無從談起。筆者結合多年的課堂教學經驗和教育對象的認知特點，從以下幾個方面談一談小學生數學抽象能力的培養途徑。

一、尊重認知規律，從積累感性經驗過渡到發展抽象能力

“乘法分配律”教學片段：

師：學校要做校服，每件上衣45元，每條褲子35元，買這樣6套校服，一共要多少元？

生：方法一：（45+35）×6=480（元）;方法二：45×6+35×6=480（元）。

師：五年級有4個班，四年級有6個班，每個班需要24根跳繩，一共需要多少根跳繩？

生：方法一：（4+6）×24=240（根）;方法二：4×24+6×24=240（根）。

師：每張辦公桌300元，每把椅子140元，購買2套辦公桌椅一共要多少錢？

生：方法一：（300+140）×2=880（元）;方法二：300×2+140×2=880（元）。

師：觀察這些等式，你有哪些發現？在小組內互相說一說。

（45+35）×6=45×6+35×6

（4+6）×24=4×24+6×24

（300+140）×2=300×2+140×2

生：兩個數之和乘一個數等于兩個數分別乘這個數，再把兩次的積加起來。

師：請你試著用點子圖圈一圈或者用實物卡片擺一擺，解釋你發現的規律。

師：（最后逐步過渡到代數思維）如果用a、b、c分別代表三個數，你會用字母表示這個規律嗎？

生：（a+b）×c=a×c+b×c

乘法分配律的探究需要學生在大量的數學實例中進行不完全歸納，發現規律，進而在理解的基礎上運用。數學思維的發展依據年齡特征要經歷直觀行動思維、具體形象思維、抽象邏輯思維等階段。小學生的思維發展特點是從具體形象思維到抽象邏輯思維不斷發展的，必須積累大量的感性經驗，在此基礎上提升數學抽象能力。教師進行教學時應該運用學生熟悉的事物將抽象的概念直觀化、生動化，讓學生在形象思維的基礎上形成抽象思維。

教師在數學教學中一定要注意運用多種方式激發學生的學習興趣，要給學生創設真實、有趣的問題情境，鼓勵學生大膽猜想驗證，引導學生通過動手操作、多種感官配合積累大量的感性實踐經驗，真正把課堂還給學生。在積累了較為充分的數學活動經驗后，通過回憶感知、操作演示、數形結合，逐步引導學生對比、概括、提煉數學概念、性質、規律和方法，從而培養學生進行數學抽象的能力。

二、堅持“啟發—發現”原則，從充分觀察和實踐逐步過渡到歸納總結

“圓的認識”教學片段：

師：怎樣才能畫一個圓呢？大家先試著畫一畫，并和組員交流畫圓的方法。（學生利用各種學具獨立實踐，并交流心得）

師：請各組派代表演示一下你們是怎么畫圓的，并介紹你們選的學具是什么，選這些學具的用途是什么。

生：我們選擇的學具有圖釘、繩子、鉛筆。用繩子一頭綁住圖釘，一頭綁上鉛筆，把圖釘一端固定，鉛筆一端繞圖釘旋轉一周。雖然有些不圓，但是基本畫出圓了。

師：如果圖釘一端不綁死，而是個環，鉛筆再繞圖釘旋轉就更圓了。

生：我們選擇的學具是尺子和鉛筆。尺子一端有個小孔，我們就將鉛筆尖穿過小孔，按住尺子的另一頭不動，讓鉛筆旋轉一周，就得到一個圓了。

師：看到大家用不同的學具都畫出了一個圓，老師也想畫一個圓。看看老師用一支粉筆在黑板上畫一個圓。（教師利用手指和粉筆畫出一個圓）

師：還有選擇不同學具畫圓的嗎？

生：我們選擇用圓規畫圓，找一點固定圓規的一只腳，捏著圓規的上端旋轉一周，圓就畫好了。

師：這么多種畫圓的方法，老師選了兩種。我們一起來看看。（課件播放圖釘、繩子、鉛筆畫圓和圓規畫圓的動畫視頻）

師：觀察思考不同的畫圓方法有什么相同之處。

生：都有固定不動的點和固定的長度。

師：都是先定點，再定長，最后旋轉一周。定點就是圓心，定長就是半徑。

“啟發—發現”式教學要堅持培養學生的觀察能力，鼓勵學生獨立展開實踐探索活動，并組織學生嘗試將實踐探索后的發現做總結。上述案例中，教師要求學生用各種方式畫圓，但不是停留在方法技能指導的層次，而是啟發學生觀察并實踐，將“固定的一點”和圓心、“繩長”和半徑巧妙聯系起來，打通了圓的特征和畫圓方法之間的聯系，幫助學生建立技能目標背后的意義支撐，從而實現了圓從生活走向數學的最終抽象。

教師不僅要關注學生學習的結果，還要關注學生學習的過程。課堂教學中，學生通過觀察、思考進而實踐探索，新的知識才能從已有的知識經驗中生長出來，這樣的過程對學生而言有著深刻的印象和積極的意義。原有的數學知識概念是學生思維的載體，不斷生成的知識概念正是數學抽象思維加工的結果。按照維果斯基的最近發展區理論，要相信學生的潛在發展水平，學生墊一點腳尖能摘到的果子，教師一定不要替代。所以課堂教學進程要慢下來，讓學生獨立發現，最終建構屬于自己的數學認知結構。

三、重視直觀演示，從教師的介入演示過渡到學生的自發表達

“相遇問題”教學片段：

師：淘氣和笑笑兩家相距520米，兩人同時從家里出發，相向而行。淘氣每分鐘走60米，笑笑每分鐘走70米。幾分鐘后兩個人相遇？相遇時兩人分別走了多少米？

師：我們先來演示一下。同桌兩人模擬兩個人的行走過程，看看你能發現什么。和同伴交流一下。（教師巡視指導）

生：兩人是同時出發、面對面行走。

生：淘氣走得慢，笑笑走得快，淘氣和笑笑一共走了520米，相遇時笑笑走的路程多。

師：像這樣兩人同時相對運動的數學問題，叫作相遇問題。請兩位同學到講臺上表演一下淘氣和笑笑是怎樣出發和相遇的。誰愿意試一試？

（學生再次模擬演示相遇過程，體會到相遇時兩人所用的時間相等以及相遇點的位置靠近速度慢的一邊）

師：大家伸出雙手對他們的精彩表演表示感謝！鼓掌時也要掌心相對，兩只手同時出發最后相遇，這樣才能發出響聲！

師：幾分鐘后相遇？解決這個問題畫線段圖是個不錯的辦法，從圖中你能發現什么？（課件逐步出示線段圖幫助學生理解數量關系，建構數學模型。線段圖動畫演示兩人的運動過程，在相遇點標上小旗，兩個人的運動過程都被劃分為4個小格，通過逐步涂色來演示兩個人每分鐘共同走過的路程）

生：淘氣走的路程+笑笑走的路程=520（米）。

生：兩人每分鐘一共走的路程是：60+70=130（米）。

師：你能用方程來解決這道題嗎？在練習本上試一試。

以前學生只研究過單一物體單一方向的行程問題，本節課學習的是兩個物體且方向不同的行程問題。學生對相遇問題的理解有一定難度。教師只有準確把脈學生學習的起點，設計直觀演示活動，引導學生積極參與到操作過程中，學生才能夠理解相遇問題的本質特征和數量關系。

康德在《純粹理性批判》中指出，直觀概念是我們認識的基礎，新的概念都是從直觀概念中發展而來的。直觀演示對學生數學抽象能力的培養具有促進作用，因為抽象的規律或空間想象，往往需要在頭腦中建立一個數學模型。一些復雜的數學問題，學生僅僅通過數學信息通常不能抽象出數學模型。課堂上，教師通常選擇利用教具或多媒體進行直觀演示，如在小學低段使用數字卡片、幾何圖形計數器、動物貼紙，在小學的高段采用標準化的儀器、實物進行演示。在使用教具或多媒體時，一定要注意直觀演示適時、適量、適度，力求使直觀演示起到積極的作用。直觀演示容易吸引學生，而發現普遍規律和本質特征，需要學生進行細致的觀察和縝密的思考。教師教學要重視過程，處理好過程與結果的關系;要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系。教師能用實物演示的，就盡量不要用動畫;能用動態演示的就盡量不用靜態;學生能主動演示的，教師就盡量不要代替。教師要大膽鼓勵學生自發演示表達，強調直觀演示活動要緊緊抓住數學問題的本質。情境是數學問題的外在依托。教師在課堂教學中要時刻牽著數學思維發展這條主線，讓直觀演示突破情境，突出數學本質和內涵。

四、采取變式教學，從發現規律過渡到舉一反三

“三角形的內角和”教學片段：

師：剛才同學們分別用量、拼、折等方法驗證了“三角形的內角和是180度”。請大家思考以下數學問題。

1.已知等腰三角形的頂角是110°，求底角的度數。

2.已知直角三角形一個銳角的是65°，求另一銳角度數。

3.求等邊三角形中每個角的度數。

生：可以應用三角形內角和是180°來解決這些問題。（過程略）

師：兩個完全相同的三角尺拼成一個大三角形后，新三角形的內角和是多少呢？為什么？

生：也是180°，雖然兩個180°加起來是360°，但是有兩個直角拼成了一個平角，這個平角不能算大三角形的角，所以新三角形的內角和仍然是180°。

師：多個三角形可以拼成四邊形、五邊形、六邊形……它們的內角和又是多少呢？根據今天的學習，你有哪些啟發？

在研究了三角形內角和后，教師設計了一系列變式問題逐步拓展學生思維的深度。特別是把兩個相同的三角尺拼成大一個大三角形求其內角和這個變式問題，學生憑直覺認為一個三角尺內角和是180°，兩個拼起來內角和理應是360°，在實際操作中發現兩個直角拼到大三角形的邊上了，內角和仍然是360°-180°=180°。最后依次呈現三角形拼成各種多邊形，引發學生探究多邊形內角和的規律。教學重視發現規律，更重視運用規律解決新問題，培養學生的數學抽象能力。

小學階段，教師要引導學生經歷數學知識形成的過程，在實踐與體驗中感悟數學理性的邏輯之美，發現生活表象背后的數學規律。這個學習過程并非數學家所描述的數學思維過程，而是學生自己理解自主建構的思維過程。課堂中，教師普遍重視知識的傳遞和技能的訓練，往往忽視學習方法的指導。教師采取變式教學，學生采取自主探究式的學習對于知識概念的自主建構意義重大，相當于教師給學生搭建探究學習的腳手架，培養其自學能力、自悟能力。學生完整經歷“問題猜想—問題驗證—得出結論”這樣像數學家一樣的思考過程，也是從普遍現象到提煉出一般規律的思維發展過程。

史寧中教授說：數學素養的培養，特別是創新人才的培養，是“悟”出來的，而不是“教”出來的，因為數學結果是“看”出來的，而不是“證”出來的。會“悟”、會“看”的底蘊是把握數學基本思想。基本思想是數學的精髓。在教學活動中，基本思想將是主線，但是數學思想不像數學知識一樣被明明白白地寫在教材里，而是隱含在教材中的，需要教師挖掘、提煉出來，并貫穿到教學過程中。抽象是基本的數學思想。數學抽象方法是數學化的一般方法，是數學學習過程中必定要用到的數學方法。所以，教師在教學中要引導學生逐步感悟抽象思想，這樣才能引導學生學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界。

（作者單位：西安市蓮湖區遠東實驗小學）

編輯：常超波