數學建模核心素養視域下的高考試題評析

鄧雯靜

摘 要：2023年全國新高考數學Ⅰ卷從多個角度對學生的思維能力、創新能力等方面進行考查，凸顯數學建模核心素養.通過對2023年全國新高考數學Ⅰ卷的評析，體會如何在教學中滲透數學建模核心素養，給高中數學的教學提供一些啟示.

關鍵詞：數學建模；新高考；核心素養

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0079-03

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出：數學建模作為數學學科六大核心素養之一，要求學生能夠在實際情境中運用所學習的知識抽象出數學問題，結合邏輯推理、直觀想象的能力建立數學模型，并計算求解，最終解決實際問題［1］.2023年全國新高考數學Ⅰ卷充分體現了新課標對數學學科核心素養的要求，從多個角度對數學建模核心素養進行考查，下面以試題為例進行剖析.

1? 數學模型在現實情境中的構建

2023年全國新高考數學Ⅰ卷部分試題背景素材緊密聯系社會生活實際.例如，人們越來越重視噪聲污染，高考試題便在這個方面有所體現，第10題以燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車三種聲源產生的聲壓為背景材料，將實際問題抽象為構建有關聲壓的數學模型，讓學生初步體會運用數學模型解決實際問題.

1.1 現實情境下的函數模型

例1 （2023年全國新高考數學Ⅰ卷第10題）噪聲污染問題越來越受到重視，用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp=20×lgpp0，其中常數p0（p0>0）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓，不同聲源的聲壓級見表1：

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10 m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則（? ）.

A. p1≥p2?? B.p2>10p3

C. p3=100p0D.p1≤100p2

分析 本題是在一個社會問題背景下，將聲壓級數學模型通過函數解析式給出，需要學生在閱讀理解下抓取關鍵信息，梳理清楚各數據之間的關系，結合選項合理運用條件中的數學模型探究p1，p2，p3之間的關系，并利用對數運算性質展開計算［2］.

解法1 根據題意可知Lp1∈［60，90］，Lp2∈［50，60］，Lp3=40.

選項A：將對應函數值相減可得

解法2 根據題意可得

即p2≤1 000p0≤p1，故A正確.

故選ACD.

1.2 現實情境下的概率模型

例2 （2023年全國新高考數學Ⅰ卷第21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

分析 本題從投籃實例出發，從題干中分析出概率模型進行求解，需要學生理解條件概率與全概率公式模型之間的關系以及兩點分布模型的特點，在遞推的過程中使用數列模型求解，不僅體現了數學建模核心素養，還考查了學生的數學運算能力.

解析 （1）記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，所以

P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）

=P（A1）P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1）

=0.5×（1-0.6）+0.5×0.8=0.6.

（2）設P（Ai）=pi，依題可知P（Bi）=1-pi，

則P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）

=P（Ai）P（Ai+1|Ai）+P（Bi）P（Ai+1|Bi）.

即pi+1=0.6pi+（1-0.8）×（1-pi）

=0.4pi+0.2.

構造等比數列 {pi+λ}，

（3）設第i次投籃時甲投籃次數為Xi，且Xi的可能取值為0或1，Xi服從兩點分布，則P（Xi=1）=pi，P（Xi=0）=1-pi，E（Xi）=pi.

前n次中甲投籃的次數

Y=X1+X2+X3+…+Xn，

則 E（Y）=E（X1+X2+X3+…+Xn）

=p1+p2+p3+…+pn.

2 幾何、代數模型在數學情境中的整合

2023年全國新高考數學Ⅰ卷第16題是在雙曲線、向量、余弦定理公式模型下進行探究求解，更體現了數學模型綜合性的運用.

分析 根據雙曲線的概念性質、向量運算以及幾何意義得到|AF2|，|BF2|，|BF1|，|AF1|關于a，m的表達式，利用勾股定理求得a=m，通過余弦定理得到a，c的齊次方程，從而求得雙曲線離心率.也可依題意設出各點坐標，利用向量坐標運算求解點A坐標，將點A代入雙曲線C 得到關于a，b，c的齊次方程，求得離心率.

在Rt△ABF1中，9m2+（2a+2m）2=25m2，

即a=m或a=-3m（舍去）.

整理，得5c2=9a2.

3 結束語

在新課標的背景下，培養學生的數學建模核心素養成為教學的重點，傳統課堂已經滿足不了教學的需要，因此高中數學教師必須轉變教學方式，在課堂中逐漸滲透數學建模素養.在教學中無論是探究初等基本函數，還是向量、立體幾何、圓錐曲線等，都通過構建數學模型，引導學生探究其性質特點，再進一步在實際問題中加以運用.在探究過程中，可以運用信息技術手段如幾何畫板GeoGebra等，引導學生小組合作繪制圖象，構建模型，充分發揮學生的主觀能動性，讓學生在整個分析、構建、計算、檢驗、改進、解決的過程中，體會數學建模的應用價值.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 許正川.高中數學建模中問題的作用及發揮機制[J].數學教學通訊，2023（09）：38-39.